У цьому параграфі ви дізнаєтеся, що таке перетворення фігури. Ознайомитеся з такими видами перетворень, як паралельне перенесення, центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, подібність.

Ви навчитеся застосовувати властивості перетворень під час розв'язування задач і доведення теорем.

19. Перетворення (відображення) фігур

Із курсу алгебри ви знаєте, що функцію f, у якої D(f) = X, E (f) = Y, також називають відображенням множини X на множину Y.

Як правило, в алгебрі елементами множин X і Y є числа. У геометрії природно розглядати такі множини X і Y, елементами яких є точки. У цьому разі множина X — це деяка фігура F, множина Y — фігура F₁, а відображення f — це відображення фігури F на фігуру F₁ (рис. 19.1). Пишуть: f (F) = F₁. Фігуру F₁ називають образом фігури F, фігуру F — прообразом фігури F₁ при відображенні f.

Рис. 19.1

Рис. 19.2

Розглянемо приклади.

Приклад 1. На рисунку 19.2 зображено відрізок AB, пряму a та точку O, яка не належить ні прямій а, ні прямій AB. Розглянемо функцію f, областю визначення якої є множина точок відрізка AB і яка задається за таким правилом: кожній точці X відрізка AB поставимо у відповідність точку X₁прямої а так, щоб точки O, X і X₁ лежали на одній прямій. Зокрема, f (A) = A₁, f (B) = B₁.

Зрозуміло, що множина всіх точок X₁ таких, що X₁ = f (X), утворює відрізок A₁B₁.

Таким чином, ми задали відображення f відрізка AB на відрізок A₁B₁. Також прийнято говорити, що задано перетворення f відрізка AB, результатом якого є відрізок A₁B₁. Тут відрізок A₁B₁ — це образ відрізка AB при перетворенні f, зокрема, точка A₁ — образ точки A, точка B₁ — образ точки B.

Слова «відображення» та «перетворення» є синонімами. У геометрії ми частіше користуватимемося терміном «перетворення фігури F ».

Приклад 2. На рисунку 19.3 зображено коло з діаметром AB. Задамо перетворення g кола: кожній точці X кола поставимо у відповідність точку X₁— основу перпендикуляра, опущеного з точки X на діаметр AB. Зокрема, g (A) = A, g (B) = B.

При цьому кожній точці кола поставлено у відповідність єдину точку діаметра AB, і кожна точка діаметра AB є образом щонайменше однієї точки кола.

Таким чином, ми задали перетворення g кола, при якому образом кола є його діаметр AB.

Приклад 3. Позначимо на площині точку O. Розглянемо функцію h, областю визначення якої є всі точки площини, а областю значень — множина, яка складається з однієї точки O, тобто кожній точці X площини поставимо у відповідність точку O. Маємо: h (X) = O.

Тут функція h — це перетворення площини, при якому образом площини є фігура, яка складається з однієї точки O.

У прикладі 1 кожна точка відрізка A₁B₁ є відповідною деякій єдиній точці відрізка AB. У таких випадках говорять, що перетворення f відрізка AB є оборотним. Оборотним перетворенням фігури називають таке перетворення, при якому різним точкам фігури відповідають різні образи.

У прикладі 2 перетворення кола не є оборотним (подумайте чому).

Рис. 19.3

Для кожного оборотного перетворення існує обернене до нього перетворення. Пояснимо сказане. Знову звернемося до рисунка 19.2. Оскільки перетворення f відрізка АВ є оборотним, то ми можемо розглянути функцію Д, областю визначення якої є множина точок відрізка A₁B₁ і яку задано таким правилом: кожній точці X₁ відрізка A₁B₁ поставимо у відповідність єдину точку X відрізка AB таку, що точки O, X і X₁ лежать на одній прямій. Перетворення f₁ є оберненим до перетворення f.

Узагалі, для заданого оборотного перетворення f можна вказати перетворення f₁, яке має такі властивості:

1) якщо фігура F₁ — образ фігури F при перетворенні f, то фігура F — образ фігури F₁ при перетворенні f₁;

2) якщо X — довільна точка фігури F і f (X) = X₁, то f₁ (X₁) = X.

Таке перетворення f₁ називають оберненим до перетворення f.

Також можна сказати, що перетворення f є оберненим до перетворення f₁. Перетворення f і f₁ називають взаємно оберненими.

Розглянемо перетворення f, при якому образом фігури F є сама ця фігура F, тобто f (F) = F. У цьому разі говорять, що задано перетворення фігури F на себе.

П р и к л а д 4. Розглянемо точку M, яка лежить усередині кола (рис. 19.4). Кожній точці X кола поставимо у відповідність точку X₁ — другу точку перетину прямої MX із колом. Отримаємо перетворення даного кола на себе.

Розглянемо перетворення f, при якому кожній точці X фігури F поставлено у відповідність саму точку X, тобто f (X) = X. Таке перетворення f фігури F називають тотожним. Очевидно, що тотожне перетворення є окремим випадком перетворення фігури на себе.

Тотожне перетворення є оборотним (подумайте чому).

Нехай у результаті перетворення f образом фігури F є фігура F₁, а в результаті перетворення g образом фігури F₁ є фігура F₂, тобто f (F) = F₁, g (F₁) = F₂ (рис. 19.5).

Рис. 19.4

Рис. 19.5

Перетворення f і g, виконані послідовно, задають перетворення h, при якому образом фігури F є фігура F₂. Таке перетворення h називають композицією перетворень f і g. Якщо виконується спочатку перетворення f, а потім перетворення g, то пишуть: h = g ° f. Тоді g ° f (F) = g (f (F)) = g (F₁) = F₂, тобто g ° f (F) = F₂.

Розглянемо два взаємно обернених перетворення f і g. Нехай X — довільна точка фігури F і f (X) = X₁. Тоді g (X₁) = X. Отже, g ⁰ f (X) = X. Це означає, що композиція двох взаємно обернених перетворень є тотожним перетворенням.

1. Опишіть, що таке перетворення фігури.

2. У якому разі фігуру F, називають образом фігури F, а фігуру F - прообразом фігури F₁?

3. Яке перетворення фігури називають оборотним? тотожним?

4. Опишіть перетворення, які називають взаємно оберненими.

5. Опишіть перетворення фігури, яке називають композицією перетворень.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

19.1. Позначимо на площині точку O. Задамо перетворення площини за таким правилом (рис. 19.6): кожній точці X площини поставимо у відповідність таку точку X₁, що точка O є серединою відрізка XX₁ (точці O поставимо у відповідність саму точку O). Побудуйте образи точок A і Bпри заданому перетворенні. Чи є це перетворення оборотним?

Рис. 19.6

Рис. 19.7

19.2. Проведемо на площині пряму l. Задамо перетворення площини за таким правилом (рис. 19.7): кожній точці X площини поставимо у відповідність таку точку X₁, що пряма l є серединним перпендикуляром відрізка XX₁ (кожній точці прямої l поставимо у відповідність цю саму точку). Побудуйте образи точок A і B при заданому перетворенні. Чи є це перетворення оборотним?

Рис. 19.8

Рис. 19.9

19.3. Позначимо на площині точку O. Задамо перетворення площини за таким правилом (рис. 19.8): кожній точці X площини поставимо у відповідність таку точку X₁, що (точці O поставимо у відповідність саму точку O). Побудуйте образи точок A і B при заданому перетворенні площини. Чи є це перетворення оборотним?

19.4. Дано вектор . Задамо перетворення площини за таким правилом (рис. 19.9): кожній точці X площини поставимо у відповідність таку точку X₁, що Побудуйте образи точок A і B при заданому перетворенні площини. Чи є це перетворення оборотним?

19.5. На рисунку 19.10 зображено кут AOB і пряму р, не паралельну його сторонам. Кожній точці X сторони OA поставимо у відповідність таку точку X₁ сторони OB, що XX₁ || р (точці O поставлено у відповідність саму точку O). Побудуйте образ точки M і прообраз точки K при даному перетворенні променя OA. Яка фігура є образом променя OA?

19.6. На рисунку 19.11 зображено відрізок AB і пряму а. Кожній точці X відрізка AB поставимо у відповідність основу перпендикуляра, опущеного з точки X на пряму a. Побудуйте образ точки E та прообраз точки F при даному перетворенні відрізка AB. Чи існують точки прямої а, які не мають прообразу? Побудуйте образ відрізка AB.

Рис. 19.10

Рис. 19.11

19.7. Нехай f і g — перетворення, задані в задачах 19.1 і 19.2 відповідно. Побудуйте образи точок A і B (рис. 19.12) при перетворенні:

1) f о g; 2) g о f.

19.8. Нехай f і g — перетворення, задані в задачах 19.3 і 19.4 відповідно. Побудуйте образи точок A і B (рис. 19.13) при перетворенні:

1) f о g; 2) g о f.

Рис. 19.12

Рис. 19.13

Рис. 19.14

19.9. Пряма а дотикається до півкола AB із центром O (рис. 19.14). Задайте яке-небудь перетворення півкола AB, при якому пряма а є образом півкола AB з «виколотими» точками A і B. З’ясуйте, чи є задане перетворення оборотним.

19.10. Задайте яке-небудь перетворення відрізка AB, при якому відрізок CD є образом відрізка AB (рис. 19.15). З’ясуйте, чи є задане перетворення оборотним.

19.11. Відрізок AB перпендикулярний до прямої MN (рис. 19.16). Задайте яке-небудь перетворення відрізка AB із «виколотою» точкою A, при якому його образом є промінь BN.

Рис. 19.15

Рис. 19.16

Рис. 19.17

19.12. Відрізок AB перпендикулярний до прямої l (рис. 19.17). Задайте яке-небудь перетворення відрізка AB із «виколотими» кінцями A і B, при якому його образом є пряма l.

ВПРАВИ

19.13. Задайте яке-небудь перетворення квадрата ABCD, при якому образом квадрата є сторона AB.

19.14. Задайте яке-небудь перетворення квадрата ABCD, при якому образом квадрата є діагональ AC.

19.15. Розглянемо коло радіуса r із центром O. Кожній точці X кола поставимо у відповідність точку X₁, яка належить радіусу OX, таку, що OX₁ = r. Яка фігура є образом заданого кола?

19.16. Дано кут AOB (рис. 19.18). Кожній точці X сторони OA поставимо у відповідність точку X₁, яка належить стороні OB і лежить на колі радіуса OX із центром O (точці O поставимо у відповідність саму точку O). Яка фігура є образом сторони OA?

Рис. 19.18

19.17. Дано кут MON. Кожній точці X сторони OM поставимо у відповідність таку точку X₁ сторони ON, що пряма XX₁ перпендикулярна до бісектриси кута MON (точці O поставимо у відповідність саму точку O). Чи є описане перетворення променя OM оборотним?

19.18. Відомо, що при перетворенні фігури F її образом є сама фігура F. Чи можна стверджувати, що це перетворення є тотожним?

19.19. Розглянемо фігуру, що складається з усіх точок, які належать сторонам прямокутника. Опишіть яке-небудь перетворення цієї фігури, при якому її образом є коло.

19.20. Розглянемо фігуру, що складається з усіх точок, які належать сторонам прямокутника. Опишіть яке-небудь перетворення цієї фігури, при якому її образом є фігура, що складається з усіх точок сторін ромба.

19.21. Задайте яке-небудь перетворення площини, при якому її образом є:

1) пряма; 3) відрізок;

2) промінь; 4) дві точки.

19.22. Позначимо на площині точку O. Задамо перетворення площини за таким правилом: кожній точці X площини поставимо у відповідність таку точку Х₁, що (точці O відповідає сама точка O). Доведіть, що це перетворення є оборотним, і задайте перетворення, обернене до даного.

19.23. Проведемо на площині пряму l (рис. 19.19). Задамо перетворення площини за таким правилом: кожній точці X площини поставимо у відповідність таку точку Х₂, що XX₁ l, X₁M = XM, де M = XX₁ l, і точки X і X₁ лежать у різних півплощинах відносно прямої l (кожній точці прямої l поставимо у відповідність цю саму точку). Доведіть, що це перетворення є оборотним, і задайте перетворення, обернене до даного.

Рис. 19.19

19.24. Задайте перетворення відрізка, відмінне від тотожного, при якому образом відрізка є цей самий відрізок.

19.25. Розглядається фігура, яка складається з трьох точок A, B і C. Укажіть образи точки A при всіх можливих перетвореннях даної фігури на себе.

19.26. Чи будь-яке перетворення фігури F на себе є оборотним?

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити