Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§5 ВЕКТОРИ

18. Скалярний добуток векторів

Нехай i — два ненульових та неспівнапрямлених вектори (рис. 18.1). Від довільної точки O відкладемо вектори відповідно рівні векторам i . Величину кута AOB називатимемо кутом між векторами i . Кут між векторами i позначають так:

Наприклад, на рисунку 18.1 а на рисунку 18.2

Рис. 18.1

Рис. 18.2

Рис. 18.3

Якщо вектори i співнапрямлені, то вважають, що

Якщо хоча б один із векторів або нульовий, то також вважають, що

Отже, для будь-яких векторів i має місце нерівність:

Вектори i називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°. Пишуть:

Ненульовий вектор називають перпендикулярним до прямої а, якщо прямі АВ і а перпендикулярні (рис. 18.3).

Ви вмієте додавати й віднімати вектори, множити вектор на число. Також із курсу фізики ви знаєте, що коли під впливом постійної сили тіло перемістилося з точки A в точку B (рис. 18.4), то виконана механічна робота дорівнює де

Рис. 18.4

Викладене вище підказує, що доцільно ввести ще одну дію над векторами.

Означення. Скалярним добутком двох векторів називають добуток їхніх модулів і косинуса кута між ними.

Скалярний добуток векторів i позначають так: i .

Маємо:

Якщо хоча б один із векторів або нульовий, то очевидно, що

Нехай = .

Тоді

Скалярний добуток називають скалярним квадратом вектора та позначають Ми отримали, що тобто скалярний квадрат векторадорівнює квадрату його модуля. Звідси

Теорема 18.1. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні.

Доведення.

Нехай

Доведемо, що

Маємо:

Звідси

Нехай тепер

Доведемо, що

Запишемо:

Оскільки то

Звідси тобто

Теорема 18.2. Скалярний добуток векторів можна обчислити за формулою

Доведення. Спочатку розглянемо випадок, коли вектори i неколінеарні.

Відкладемо від початку координат вектори відповідно рівні векторам i (рис. 18.5). Тоді

Рис. 18.5

Застосуємо теорему косинусів до трикутника AOB:

AB2 = OA2+ OB2- 2OA ∙ OB ∙ cos AOB.

Звідси

Оскільки то

Крім того,

Звідси

Маємо:

Скориставшася формулою знаходження модуля вектора за його координатами, запишемо:

Спрощуючи вираз, який записано в правій частині останньої рівності, отримуємо:

Розглянемо випадок, коли вектори i колінеарні.

Якщо то очевидно, що Якщо то існує таке число k, що тобто b1 = ka1, b2 = ka2. Якщо k > 0, то

Маємо:

Випадок, коли k < 0, розгляньте самостійно.

Наслідок. Косинус кута між ненульовими векторами можна обчислити за формулою

(*)

Доведення. З означення скалярного добутку векторів i випливає, що

Скориставшися теоремою 18.2 і формулою знаходження модуля вектора за його координатами, отримуємо формулу (*).

За допомогою теореми 18.2 легко довести такі властивості скалярного добутку векторів.

Для будь-яких векторів і будь-якого числа k виконуються рівності:

1) — переставна властивість;

2) — сполучна властивість;

3) — розподільна властивість.

Для доведення цих властивостей достатньо виразити через координати векторів скалярні добутки, записані в правих і лівих частинах рівностей, і порівняти їх. Зробіть це самостійно.

Ці властивості разом із властивостями додавання векторів і множення вектора на число дають змогу перетворювати вирази, які містять скалярний добуток векторів, аналогічно тому, як ми перетворюємо алгебраїчні вирази. Наприклад,

Задача 1. Відомо, що

Знайдіть

Розв’язання. Оскільки скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля, то

Звідси

Відповідь:

Задача 2. У трикутнику ABC відомо, що AB = 4 см, BC = 6 см, ABC = 30°. Знайдіть медіану BM.

Розв’язання. Застосовуючи ключову задачу 2 п. 17, запишемо: (рис. 18.6). Звідси

Отже, BM2 = 49; BM = 7 см.

Відповідь: 7 см.

Рис. 18.6

Рис. 18.7

Задача 3. На гіпотенузі AB рівнобедреного прямокутного трикутника ABC позначили точку K так, що AK : KB = 2 : 1 (рис. 18.7). Доведіть, що відрізок CK перпендикулярний до медіани AM трикутника ABC.

Розв’язання. Нехай

Скориставшася ключовою задачею 2 п. 17, можна записати:

Маємо:

З урахуванням того, що знайдемо скалярний добуток векторів

Маємо:

Отже,

Задача 4. Дано точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок C таких, що медіани AA1 і BB1 трикутника ABC перпендикулярні.

Розв’язання. Виберемо систему координат так, щоб A (0; 0), B (1; 0). Нехай C (x; у) — вершина трикутника ABC (рис. 18.8). Очевидно, що у 0.

Знайдемо координати векторів

Маємо:

Точка C належить шуканому ГМТ тоді й тільки тоді, коли

Маємо:

Рис. 18.8

Отже, шуканим ГМТ є коло радіуса AB із центром у середині відрізка AB, за винятком точок, які належать прямій AB.

Задача 5. Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через задану точку M (x0; y0) перпендикулярно до даного ненульового вектора (a; b).

Розв’язання. Нехай X (x; у) — довільна точка (рис. 18.9). Точка X належить шуканій прямій тоді й тільки тоді, коли тобто якщо виконується рівність

Звідси отримуємо:

a (x - x0) + b - y0) = 0 (*)

Рівняння (*) шукане.

Перепишемо рівняння (*) так: ax + by = ax0 + by0.

Нехай ax0 + by0 = c. Оскільки вектор , тобто a2 + b2 0, то отримуємо загальне рівняння прямої ax + by = c.

Розв’язання цієї задачі дає змогу в загальному рівнянні прямої ax + by = c визначити геометричний зміст коефіцієнтів a і b: вектор (а; b) перпендикулярний до даної прямої.

Рис. 18.9

1. У яких межах знаходиться кут між будь-якими векторами i ?

2. Які вектори називають перпендикулярними?

3. Що називають скалярним добутком двох векторів?

4. Що називають скалярним квадратом вектора?

5. Чому дорівнює скалярний квадрат вектора?

6. Cформулюйте умову перпендикулярності двох ненульових векторів.

7. Як знайти скалярний добуток векторів, якщо відомо їхні координати?

8. Як знайти косинус кута між двома ненульовими векторами, якщо відомо їхні координати?

9. Запишіть властивості скалярного добутку векторів.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

18.1. Побудуйте кут, величина якого дорівнює куту між векторами i (рис. 18.10).

18.2. Побудуйте кут, величина якого дорівнює куту між векторами i (рис. 18.11).

Рис. 18.10

Рис. 18.11

Рис. 18.12

18.3. На рисунку 18.12 зображено вектор (довжина сторони клітинки дорівнює 0,5 см). Відкладіть від точки A вектор такий, що Скільки розв’язків має задача?

ВПРАВИ

18.4. На рисунку 18.13 зображено рівносторонній трикутник ABC, медіани AM і BK якого перетинаються в точці F. Знайдіть кут між векторами:

Рис. 18.13

Рис. 18.14

18.5. На рисунку 18.14 зображено квадрат ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці O. Знайдіть кут між векторами:

18.6. Знайдіть скалярний добуток векторів i , якщо:

18.7. Знайдіть скалярний добуток векторів i , якщо:

18.8. Знайдіть скалярний добуток векторів i , якщо:

18.9. Знайдіть скалярний добуток векторів i , якщо:

18.10. На рисунку 18.15 зображено ромб ABCD, у якому AB = 6, ABC = 120°. Знайдіть скалярний добуток векторів:

Рис. 18.15

18.11. У трикутнику ABC відомо, що C = 90°, A = 30°, CB = 2. Знайдіть скалярний добуток векторів:

18.12. Знайдіть роботу сили величиною 6 Н з переміщення тіла на відстань 7 м, якщо кут між напрямами сили та переміщення дорівнює 60°.

18.13. У рівносторонньому трикутнику ABC, сторона якого дорівнює 1, медіани AA1 і BВ1 перетинаються в точці M. Обчисліть:

18.14. Точка O — центр правильного шестикутника ABCDEF, сторона якого дорівнює 1. Обчисліть:

18.15. Знайдіть косинус кута між векторами

18.16. Який знак має скалярний добуток векторів, якщо кут між ними:

1) гострий; 2) тупий?

18.17. Відомо, що скалярний добуток векторів є: 1) додатним числом; 2) від’ємним числом. Визначте вид кута між векторами.

18.18. При яких значеннях x кут між векторами

1) гострий; 2) тупий?

18.19. Знайдіть координати вектора , колінеарного вектору (3; -4), якщо

18.20. При якому значенні x вектори перпендикулярні?

18.21. Відомо, що x ≠ 0 і у ≠ 0. Доведіть, що вектори перпендикулярні.

18.22. При яких значеннях x вектори перпендикулярні?

18.23. При якому значенні у скалярний добуток векторів дорівнює 14?

18.24. Відомо, що вектори i неколінеарні та При яких значеннях x вектори перпендикулярні?

18.25. Вектори перпендикулярні. Доведіть, що

18.26. Відомо, що Знайдіть скалярний добуток

18.27. Знайдіть скалярний добуток якщо

18.28. Відомо, що Знайдіть

18.29. Відомо, що Знайдіть

18.30. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами A(3; -2), B (4; 0), C (2; 1) і D (1; -1) є прямокутником.

18.31. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами A(-1; 4), B (-2; 5), C (-1; 6) і D (0; 5) є квадратом.

18.32. Знайдіть косинуси кутів трикутника з вершинами A (1; 6), B (-2; 3) і C (2; -1).

18.33. Знайдіть кути трикутника з вершинами

18.34. Доведіть, що для будь-яких двох векторів i виконується нерівність

18.35. Визначте взаємне розміщення двох ненульових векторів i , якщо:

18.36. Знайдіть кут між векторами i , якщо

18.37. Знайдіть кут між векторами i , якщо

18.38. У трикутнику ABC відомо, що AB = 4, AC = 10, BAC = 60°. На стороні BC позначили точку M так, що BM : MC = 3. Знайдіть відрізок AM.

18.39. На параболі y = х2 позначили точки A(x1; y1), B(x2; y2) і C (x3; y3) так, що ABC = 90°. Доведіть, що (x1 + x2) (x2 + x3) = -1.

18.40. Точки M і N є серединами відповідно сторін BC і CD ромба ABCD. Доведіть, що коли AM A BN, то чотирикутник ABCD — квадрат.

18.41. У трикутнику ABC відомо, що AC = 90°, AC = 1, BC = . Доведіть, що його медіани AK і CM перпендикулярні.

18.42. У трикутнику ABC (AC = 90°) медіани CC1 і BB1 перпендикулярні. Знайдіть tg ABC.

18.43. У чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD перпендикулярні та перетинаються в точці O. Відомо, що OB = OC = 1, OA = 2, OD = 3. Знайдіть кут між прямими AB і DC.

18.44. У трикутнику ABC проведено медіану BD. Відомо, що DBC = 90°, BD = AB. Знайдіть кут ABD.

18.45. Точки K і M — середини відповідно сторін BC і CD паралелограма ABCD. Знайдіть сторону AD, якщо AK = 6, AM = 3, KAM = 60°.

18.46. В опуклому чотирикутнику ABCD відомо, що A = 65°, D = 85°, AB = , CD = 3. Знайдіть довжину відрізка, який сполучає середини сторін AD і BC.

18.47. В опуклому чотирикутнику ABCD точки M і N — середини діагоналей AC і BD відповідно. Знайдіть кут між прямими AB і CD, якщо AB = 2, CD= 4, MN = .

18.48. На гіпотенузі AB рівнобедреного прямокутного трикутника ABC знайдіть таку точку K, щоб відрізок CK і медіана AM були перпендикулярними.

18.49. На стороні AB рівностороннього трикутника ABC позначили точку C1 так, що AC1 : C1B = 1 : 2, а на стороні AC позначили точку B1 так, що CC1 BB1. Знайдіть відношення AB1 : B1C.

18.50. На сторонах AB і BC трикутника ABC у зовнішній бік побудовано квадрати ABMN і BCKF. Доведіть, що медіана BD трикутника ABCперпендикулярна до прямої MF.

18.51. Доведіть нерівність де A, B і C кути трикутника ABC.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити