Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§5 ВЕКТОРИ

16. Додавання і віднімання векторів

Якщо тіло перемістилося з точки A в точку B, а потім із точки B у точку C, то сумарне переміщення з точки A в точку C природно подати у вигляді вектора , вважаючи цей вектор сумою векторів  i , тобто  +  =  (рис. 16.1).

Цей приклад підказує, як ввести поняття суми векторів, тобто як додати два даних вектори  i .

Рис. 16.1

Рис. 16.2

Відкладемо від довільної точки A вектор , рівний вектору . Далі від точки B відкладемо вектор , рівний вектору . Вектор  називають сумою векторів  i  (рис. 16.2) і записують:

 +  = .

Описаний алгоритм додавання двох векторів називають правилом трикутника.

Ця назва пов’язана з тим, що коли вектори  i  не є колінеарними, то точки A, B і C є вершинами трикутника (рис. 16.2). За правилом трикутника можна додавати й колінеарні вектори.

На рисунку 16.3 вектор  дорівнює сумі колінеарних вектоp  i .

Рис. 16.3

Отже, для будь-яких трьох точок A, B і C виконується рівність  +  = , яка виражає правило трикутника для додавання векторів.

Теорема 16.1. Якщо координати векторів  i  відповідно дорівнюють (a1; a2) і (b1; b2), то координати вектора  +  дорівнюють (a1 + b1; a2 + b2).

Доведення. Нехай точки A 1; y1), B (x2; y2) і C (x3; y3) такі, що  =  i  = .

Маємо:

 +  = .

Доведемо, що координати вектора  дорівнюють (a1 + b1; a2 + b2).

Знайдемо координати векторів ,  i   (x2 - x1; y2 - y1),  (x3 - x2; y3 - y2),  (x3 - x4; y3 - y1).

Маємо:  +  =  3x1; y3 - y1) =   (x3 - x2 + x2 - x1; y3 - y2 + y2 - y1).

З урахуванням того, що x2 - x, = a1, x3 - x2 = b1, y2 - y1 = a2, y3 - y2 = b2, отримуємо:

 +  =  (a + b1; a2 + b2).

Зауваження. Описуючи правило трикутника для знаходження суми векторів  i , ми відклали вектор  від довільної точки.

Якщо точку A замінити точкою A1, то замість вектора , який дорівнює сумі векторів  i , отримаємо деякий вектор  Із теореми 16.1 випливає, що координати векторів  дорівнюють (a1 + b1; a2 + b2), отже,

Це означає, що сума векторів  i  не залежить від того, від якої точки відкладено вектор Властивості додавання векторів аналогічні властивостям додавання чисел.

Для будь-яких векторів ,  i  виконуються рівності:

Для доведення цих властивостей досить порівняти відповідні координати векторів, записаних у правій та лівій частинах рівностей. Зробіть це самостійно.

З переставної та сполучної властивостей додавання векторів випливає, що при додаванні кількох векторів можна міняти місцями доданки та розставляти дужки в будь-який спосіб.

Використовуючи правило трикутника, можна знаходити суму трьох і більше векторів. Наприклад, знайдемо суму векторів , ,  i , зображених на рисунку 16.4.

Від довільної точки A1 відкладемо вектор

від точки A2 відкладемо вектор

від точки А3 відкладемо вектор

від точки А4 відкладемо вектор

Знайдемо суму

Рис. 16.4

Маємо:

Узагалі, для будь-яких точок A1, A2, A3, ..., An виконується рівність

У фізиці часто доводиться додавати вектори, відкладені від однієї точки. Так, якщо до тіла прикладено сили  (рис. 16.5), то рівнодійна цих сил дорівнює сумі

Для знаходження суми двох неколінеарних векторів, відкладених від однієї точки, зручно користуватися правилом паралелограма для додавання векторів.

Рис. 16.5

Рис. 16.6

Рис. 16.7

Нехай треба знайти суму неколінеарних векторів  (рис. 16.6). Відкладемо вектор , рівний вектору  . Тоді за правилом трикутника

Оскільки вектори  i  рівні, то чотирикутник ABCD — паралелограм з діагоналлю AC.

Наведені міркування дозволяють сформулювати правило паралелограма для додавання неколінеарних векторів  i . Відкладемо від довільної точки A вектор , рівний вектору , і вектор , рівний вектору . Побудуємо паралелограм ABCD (рис. 16.7). Тоді шукана сума  + b дорівнює вектору . Означення. Різницею векторів   i  називають такий вектор , сума якого з вектором  дорівнює вектору .

Пишуть:

Покажемо, як побудувати вектор, рівний різниці заданих векторів   i

Від довільної точки O відкладемо вектори  відповідно рівні векторам   i  (рис. 16.8). Тоді вектор  дорівнює різниці  - .

Справді,

Отже, за означенням різниці двох векторів  тобто

На рисунку 16.8 вектори  неколінеарні. Проте описаний алгоритм можна застосовувати й для знаходження різниці колінеарних векторів. На рисунку 16.9 вектор  дорівнює різниці колінеарних векторів   i .

Рис. 16.8

Рис. 16.9

Отже, для будь-яких трьох точок O, A і B виконується рівність  яка виражає правило знаходження різниці двох векторів, відкладених від однієї точки. Теорема 16.2. Якщо координати векторів   i  відповідно дорівнюють (a1; a2) і (b1; b2), то координати вектора  -  дорівнюють (a1 - b1; a2 - b2). Доведіть цю теорему самостійно.

Із теореми 16.2 випливає, що для будь-яких векторів   i  існує єдиний вектор  такий, що  -  = .

Означення. Два ненульових вектори називають протилежними, якщо їхні модулі рівні й вектори протилежно напрямлені.

Якщо вектори   i  протилежні, то говорять, що вектор  протилежний вектору , а вектор  протилежний вектору .

Вектором, протилежним нульовому вектору, вважають нульовий вектор.

Вектор, протилежний вектору , позначають так:-.

З означення випливає, що протилежним вектору  є вектор . Тоді для будь-яких точок A і B виконується рівність  = -.

Із правила трикутника випливає, що  + (-) = .         А із цієї рівності випливає, що коли вектор  має координати 1; a2), то вектор - має координати (-а1; -а2).

Теорема 16.3. Для будь-яких векторів  i  виконується рівність

Для доведення достатньо порівняти відповідні координати векторів, записаних у правій та лівій частинах рівності. Зробіть це самостійно.

Теорема 16.3 дає змогу звести віднімання векторів до додавання: щоб від вектора  відняти вектор , можна до вектора  додати вектор - (рис. 16.10).

Рис. 16.10

Задача. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O (рис. 16.11). Виразіть вектори  через вектори

Розв’язання. Оскільки точка O — середина відрізків BD і AC, то

Маємо:

Рис. 16.11

1. Опишіть правило трикутника для знаходження суми векторів.

2. Яка рівність виражає правило трикутника для знаходження суми векторів?

3. Чому дорівнюють координати вектора, рівного сумі двох даних векторів?

4. Запишіть рівності, які виражають властивості додавання векторів.

5. Опишіть правило паралелограма для знаходження суми двох векторів.

6. Який вектор називають різницею двох векторів?

7. Яка рівність виражає правило знаходження різниці двох векторів, відкладених від однієї точки?

8. Чому дорівнюють координати вектора, рівного різниці двох даних векторів?

9. Які вектори називають протилежними?

10. Як можна звести віднімання векторів до додавання векторів?

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

16.1. За допомогою правила трикутника побудуйте суму векторів  i , зображених на рисунку 16.12.

Рис. 16.12

16.2. За допомогою правила паралелограма побудуйте суму векторів  i , зображених на рисунку 16.12, а - г.

16.3. Для векторів  i , зображених на рисунку 16.12, побудуйте вектор  - .

16.4. Накресліть трикутник ABC. Відкладіть від точки A вектор, протилежний вектору:

16.5. Накресліть паралелограм ABCD. Побудуйте вектори  

16.6. Накресліть трикутник MNP. Побудуйте вектори

16.7. Накресліть паралелограм ABCD. Побудуйте вектори  

16.8. Накресліть трикутник ABC. Побудуйте вектори  

16.9. Позначте чотири точки M, N, P і Q. Побудуйте вектор

16.10. Для векторів ,  i , зображених на рисунку 16.13, побудуйте вектор:

Рис. 16.13

16.11. Відкладіть від однієї точки три вектори, модулі яких рівні, так, щоб сума двох із них дорівнювала третьому вектору.

16.12. Відкладіть від однієї точки три вектори, модулі яких рівні, так, щоб їхня cума дорівнювала нуль-вектору.

16.13. Для точок A, B, C і D, зображених на рисунку 16.14, побудуйте такий вектор , щоб

Рис. 16.14

16.14. Накресліть трикутник ABC. Побудуйте таку точку X, щоб:

ВПРАВИ

16.15. Дано трикутник ABC. Виразіть вектор  через вектори:

16.16. Дано паралелограм ABCD. Виразіть вектори  через вектори

16.17. Дано паралелограм ABCD. Виразіть вектори через вектори

16.18. Дано паралелограм ABCD. Виразіть вектори  через вектори

16.19. Доведіть, що для будь-яких точок A, B, C і D виконується рівність:

16.20. Доведіть, що для будь-яких точок A, B, C і D виконується рівність:

16.21. Точки M і N — середини відповідно сторін BA і BC трикутника ABC. Виразіть вектори  через вектори

16.22. У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Доведіть, що

16.23. Дано чотирикутник ABCD і деяку точку O. Відомо, що  Доведіть, що чотирикутник ABCD — паралелограм.

16.24. Дано чотирикутник ABCD і деяку точку O. Відомо, що  Доведіть, що чотирикутник ABCD — паралелограм.

16.25. Дано вектори  Знайдіть:

1

6.26. Дано точки A (1; -3), B (4; 5), C (-2; -1) і D (3; 0). Знайдіть:

16.27. Сума векторів  дорівнює вектору  Знайдіть x і у.

16.28. Сума векторів дорівнює вектору  Знайдіть x і y.

16.29. Дано вектор  (3; -5). Знайдіть координати вектора .

16.30. Сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює 3 см. Знайдіть

16.31. Катет рівнобедреного прямокутного трикутника ABC (C = 90°) дорівнює 4 см. Знайдіть

16.32. Дано точки N (3; -5) і F (4; 1). Знайдіть   де O — довільна точка.

16.33. Доведіть, що для будь-яких n точок A1, A2, ..., An виконується рівність

16.34. Виразіть вектор  через вектори  (рис. 16.15).

16.35. У паралелограмі ABCD точки M, N і K — середини відповідно сторін AB, BC і CD. Виразіть вектори  через вектори

Рис. 16.15

16.36. У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Виразіть вектори  через вектори

16.37. Чотирикутник ABCD — паралелограм. Доведіть, що:

16.38. У трикутнику ABC проведено медіану BM. Доведіть, що:

16.39. Плавчиха зі швидкістю  м/c відносно води перепливає річку в напрямі, перпендикулярному до паралельних берегів. Швидкість течії дорівнює 1 м/c. Під яким кутом до напряму, перпендикулярному до берегів, переміщається плавчиха?

16.40. Доведіть, що для неколінеарних векторів  виконується нерівність

16.41. Доведіть, що для неколінеарних векторів  виконується нерівність

16.42. Для ненульових векторів  виконується рівність  Доведіть, що

16.43. Для ненульових векторів  виконується рівність  Доведіть, що

16.44. Чи може бути нульовим вектором сума трьох векторів, модулі яких дорівнюють:

1) 5; 2; 3;             3) 8; 9; 18?

2) 4; 6; 3;

16.45. Доведіть, що для паралелограма ABCD і довільної точки X виконується рівність

16.46. Весляр із точки А переправляється через річку завширшки 240 м зі сталою власною швидкістю, спрямовуючи ніс човна перпендикулярно до протилежного берега. Через 4 хв човен причалює до протилежного берега в точці C, розташованій нижче за течією від точки А на 48 м. Знайдіть швидкість течії та швидкість човна відносно берегів річки.

16.47. Катер із точки А переправляється через річку завширшки 300 м зі сталою власною швидкістю. Через 100 с катер причалює до протилежного берега в точці В. Пряма АВ перпендикулярна до паралельних берегів річки. Швидкість течії річки  м/c. Під яким кутом до берега річки було спрямовано ніс катера?

16.48. Діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці O. Відомо, що  Доведіть, що чотирикутник ABCD — паралелограм.

16.49. Вектори  попарно неколінеарні, причому  Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють відрізкам MN, PQ і EF.

16.50. Дано дві точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок X таких, що

16.51. Дано дві точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок X таких, що

16.52. Медіани трикутника ABC перетинаються в точці M. Доведіть, що

16.53. Доведіть, що для будь-яких n точок А1, A2, ..., An існує єдина точка M така, що  (точку M називають центроїдом системи точок A1, A2, ..., An).

16.54. На сторонах трикутника ABC у зовнішній бік побудовано паралелограми AA1B1B, BB2C1C, CC2A2A. Прямі A1A2, B1B2, C1C2 попарно непаралельні. Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють відрізкам AA2, B1B2 і C1C2.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити