§5 ВЕКТОРИ

17. Множення вектора на число. Застосування векторів до розв'язування задач

Нехай дано ненульовий вектор . На рисунку 17.1 зображено вектор , рівний вектору  + , і вектор , рівний вектору

Очевидно, що

Вектор  позначають 2 і вважають, що його отримано в результаті множення вектора  на число 2. Аналогічно вважають, що вектор  отримано в результаті множення вектора  на число -3, і записують:

Цей приклад підказує, як ввести поняття «множення вектора на число».

Рис. 17.1

Означення. Добутком ненульового вектора  і числа k, відмінного від нуля, називають такий вектор , що:

1)

2) якщо k > 0, то

3) якщо k < 0, то

Пишуть:

Якщо  =  або k = 0, то вважають, що k = . На рисунку 17.2 зображено вектори , -2, 

З означення випливає, що

Рис. 17.2

Також з означення випливає, що коли  = k, то вектори  i  колінеарні.

А якщо вектори  i  колінеарні, то чи можна подати вектор  у вигляді добутку k?

Відповідь дає така теорема.

Теорема 17.1. Якщо вектори  i  колінеарні й  ≠ 0, то існує таке число k, що  = k.

Доведення. Якщо  = , то при k = 0 отримуємо, що  = k.

Якщо  ≠ , то або  або

1) Нехай

Розглянемо вектор  = k,

де

Оскільки k > 0, то  отже,

Крім того,

Таким чином, вектори  i  співнапрямлені та їхні модулі рівні.

Звідси  =  = k.

2) Нехай

Розглянемо вектор  = k,      де

Для

цього випадку завершіть доведення самостійно.

Теорема 17.2. Якщо вектор  має координати (а₁; а₂), то вектор k має координати (ka₁; ka₂).

Доведення. Якщо  =  або k = 0, то твердження теореми очевидне.

Нехай  =  і k ≠ 0. Розглянемо вектор

Покажемо, що  = k.

Маємо:

Відкладемо від початку координат вектори  i , рівні відповідно векторам  i .

Оскільки пряма OA проходить через початок координат, то її рівняння має вигляд ax + by = 0.

Цій прямій належить точка A (a₁; a₂). Тоді aa₁ + ba₂ = 0. Звідси a (ka₁) + b (ka₂) = 0.

Отже, точка B (ka₁; ka₂) також належить прямій OA, тому вектори  i  колінеарні, тобто  || .

При k > 0 числа a₁ і ka₁ мають однакові знаки (або обидва дорівнюють нулю). Таку саму властивість мають числа a₂ і ka₂. Отже, при k > 0 точки Aі B лежать в одній координатній чверті (або на одному координатному промені), тому вектори  i  співнапрямлені (рис. 17.3), тобто

Рис. 17.3

При k < 0 вектори  i  є протилежно напрямленими, тобто  Отже, ми отримали, що  = k.

Наслідок 1. Вектори  колінеарні.

Наслідок 2. Якщо вектори  колінеарні, причому  ≠ , то існує таке число k, що b₁ = ka₁ і b₂ = ka₂.

За допомогою теореми 17.2 можна довести такі властивості множення вектора на число.

Для будь-яких чисел k, m і будь-яких векторів ,  виконуються рівності:

1)  — сполучна властивість;

2)  — перша розподільна властивість;

3)  — друга розподільна властивість.

Для доведення цих властивостей досить порівняти відповідні координати векторів, записаних у правих і лівих частинах рівностей. Зробіть це самостійно.

Ці властивості дають змогу перетворювати вирази, які містять суму векторів, різницю векторів і добуток вектора на число, аналогічно тому, як ми перетворюємо алгебраїчні вирази. Наприклад,

Теорема 17.3. Нехай  i  — неколінеарні вектори. Тоді для будь-якого вектора  існує єдина пара чисел (х; y) така, що

Доведення. Спочатку покажемо, що така пара чисел (x; у) існує.

Нехай

Тоді існує таке число k, що  = k (теорема 17.1).

Звідси

Отже, (k; 0) — шукана пара чисел.

Нехай

Міркуючи аналогічно, отримуємо, що  де m — деяке число.

Нехай вектор  не колінеарний ні вектору , ні вектору . Відкладемо від довільної точки O вектори  відповідно рівні векторам

Через точку C проведемо прямі, паралельні прямим OA і OB. Отримаємо паралелограм OB₁CA₁ (рис. 17.4). Тоді за правилом паралелограма

Вектори  колінеарні, вектори  також колінеарні. Отже, існують такі числа x і у, що  Звідси  тобто

Покажемо, що пара чисел (x; у) — єдина.

Нехай існує ще одна пара чисел (x₁; у₁) така, що

Тоді

Звідси

Нехай x ≠ x₁. Тоді

Тобто  що суперечить умові теореми. Отже, x = x₁. Аналогічно можна довести, що у = у₁.

Якщо вектори  i  неколінеарні та для вектора  знайдено пару чисел (x; у) таку, що  то говорять, що вектор  розкладено за векторами  i . Упорядковану пару (; ) неколінеарних векторів називають базисом. Якщо для вектора  виконується рівність  то говорять, що вектор  розкладено за базисом (; ).

Упорядковану пару чисел (x; у) називають координатами вектора . У базисі (; ).

Задача 1. Доведіть, що коли  = k , то точки O, A і B лежать на одній прямій.

Рис. 17.4

Рис. 17.5

Розв’язання. З умови випливає, що вектори  i  колінеарні. До того ж ці вектори відкладено від однієї точки O. Отже, точки O, A і B лежать на одній прямій.

Задача 2. Нехай M — така точка відрізка AB, що (рис. 17.5). Доведіть, що для будь-якої точки X виконується рівність

 (*)

Розв’язання.

Маємо:

Оскільки

Запишемо:

Оскільки

то маємо:

Якщо m = n, то точка M є серединою відрізка AB. Тоді формула (*) набуває вигляду

   (**)

Властивості векторів широко застосовуються при розв’язуванні задач і доведенні теорем. Продемонструємо це на прикладах.

Задача 3. Доведіть властивість медіан трикутника: медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини.

Розв’язання. Нехай медіани AA1 і BB₁ трикутника ABC перетинаються в точці M (рис. 17.6).

Рис. 17.6

Позначимо

Вектори  i  неколінеарні. Вони утворюють базис (; ).

Нехай

Записавши це відношення так:

можна за допомогою формули (*) розкласти вектор  за базисом

Маємо:

  (1)

Застосовуючи формулу (**), запишемо:

Оскільки вектори  колінеарні, то існує таке число k ≠ 0, що

Звідси

  (2)

З рівностей (1) і (2) внаслідок єдиності розкладу вектора за базисом отримуємо:

Звідси a = 2.

Отже,  тобто ми показали, що медіана AA₁ ділить медіану BB₁ у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини B. Подальше доведення вам відомо.

Задача 4. Доведіть, що середини основ трапеції та точка перетину продовжень її бічних сторін лежать на одній прямій.

Розв’язання. Нехай точки M і N — середини основ BC і AD трапеції ABCD, O — точка перетину прямих AB і CD (рис. 17.7).

Застосовуючи ключову задачу 2, запишемо:

Оскільки вектори  i  колінеарні, а також вектори  i  колінеарні, то  де k і k₁ — деякі числа.

Оскільки DBOC ~ DAOD, то

Отже, k = k₁.

Рис. 17.7

Маємо:

Із ключової задачі 1 випливає, що точки O, M і N лежать на одній прямій.

Також за допомогою векторів можна довести, що прямій ON належить точка перетину діагоналей трапеції. Зробіть це самостійно.

Задача 5. Нехай M — точка перетину медіан трикутника ABC і X — довільна точка (рис. 17.8). Доведіть, що

Розв’язання. Нехай точка K — середина відрізка AC. Маємо: BM : MK = 2 : 1. Тоді, використовуючи ключову задачу 2, можна записати:

Доведемо векторну рівність, яка пов’язує дві чудові точки трикутника.

Задача 6. Доведіть, що коли точка H — ортоцентр трикутника ABC, а точка O — центр його описаного кола, то

  (***)

Розв’язання. Для прямокутного трикутника рівність (***) є очевидною.

Нехай трикутник ABC не є прямокутним. Опустимо з точки O перпендикуляр OK на сторону AC трикутника ABC (рис. 17.9). У курсі геометрії 8 класу було доведено, що BH = 2OK.

Рис. 17.8

Рис. 17.9

На промені OK позначимо точку P таку, що OK = KP. Тоді BH = OP. Оскільки BH || OP, то чотирикутник HBOP — паралелограм.

За правилом паралелограма

Оскільки точка K є серединою відрізка AC, то в чотирикутнику AOCP діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Отже, цей чотирикутник — паралелограм. Звідси  =  + .

Маємо:

Звернемося до векторної рівності

Де M — точка перетину медіан трикутника ABC. Оскільки X — довільна точка, то рівність залишається правильною, якщо за точку X вибрати точку O — центр описаного кола трикутника ABC.

Маємо:

Беручи до уваги рівність (***), отримуємо:

Ця рівність означає, що точки O, M і H лежать на одній прямій. Як ви знаєте з курсу геометрії 8 класу, цю пряму називають прямою Ейлера.

1. Що називають добутком ненульового вектора  і числа k, відмінного від нуля?

2. Чому дорівнює добуток k, якщо k = 0 або  = ?

3. Що можна сказати про ненульові вектори  i , якщо  = k, де k - деяке число?

4. Відомо, що вектори  i  колінеарні, причому  ≠ .      Як можна виразити вектор  через вектор ?

5. Вектор  має координати (а1; а₂). Чому дорівнюють координати вектора k?

6. Що можна сказати про вектори, координати яких дорівнюють (а1; а₂) і (ka₁; ka₂)?

7. Запишіть сполучну та розподільні властивості множення вектора на число.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

17.1. Дано вектори  (рис. 17.10). Побудуйте вектор:

17.2. Побудуйте два неколінеарних вектори  Позначте довільну точку O. Від точки O відкладіть вектор:

17.3. Позначте на площині три точки A, B і C такі, що:

Рис. 17.10

17.4. Накресліть трикутник ABC. Позначте точку M — середину сторони AC.

1) Від точки M відкладіть вектор, рівний вектору

2) Від точки B відкладіть вектор, рівний вектору

17.5. Накресліть трапецію ABCD (BC || AD). Позначте точку M — середину сторони AB. Від точки M відкладіть вектор, рівний вектору

17.6. Накресліть трикутник ABC. Побудуйте вектор, рівний вектору  так, щоб його початок належав стороні AB, а кінець — стороні BC.

ВПРАВИ

17.7. Знайдіть модулі векторів  якщо

17.8. Який із векторів,  чи  співнапрямлений із вектором , якщо  ≠ ?

17.9. Визначте, співнапрямленими чи протилежно напрямленими є ненульові вектори  якщо:

Знайдіть відношення

17.10. У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Виразіть:

17.11. У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O,  Виразіть вектор  через вектори

17.12. У паралелограмі ABCD на діагоналі AC позначили точку M так, що AM : MC = 1 : 3. Виразіть вектор  через вектори  

17.13. У паралелограмі ABCD точка M — середина сторони BC,  Виразіть вектори  через вектори  i .

17.14. У трикутнику ABC точки M і N — середини сторін AB і BC відповідно. Виразіть:

17.15. На відрізку AB завдовжки 18 см позначено точку C так, що BC = 6 см. Виразіть:

17.16. Дано вектор  (-4; 2). Знайдіть координати та модулі векторів

17.17. Дано вектор  (-6; 12). Знайдіть координати та модулі векторів

17.18. Дано вектор  (3; -2). Які з векторів  (-3; -2),  (-6; 4),  колінеарні вектору ?

17.19. Дано вектори  (3; - 3) і  (-16; 8). Знайдіть координати вектора:

17.20. Дано вектори  Знайдіть координати вектора:

17.21. На сторонах AB і AC трикутника ABC позначено відповідно точки M і N так, що AM : MB = AN : NC = 1 : 2. Виразіть вектор  через вектор .

17.22. Точки O, A і B лежать на одній прямій. Доведіть, що існує таке число k, що

17.23. На сторонах AB і BC паралелограма ABCD позначено відповідно точки M і N так, що AM : MB = 1 : 2, BN : NC = 2 : 1. Розкладіть вектор  за базисом

17.24. На сторонах BC і CD паралелограма ABCD позначили відповідно точки E і F так, що BE : EC = 3 : 1, CF : FD = 1 : 3. Розкладіть вектор  за базисом

17.25. Серед векторів  укажіть пари колінеарних векторів.

17.26. Доведіть, що вектори  колінеарні, якщо A (1; 1), B (3; -2), C (-1; 3), D (5; -6).

17.27. Дано вектори  Укажіть пари співнапрямлених і протилежно напрямлених векторів.

17.28. Знайдіть значення х, при яких вектори  колінеарні.

17.29. При яких значеннях у вектори  колінеарні?

17.30. Дано вектор  (-3; 1). Знайдіть координати вектора, колінеарного вектору , модуль якого вдвічі більший за модуль вектора . Скільки розв’язків має задача?

17.31. Знайдіть координати вектора , протилежно напрямленого вектору  (5; -12), якщо || = 39.

17.32. Знайдіть координати вектора , співнапрямленого з вектором  (-9; 12), якщо || = 5.

17.33. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами A (-1; 2), B (3; 5), C (14; 6) і D (2; -3) є трапецією.

17.34. Доведіть, що точки A (-1; 3), B (4; -7) і D (-2; 5) лежать на одній прямій.

17.35. Дано вектори  Знайдіть такі числа x і у, що

17.36. На стороні AC трикутника ABC позначили точку M так, що AM : MC = 2 : 3. Доведіть, що

17.37. На стороні BC трикутника ABC позначили точку D так, що BD : DC = 1 : 2. Доведіть, що

17.38. У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. На стороні BC позначено точку K так, що BK : KC = 2 : 3. Розкладіть вектор  за базисом

17.39. Діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці O так, що AO : OC = 1 : 2, BO : OD = 4 : 3. Розкладіть вектори ,  за базисом  де

17.40. На сторонах AB і BC трикутника ABC позначили відповідно точки K і F так, що AK : KB = 1 : 2 і BF : FC = 2 : 3. Розкладіть вектори  за базисом  

17.41. На сторонах AC і BC трикутника ABC позначили відповідно точки M і N так, що AM : MC = 1 : 3 і BN : NC = 4 : 3. Розкладіть вектори  за базисом  

17.42. Медіани трикутника ABC перетинаються в точці M. Розкладіть вектор  за базисом:

17.43. За допомогою векторів доведіть теорему про середню лінію трикутника.

17.44. За допомогою векторів доведіть теорему про середню лінію трапеції.

17.45. Точки M і N — відповідно середини діагоналей AC і BD трапеції ABCD (BC || AD). За допомогою векторів доведіть, що MN || AD.

17.46. Точки M₁ і М₂ — середини відрізків A₁B₁ і A₂B₂ відповідно. Доведіть, що

17.47. Точки M і N — відповідно середини протилежних сторін AB і CD чотирикутника ABCD. Доведіть, що коли

17.48. Точки M і N — відповідно середини діагоналей AC і BD чотирикутника ABCD. Доведіть, що

17.49. У коло вписано трикутники ABC і A₁B₁C₁ з ортоцентрами H і H₁ відповідно. Доведіть, що

17.50. Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють медіанам даного трикутника.

17.51. На сторонах BC, CA і AB трикутника ABC позначили відповідно точки A₁, B₁ і C₁ так, що  Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють відрізкам AA₁, BB₁ і CC₁.

17.52. Точки M і N — середини відповідно сторін AB і CD опуклого чотирикутника ABCD. Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють

17.53. Точки M₁ і М₂ — середини відрізків A₁B₁ і A₂B₂ відповідно. Доведіть, що середини відрізків A₁ A₂, M₁M₂ і B₁B₂ лежать на одній прямій.

17.54. На стороні AD і на діагоналі AC паралелограма ABCD позначено відповідно точки M і N так, що  Доведіть, що точки M, N і B лежать на одній прямій.

17.55. Нехай M₁ і М₂ — точки перетину медіан відповідно трикутників A₁B₁C₁ і A₂B₂C₂. Доведіть, що

17.56. На сторонах AB, BC і CA трикутника ABC позначили відповідно точки C₁, A₁ і B₁ так, що  Доведіть, що точки перетину медіан трикутників ABC і A₁B₁C₁ збігаються.

17.57. Чотирикутник ABCD є вписаним. Точки H₁, H₂, H₃ і H₄ — ортоцентри відповідно трикутників BCD, ACD, ABD і ABC. Доведіть, що середини відрізків AH₁, BH₂, CH₃ і DH₄ збігаються.

17.58. Чотирикутник ABCD вписано в коло із центром O. Доведіть, що коли  то чотирикутник ABCD — прямокутник.

17.59. Точка перетину відрізків, які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника, збігається з точкою перетину його діагоналей. Доведіть, що цей чотирикутник є паралелограмом.

17.60. Дано чотирикутник ABCD, середини сторін AB і CD та точка перетину діагоналей якого належать одній прямій. Доведіть, що AB || CD.

17.61. У п’ятикутнику ABCDE точки M, N, P і Q — середини сторін AB, BC, CD і DE відповідно. Точки K і F — середини відрізків MP і NQ відповідно. Доведіть, що KF || AE і KF =  AE.

17.62. У чотирикутнику ABCD точки M і N — середини сторін AB і CD відповідно. Точка K — середина відрізка MN. Медіани трикутника BCDперетинаються в точці P. Доведіть, що точки A, K і P лежать на одній прямій.

17.63. Із точки P, яка належить стороні AC рівностороннього трикутника ABC, на сторони AB і BC опущено перпендикуляри PE і PF відповідно. Доведіть, що точка перетину медіан трикутника ABC, середина відрізка EF і точка P лежать на одній прямій.

17.64. Дано трикутник ABC і довільну точку O. Точки P, Q і R — відповідно точки перетину медіан трикутників AOB, BOC, COA. Доведіть, що точка O і точки перетину медіан трикутників ABC і PQR лежать на одній прямій.

17.65. Паралельні прямі, які проходять через вершини A, B і C трикутника ABC, перетинають його описане коло в точках A₁, B₁ і C₁ відповідно. Доведіть, що ортоцентри H₁, H₂ і H₃ відповідно трикутників ABC₁, BCA₁ і CAB₁ лежать на одній прямій.