Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§5 ВЕКТОРИ

Вивчаючи матеріал цього параграфа, ви дізнаєтеся, що вектори використовують не тільки у фізиці, а й у геометрії.

Ви навчитеся додавати й віднімати вектори, множити вектор на число, знаходити кут між двома векторами, застосовувати властивості векторів для розв'язування задач.

14. Поняття вектора

Ви знаєте багато величин, які визначаються своїми числовими значеннями: маса, площа, довжина, об’єм, час, температура тощо. Такі величини називають скалярними величинами або скалярами.

Із курсу фізики вам відомі величини, для задання яких недостатньо знати тільки їхні числові значення. Наприклад, якщо на пружину діє сила 5 Н, то не зрозуміло, чи буде пружина стискатися або розтягуватися (рис. 14.1). Потрібно ще знати, у якому напрямі діє сила.

Рис. 14.1

Величини, які визначаються не тільки числовим значенням, але й напрямом, називають векторними величинами або векторами1.

Сила, переміщення, швидкість, прискорення, вага — приклади векторних величин.

Є вектори й у геометрії.

1 Термін «вектор» уперше з’явився в 1845 р., його ввів у вжиток ірландський математик і астроном В. Гамільтон.

Розглянемо відрізок AB. Якщо ми домовимося точку A вважати початком відрізка, а точку B — його кінцем, то такий відрізок буде характеризуватися не тільки довжиною, але й напрямом від точки A до точки B.

Якщо вказано, яка точка є початком відрізка, а яка точка — його кінцем, то такий відрізок називають напрямленим відрізком або вектором.

Вектор з початком у точці A та кінцем у точці B позначають так: (читають: «вектор AB»).

На рисунках вектор зображають відрізком зі стрілкою, яка вказує його кінець. На рисунку 14.2 зображено вектори , i .

Рис. 14.2

Рис. 14.3

Рис. 14.4

Для позначення векторів також використовують малі букви латинського алфавіту зі стрілкою зверху. На рисунку 14.3 зображено вектори , i . Вектор, у якого початок і кінець — одна й та сама точка, називають нульовим вектором або нуль-вектором і позначають . Якщо початок і кінець нульового вектора — це точка A, то його можна позначити й так: . Модулем вектора називають довжину відрізка AB. Модуль

Вектора позначають так: ||, а модуль вектора так: ||.

Модуль нульового вектора вважають рівним нулю: || = 0.

Означення. Ненульові вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій.

Нульовий вектор вважають колінеарним будь-якому вектору.

На рисунку 14.4 зображено колінеарні вектори , i . Той факт, що вектори i колінеарні, позначають так: На рисунку 14.5 ненульові колінеарні вектори однаково напрямлені. Такі вектори називають співнапрямленими й пишуть:

Рис. 14.5

Рис. 14.6

Рис. 14.7

Рис. 14.8

Якщо то Аналогічну властивість мають і співнапрямлені вектори, тобто якщо то (рис. 14.6). На рисунку 14.7 ненульові колінеарні вектори i протилежно напрямлені. Цей факт позначають так:

Нульовий вектор не вважають співнапрямленим (протилежно напрямленим) з жодним іншим вектором.

Означення. Два ненульових вектори називають рівними, якщо їхні модулі рівні й вони співнапрямлені. Будь-які два нульових вектори рівні.

На рисунку 14.8 зображено рівні вектори i . Це позначають так: = .

Рівність ненульових векторів i означає, що і

Неважко довести, що коли

Переконайтеся в цьому самостійно.

Часто, говорячи про вектори, ми не конкретизуємо, яка точка є початком вектора. Так, на рисунку 14.9, а зображено вектор . На рисунку 14.9, б зображено вектори, рівні вектору . Кожний із них також прийнято називати вектором .

Рис. 14.9

На рисунку 14.10, а зображено вектор та точку A. Якщо побудовано вектор , рівний вектору , то говорять, що вектор відкладено від точки A (рис. 14.10, б).

Рис. 14.10

Покажемо, як від довільної точки M відкласти вектор, рівний даному вектору . Якщо вектор нульовий, то шуканим вектором буде вектор . Тепер розглянемо випадок, коли . Нехай точка M лежить на прямій, яка містить вектор (рис. 14.11, а). На цій прямій існують дві точки E і Fтакі, що ME = MF = ||. На вказаному рисунку вектор буде співнапрямлений вектору . Його й потрібно вибрати.

Рис. 14.11

Якщо точка M не належить прямій, яка містить вектор , то через точку M проведемо пряму, їй паралельну (рис. 14.11, б). Подальша побудова аналогічна вже розглянутій.

Від заданої точки можна відкласти тільки один вектор, рівний даному.

Задача. Дано чотирикутник ABCD. Відомо, що і

Визначте вид чотирикутника ABCD.

Розв’язання. З умови випливає, що AB || DC і AB = DC. Отже, чотирикутник ABCD — паралелограм.

Рівність означає, що діагоналі чотирикутника

ABCD рівні. А паралелограм з рівними діагоналями є прямокутником.

1. Наведіть приклади скалярних величин.

2. Які величини називають векторними?

3. Що в геометрії називають векторами?

4. Який відрізок називають напрямленим відрізком або вектором?

5. Як позначають вектор з початком у точці A та кінцем у точці B?

6. Який вектор називають нульовим?

7. Що називають модулем вектора ?

8. Чому дорівнює модуль нульового вектора?

9. Які вектори називають колінеарними?

10. Які вектори називають рівними?

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

14.1. Дано вектор та точку A (рис. 14.12). Відкладіть від точки A вектор, рівний вектору .

Рис. 14.12

Рис. 14.13

14.2. Дано вектор і точку B (рис. 14.13). Відкладіть від точки B вектор, рівний вектору .

14.3. Накресліть трикутник ABC і позначте точку M — середину сторони BC. Від точки M відкладіть вектор, рівний вектору , а від точки B — вектор, рівний вектору . Доведіть, що кінці побудованих векторів збігаються.

14.4. Накресліть трикутник ABC. Від точок B і C відкладіть вектори, відповідно рівні векторам i . Доведіть, що кінці побудованих векторів збігаються.

14.5. Катер із точки А перемістився на північ на 40 км у точку В, а потім на захід на 60 км із точки В у точку C. Вибравши масштаб, накресліть вектори, які зображають переміщення з точки А в точку В, із точки В у точку С, із точки А в точку С.

ВПРАВИ

14.6. Укажіть вектори, початки й кінці яких знаходяться у вершинах квадрата ABCD та які дорівнюють вектору:

14.7. У ромбі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Укажіть вектори, початки й кінці яких знаходяться в точках A, B, C, D і O та які дорівнюють вектору:

14.8. Які з векторів, зображених на рисунку 14.14:

1) рівні; 3) протилежно напрямлені;

2) співнапрямлені; 4) колінеарні?

Рис. 14.14

14.9. Точки M і N — відповідно середини сторін AB і CD паралелограма ABCD. Укажіть вектори, початки й кінці яких знаходяться в точках A, B, C, D, M і N:

1) рівні вектору ;

2) колінеарні вектору ;

3) протилежно напрямлені з вектором ;

4) співнапрямлені з вектором .

14.10. Нехай O — точка перетину діагоналей паралелограма ABCD. Укажіть вектори, початки й кінці яких знаходяться в точках A, B, C, D і O:

1) рівні; 3) протилежно напрямлені.

2) співнапрямлені;

14.11. Точки M, N і P — відповідно середини сторін AB, BC, CA трикутника ABC. Укажіть вектори, початки й кінці яких знаходяться в точках A, B, C, M, N і P:

1) рівні вектору ;

2) колінеарні вектору ;

3) протилежно напрямлені з вектором ;

4) співнапрямлені з вектором .

14.12. Чи є правильним твердження:

14.13. Доведіть, що коли чотирикутник ABCD — паралелограм, то

14.14. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо і

14.15. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо вектори колінеарні та

14.16. Знайдіть модулі векторів i (рис. 14.15), якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

14.17. У прямокутнику ABCD відомо, що AB = 6 см, BC = 8 см, O — точка перетину діагоналей. Знайдіть модулі векторів , i .

14.18. У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Відомо, що Знайдіть модулі векторів i .

14.19. Відомо, що = . Чи можна стверджувати, що точки A, B, C і D є вершинами паралелограма?

Рис. 14.15

14.20. Відомо, що = . Які ще рівні вектори задають точки A, B, C і D?

14.21. Дано чотирикутник ABCD. Відомо, що Визначте вид чотирикутника ABCD.

14.22. Дано чотирикутник ABCD. Відомо, що вектори i колінеарні та Визначте вид чотирикутника ABCD.

14.23. Що можна сказати про вектор , якщо = ?

14.24. У прямокутному трикутнику ABC точка M — середина гіпотенузи AB і B = 30°. Знайдіть модулі векторів i , якщо AC = 2 см.

14.25. У прямокутному трикутнику ABC (C = 90°) медіана CM дорівнює 6 см. Знайдіть модулі векторів i , якщо A = 30°.

14.26. Відомо, що вектори i неколінеарні. Вектор колінеарний кожному з векторів i . Доведіть, що вектор є нульовим.

14.27. Відомо, що вектори i колінеарні. Доведіть, що точки A, B і C лежать на одній прямій. Чи є правильним обернене твердження: якщо точки A, B і C лежать на одній прямій, то вектори i колінеарні?

14.28. Для чотирьох точок A, B, C, D відомо, що = . Доведіть, що середини відрізків AD і BC збігаються. Доведіть обернене твердження: якщо середини відрізків AD і BC збігаються, то = .

14.29. Відомо, що = . Доведіть, що точка O — середина відрізка MN. Доведіть обернене твердження: якщо точка O — середина відрізка MN, то = .





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити