Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік
§5 ВЕКТОРИ
17. Множення вектора на число. Застосування векторів до розв'язування задач
Нехай дано ненульовий вектор
. На рисунку 17.1 зображено вектор
, рівний вектору
+
, і вектор
, рівний вектору 
Очевидно, що

Вектор
позначають 2
і вважають, що його отримано в результаті множення вектора
на число 2. Аналогічно вважають, що вектор
отримано в результаті множення вектора
на число -3, і записують:

Цей приклад підказує, як ввести поняття «множення вектора на число».

Рис. 17.1
Означення. Добутком ненульового вектора
і числа k, відмінного від нуля, називають такий вектор
, що:
1) 
2) якщо k > 0, то 
3) якщо k < 0, то 
Пишуть:

Якщо
=
або k = 0, то вважають, що k
=
. На рисунку 17.2 зображено вектори
, -2
, 
З означення випливає, що


Рис. 17.2
Також з означення випливає, що коли
= k
, то вектори
i
колінеарні.
А якщо вектори
i
колінеарні, то чи можна подати вектор
у вигляді добутку k
?
Відповідь дає така теорема.
Теорема 17.1. Якщо вектори
i
колінеарні й
≠ 0, то існує таке число k, що
= k
.
Доведення. Якщо
=
, то при k = 0 отримуємо, що
= k
.
Якщо
≠
, то або
або 
1) Нехай 
Розглянемо вектор
= k
,
де

Оскільки k > 0, то
отже, 
Крім того,

Таким чином, вектори
i
співнапрямлені та їхні модулі рівні.
Звідси
=
= k
.
2) Нехай 
Розглянемо вектор
= k
, де

Для
цього випадку завершіть доведення самостійно.
Теорема 17.2. Якщо вектор
має координати (а1; а2), то вектор k
має координати (ka1; ka2).
Доведення. Якщо
=
або k = 0, то твердження теореми очевидне.
Нехай
=
і k ≠ 0. Розглянемо вектор 
Покажемо, що
= k
.
Маємо:

Відкладемо від початку координат вектори
i
, рівні відповідно векторам
i
.
Оскільки пряма OA проходить через початок координат, то її рівняння має вигляд ax + by = 0.
Цій прямій належить точка A (a1; a2). Тоді aa1 + ba2 = 0. Звідси a (ka1) + b (ka2) = 0.
Отже, точка B (ka1; ka2) також належить прямій OA, тому вектори
i
колінеарні, тобто
||
.
При k > 0 числа a1 і ka1 мають однакові знаки (або обидва дорівнюють нулю). Таку саму властивість мають числа a2 і ka2. Отже, при k > 0 точки Aі B лежать в одній координатній чверті (або на одному координатному промені), тому вектори
i
співнапрямлені (рис. 17.3), тобто 

Рис. 17.3
При k < 0 вектори
i
є протилежно напрямленими, тобто
Отже, ми отримали, що
= k
.
Наслідок 1. Вектори
колінеарні.
Наслідок 2. Якщо вектори
колінеарні, причому
≠
, то існує таке число k, що b1 = ka1 і b2 = ka2.
За допомогою теореми 17.2 можна довести такі властивості множення вектора на число.
Для будь-яких чисел k, m і будь-яких векторів
,
виконуються рівності:
1)
— сполучна властивість;
2)
— перша розподільна властивість;
3)
— друга розподільна властивість.
Для доведення цих властивостей досить порівняти відповідні координати векторів, записаних у правих і лівих частинах рівностей. Зробіть це самостійно.
Ці властивості дають змогу перетворювати вирази, які містять суму векторів, різницю векторів і добуток вектора на число, аналогічно тому, як ми перетворюємо алгебраїчні вирази. Наприклад,

Теорема 17.3. Нехай
i
— неколінеарні вектори. Тоді для будь-якого вектора
існує єдина пара чисел (х; y) така, що

Доведення. Спочатку покажемо, що така пара чисел (x; у) існує.
Нехай 
Тоді існує таке число k, що
= k
(теорема 17.1).
Звідси

Отже, (k; 0) — шукана пара чисел.
Нехай 
Міркуючи аналогічно, отримуємо, що
де m — деяке число.
Нехай вектор
не колінеарний ні вектору
, ні вектору
. Відкладемо від довільної точки O вектори
відповідно рівні векторам 
Через точку C проведемо прямі, паралельні прямим OA і OB. Отримаємо паралелограм OB1CA1 (рис. 17.4). Тоді за правилом паралелограма

Вектори
колінеарні, вектори
також колінеарні. Отже, існують такі числа x і у, що
Звідси
тобто 
Покажемо, що пара чисел (x; у) — єдина.
Нехай існує ще одна пара чисел (x1; у1) така, що 
Тоді

Звідси

Нехай x ≠ x1. Тоді

Тобто
що суперечить умові теореми. Отже, x = x1. Аналогічно можна довести, що у = у1.
Якщо вектори
i
неколінеарні та для вектора
знайдено пару чисел (x; у) таку, що
то говорять, що вектор
розкладено за векторами
i
. Упорядковану пару (
;
) неколінеарних векторів називають базисом. Якщо для вектора
виконується рівність
то говорять, що вектор
розкладено за базисом (
;
).
Упорядковану пару чисел (x; у) називають координатами вектора
. У базисі (
;
).
Задача 1. Доведіть, що коли
= k
, то точки O, A і B лежать на одній прямій.

Рис. 17.4

Рис. 17.5
Розв’язання. З умови випливає, що вектори
i
колінеарні. До того ж ці вектори відкладено від однієї точки O. Отже, точки O, A і B лежать на одній прямій.
Задача 2. Нехай M — така точка відрізка AB, що
(рис. 17.5). Доведіть, що для будь-якої точки X виконується рівність
(*)
Розв’язання.
Маємо:

Оскільки

Запишемо:

Оскільки

то маємо:

Якщо m = n, то точка M є серединою відрізка AB. Тоді формула (*) набуває вигляду
(**)
Властивості векторів широко застосовуються при розв’язуванні задач і доведенні теорем. Продемонструємо це на прикладах.
Задача 3. Доведіть властивість медіан трикутника: медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини.
Розв’язання. Нехай медіани AA1 і BB1 трикутника ABC перетинаються в точці M (рис. 17.6).

Рис. 17.6
Позначимо 
Вектори
i
неколінеарні. Вони утворюють базис (
;
).
Нехай 
Записавши це відношення так:

можна за допомогою формули (*) розкласти вектор
за базисом 
Маємо:
(1)
Застосовуючи формулу (**), запишемо:

Оскільки вектори
колінеарні, то існує таке число k ≠ 0, що 
Звідси
(2)
З рівностей (1) і (2) внаслідок єдиності розкладу вектора за базисом отримуємо:

Звідси a = 2.
Отже,
тобто ми показали, що медіана AA1 ділить медіану BB1 у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини B. Подальше доведення вам відомо.
Задача 4. Доведіть, що середини основ трапеції та точка перетину продовжень її бічних сторін лежать на одній прямій.
Розв’язання. Нехай точки M і N — середини основ BC і AD трапеції ABCD, O — точка перетину прямих AB і CD (рис. 17.7).
Застосовуючи ключову задачу 2, запишемо:

Оскільки вектори
i
колінеарні, а також вектори
i
колінеарні, то
де k і k1 — деякі числа.
Оскільки DBOC ~ DAOD, то 
Отже, k = k1.

Рис. 17.7
Маємо:

Із ключової задачі 1 випливає, що точки O, M і N лежать на одній прямій.
Також за допомогою векторів можна довести, що прямій ON належить точка перетину діагоналей трапеції. Зробіть це самостійно.
Задача 5. Нехай M — точка перетину медіан трикутника ABC і X — довільна точка (рис. 17.8). Доведіть, що

Розв’язання. Нехай точка K — середина відрізка AC. Маємо: BM : MK = 2 : 1. Тоді, використовуючи ключову задачу 2, можна записати:

Доведемо векторну рівність, яка пов’язує дві чудові точки трикутника.
Задача 6. Доведіть, що коли точка H — ортоцентр трикутника ABC, а точка O — центр його описаного кола, то
(***)
Розв’язання. Для прямокутного трикутника рівність (***) є очевидною.
Нехай трикутник ABC не є прямокутним. Опустимо з точки O перпендикуляр OK на сторону AC трикутника ABC (рис. 17.9). У курсі геометрії 8 класу було доведено, що BH = 2OK.

Рис. 17.8

Рис. 17.9
На промені OK позначимо точку P таку, що OK = KP. Тоді BH = OP. Оскільки BH || OP, то чотирикутник HBOP — паралелограм.
За правилом паралелограма 
Оскільки точка K є серединою відрізка AC, то в чотирикутнику AOCP діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Отже, цей чотирикутник — паралелограм. Звідси
=
+
.
Маємо:

Звернемося до векторної рівності

Де M — точка перетину медіан трикутника ABC. Оскільки X — довільна точка, то рівність залишається правильною, якщо за точку X вибрати точку O — центр описаного кола трикутника ABC.
Маємо:

Беручи до уваги рівність (***), отримуємо:

Ця рівність означає, що точки O, M і H лежать на одній прямій. Як ви знаєте з курсу геометрії 8 класу, цю пряму називають прямою Ейлера.
1. Що називають добутком ненульового вектора
і числа k, відмінного від нуля?
2. Чому дорівнює добуток k
, якщо k = 0 або
=
?
3. Що можна сказати про ненульові вектори
i
, якщо
= k
, де k - деяке число?
4. Відомо, що вектори
i
колінеарні, причому
≠
. Як можна виразити вектор
через вектор
?
5. Вектор
має координати (а1; а2). Чому дорівнюють координати вектора k
?
6. Що можна сказати про вектори, координати яких дорівнюють (а1; а2) і (ka1; ka2)?
7. Запишіть сполучну та розподільні властивості множення вектора на число.
ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ
17.1. Дано вектори
(рис. 17.10). Побудуйте вектор:

17.2. Побудуйте два неколінеарних вектори
Позначте довільну точку O. Від точки O відкладіть вектор:

17.3. Позначте на площині три точки A, B і C такі, що:


Рис. 17.10
17.4. Накресліть трикутник ABC. Позначте точку M — середину сторони AC.
1) Від точки M відкладіть вектор, рівний вектору 
2) Від точки B відкладіть вектор, рівний вектору 
17.5. Накресліть трапецію ABCD (BC || AD). Позначте точку M — середину сторони AB. Від точки M відкладіть вектор, рівний вектору 
17.6. Накресліть трикутник ABC. Побудуйте вектор, рівний вектору
так, щоб його початок належав стороні AB, а кінець — стороні BC.
ВПРАВИ
17.7. Знайдіть модулі векторів
якщо 
17.8. Який із векторів,
чи
співнапрямлений із вектором
, якщо
≠
?
17.9. Визначте, співнапрямленими чи протилежно напрямленими є ненульові вектори
якщо:

Знайдіть відношення 
17.10. У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Виразіть:

17.11. У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O,
Виразіть вектор
через вектори 
17.12. У паралелограмі ABCD на діагоналі AC позначили точку M так, що AM : MC = 1 : 3. Виразіть вектор
через вектори

17.13. У паралелограмі ABCD точка M — середина сторони BC,
Виразіть вектори
через вектори
i
.
17.14. У трикутнику ABC точки M і N — середини сторін AB і BC відповідно. Виразіть:

17.15. На відрізку AB завдовжки 18 см позначено точку C так, що BC = 6 см. Виразіть:

17.16. Дано вектор
(-4; 2). Знайдіть координати та модулі векторів 
17.17. Дано вектор
(-6; 12). Знайдіть координати та модулі векторів 
17.18. Дано вектор
(3; -2). Які з векторів
(-3; -2),
(-6; 4),
колінеарні вектору
?
17.19. Дано вектори
(3; - 3) і
(-16; 8). Знайдіть координати вектора:

17.20. Дано вектори
Знайдіть координати вектора:

17.21. На сторонах AB і AC трикутника ABC позначено відповідно точки M і N так, що AM : MB = AN : NC = 1 : 2. Виразіть вектор
через вектор
.
17.22. Точки O, A і B лежать на одній прямій. Доведіть, що існує таке число k, що 
17.23. На сторонах AB і BC паралелограма ABCD позначено відповідно точки M і N так, що AM : MB = 1 : 2, BN : NC = 2 : 1. Розкладіть вектор
за базисом 
17.24. На сторонах BC і CD паралелограма ABCD позначили відповідно точки E і F так, що BE : EC = 3 : 1, CF : FD = 1 : 3. Розкладіть вектор
за базисом 
17.25. Серед векторів
укажіть пари колінеарних векторів.
17.26. Доведіть, що вектори
колінеарні, якщо A (1; 1), B (3; -2), C (-1; 3), D (5; -6).
17.27. Дано вектори
Укажіть пари співнапрямлених і протилежно напрямлених векторів.
17.28. Знайдіть значення х, при яких вектори
колінеарні.
17.29. При яких значеннях у вектори
колінеарні?
17.30. Дано вектор
(-3; 1). Знайдіть координати вектора, колінеарного вектору
, модуль якого вдвічі більший за модуль вектора
. Скільки розв’язків має задача?
17.31. Знайдіть координати вектора
, протилежно напрямленого вектору
(5; -12), якщо |
| = 39.
17.32. Знайдіть координати вектора
, співнапрямленого з вектором
(-9; 12), якщо |
| = 5.
17.33. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами A (-1; 2), B (3; 5), C (14; 6) і D (2; -3) є трапецією.
17.34. Доведіть, що точки A (-1; 3), B (4; -7) і D (-2; 5) лежать на одній прямій.
17.35. Дано вектори
Знайдіть такі числа x і у, що 
17.36. На стороні AC трикутника ABC позначили точку M так, що AM : MC = 2 : 3. Доведіть, що 
17.37. На стороні BC трикутника ABC позначили точку D так, що BD : DC = 1 : 2. Доведіть, що 
17.38. У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. На стороні BC позначено точку K так, що BK : KC = 2 : 3. Розкладіть вектор
за базисом 
17.39. Діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці O так, що AO : OC = 1 : 2, BO : OD = 4 : 3. Розкладіть вектори
,
за базисом
де 
17.40. На сторонах AB і BC трикутника ABC позначили відповідно точки K і F так, що AK : KB = 1 : 2 і BF : FC = 2 : 3. Розкладіть вектори
за базисом

17.41. На сторонах AC і BC трикутника ABC позначили відповідно точки M і N так, що AM : MC = 1 : 3 і BN : NC = 4 : 3. Розкладіть вектори
за базисом

17.42. Медіани трикутника ABC перетинаються в точці M. Розкладіть вектор
за базисом:

17.43. За допомогою векторів доведіть теорему про середню лінію трикутника.
17.44. За допомогою векторів доведіть теорему про середню лінію трапеції.
17.45. Точки M і N — відповідно середини діагоналей AC і BD трапеції ABCD (BC || AD). За допомогою векторів доведіть, що MN || AD.
17.46. Точки M1 і М2 — середини відрізків A1B1 і A2B2 відповідно. Доведіть, що 
17.47. Точки M і N — відповідно середини протилежних сторін AB і CD чотирикутника ABCD. Доведіть, що коли 
17.48. Точки M і N — відповідно середини діагоналей AC і BD чотирикутника ABCD. Доведіть, що 
17.49. У коло вписано трикутники ABC і A1B1C1 з ортоцентрами H і H1 відповідно. Доведіть, що 
17.50. Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють медіанам даного трикутника.
17.51. На сторонах BC, CA і AB трикутника ABC позначили відповідно точки A1, B1 і C1 так, що
Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють відрізкам AA1, BB1 і CC1.
17.52. Точки M і N — середини відповідно сторін AB і CD опуклого чотирикутника ABCD. Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють

17.53. Точки M1 і М2 — середини відрізків A1B1 і A2B2 відповідно. Доведіть, що середини відрізків A1 A2, M1M2 і B1B2 лежать на одній прямій.
17.54. На стороні AD і на діагоналі AC паралелограма ABCD позначено відповідно точки M і N так, що
Доведіть, що точки M, N і B лежать на одній прямій.
17.55. Нехай M1 і М2 — точки перетину медіан відповідно трикутників A1B1C1 і A2B2C2. Доведіть, що 
17.56. На сторонах AB, BC і CA трикутника ABC позначили відповідно точки C1, A1 і B1 так, що
Доведіть, що точки перетину медіан трикутників ABC і A1B1C1 збігаються.
17.57. Чотирикутник ABCD є вписаним. Точки H1, H2, H3 і H4 — ортоцентри відповідно трикутників BCD, ACD, ABD і ABC. Доведіть, що середини відрізків AH1, BH2, CH3 і DH4 збігаються.
17.58. Чотирикутник ABCD вписано в коло із центром O. Доведіть, що коли
то чотирикутник ABCD — прямокутник.
17.59. Точка перетину відрізків, які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника, збігається з точкою перетину його діагоналей. Доведіть, що цей чотирикутник є паралелограмом.
17.60. Дано чотирикутник ABCD, середини сторін AB і CD та точка перетину діагоналей якого належать одній прямій. Доведіть, що AB || CD.
17.61. У п’ятикутнику ABCDE точки M, N, P і Q — середини сторін AB, BC, CD і DE відповідно. Точки K і F — середини відрізків MP і NQ відповідно. Доведіть, що KF || AE і KF =
AE.
17.62. У чотирикутнику ABCD точки M і N — середини сторін AB і CD відповідно. Точка K — середина відрізка MN. Медіани трикутника BCDперетинаються в точці P. Доведіть, що точки A, K і P лежать на одній прямій.
17.63. Із точки P, яка належить стороні AC рівностороннього трикутника ABC, на сторони AB і BC опущено перпендикуляри PE і PF відповідно. Доведіть, що точка перетину медіан трикутника ABC, середина відрізка EF і точка P лежать на одній прямій.
17.64. Дано трикутник ABC і довільну точку O. Точки P, Q і R — відповідно точки перетину медіан трикутників AOB, BOC, COA. Доведіть, що точка O і точки перетину медіан трикутників ABC і PQR лежать на одній прямій.
17.65. Паралельні прямі, які проходять через вершини A, B і C трикутника ABC, перетинають його описане коло в точках A1, B1 і C1 відповідно. Доведіть, що ортоцентри H1, H2 і H3 відповідно трикутників ABC1, BCA1 і CAB1 лежать на одній прямій.























































































































































































































































































































