Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§5 ВЕКТОРИ

15. Координати вектора

Розглянемо на координатній площині вектор . Відкладемо від початку координат рівний йому вектор  (рис. 15.1). Координатами вектора  називають координати точки A. Запис  (x; y) означає, що вектор  має координати (x; y).

Числа x і у називають відповідно першою та другою координатами вектора .

Рис. 15.1

Рис. 15.2

З означення випливає, що рівні вектори мають рівні відповідні координати. Наприклад, кожний із рівних векторів ,  i  (рис. 15.2) має координати (2; 1).

Справедливе й обернене твердження: якщо відповідні координати векторів рівні, то рівні й самі вектори.

Справді, якщо відкласти такі вектори від початку координат, то їхні кінці збігатимуться.

Очевидно, що нульовий вектор має координати (0; 0).

Теорема 15.1. Якщо точки A 1; y1) і B (x2; y2) відповідно є початком і кінцем вектора , то числа x2 - x1 і y2 - y1 дорівнюють відповідно першій і другій координатам вектора . Доведення. Нехай вектор , рівний вектору , має координати (ах; а2). Доведемо, що ах = x2 - x1, a2 = y2 - у1.Якщо  = , то твердження теореми є очевидним. Нехай  ≠ . Відкладемо від початку координат вектор , рівний вектору . Тоді координати точки M дорівнюють (а1; а2).

Оскільки  = , то, скориставшася результатом задачі 14.28, можемо зробити висновок, що середини відрізків OB і AM збігаються. Координати середин відрізків OB і AM відповідно дорівнюють

Тоді

Ці рівності виконуються й тоді, коли точка O збігається

з точкою B або точка A збігається з точкою M. Звідси а1 = х2 - х1, а2 = у2 - у1.

Із формули відстані між двома точками випливає, що коли вектор  має координати (а1; а2), то

Задача. Дано координати трьох вершин паралелограма ABCD: A (3; -2), B (-4; 1), C (-2; -3). Знайдіть координати вершини D. Розв’язання. Оскільки чотирикутник ABCD — паралелограм, то  = .

Отже, координати цих векторів рівні.

Нехай координати точки D дорівнюють (x; y). Для знаходження координат векторів  i  скористаємося теоремою 15.1. Маємо:

 (-4 - 3;1 - (-2)) =  (-7; 3);  (-2 - х; -3 - у).

Звідси:

Відповідь: D (5; -6).

1. Поясніть, що називають координатами даного вектора.

2. Що можна сказати про координати рівних векторів?

3. Що можна сказати про вектори, відповідні координати яких рівні?

4. Як знайти координати вектора, якщо відомо координати його початку та кінця?

5. Як знайти модуль вектора, якщо відомо його координати?

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

15.1. За допомогою циркуля та лінійки побудуйте точку, координати якої дорівнюють координатам даного вектора  (рис. 15.3).

15.2. Відкладіть від початку координат вектори  (-3; 2),  (0; -2) і  (4; 0).

15.3. Відкладіть від точки M (-1; 2) вектори  (1; -3),  (-2; 0) i  (0; -1).

ВПРАВИ

15.4. Знайдіть координати векторів, що зображені на рисунку 15.4.

Рис. 15.3

Рис. 15.4

15.5. Знайдіть координати вектора , якщо:

1) A (2; 3), B (-1; 4);

2) A (0; 0), B (-2; -8);

3) A (m; n), B (p, k).

15.6. Дано точку A (1; 3) і вектор  (-2; 1). Знайдіть координати точки B такої, що  = .

15.7. Дано точки A (3; -7), B (4; -5) і C (5; 8). Знайдіть координати точки D такої, що  = .

15.8. Від точки A (4; -3) відкладено вектор  (-1; 8). Знайдіть координати кінця вектора.

15.9. Дано точки A (3; -4), B (-2; 7), C (-4; 16) і D (1; 5). Доведіть, що  = .

15.10. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A (1; -5), B (2; 3), C (-3; 1) і D (-4; -7) є паралелограмом.

15.11. Серед векторів  знайдіть такі, що мають рівні модулі.

15.12. Дано чотири точки: A (1; -4), B (-2; 5), C (1 + a; -4 + b) і D (-2 + a; 5 + b). Доведіть, що

15.13. Знайдіть усі значення х, при яких модуль вектора  (x; -8) дорівнює 10.

15.14. При яких значеннях у модуль вектора  (12; у) дорівнює 13?

15.15. Відрізок BM — медіана трикутника ABC із вершинами A (3; -5), B (2; -3) і C (-1; 7). Знайдіть координати та модуль вектора .

15.16. Точки A (-1; 3), B (5; 0), C (2; -3) є вершинами трикутника ABC, медіани якого перетинаються в точці M. Знайдіть координати векторів

15.17. Точка F ділить сторону BC прямокутника ABCD у відношенні 1 : 2, рахуючи від вершини B (рис. 15.5). Знайдіть координати векторів  i .

Рис. 15.5

Рис. 15.6

15.18. Точка E — середина сторони AC прямокутника OACD (рис. 15.6). Знайдіть координати векторів  i .

15.19. Модуль вектора  дорівнює 10. Його перша координата на 2 більша за другу. Знайдіть координати вектора .

15.20. Модуль вектора  дорівнює 2, а його координати рівні. Знайдіть координати вектора .

15.21. Точки A (2; 5) і B (7; 5) — вершини прямокутника ABCD. Модуль вектора  дорівнює 13. Знайдіть координати точок C і D.

15.22. Точки A (1; 2) і D (1; -6) — вершини прямокутника ABCD. Модуль вектора  дорівнює 17. Знайдіть координати вершин B і C.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити