Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§6 ПЕРЕТВОРЕННЯ ФІГУР

20. Рух. Паралельне перенесення

Які властивості перетворення фігури гарантують збереження її розміру та форми? Виявляється, що достатньо лише однієї властивості: перетворення повинне зберігати відстань між точками, тобто якщо A і B — довільні точки фігури F, а точки A1 і B1 — їхні образи, то має виконуватися рівність AB = A1B1.

Означення. Перетворення фігури F, яке зберігає відстань між точками, називають рухом (переміщенням) фігури F.

Найпростішим прикладом руху є тотожне перетворення. Розглянемо властивості руху.

Теорема 20.1. При русі фігури F образами будь-яких її трьох точок, які лежать на одній прямій, є три точки, які лежать на одній прямій, а образами трьох точок, які не лежать на одній прямій, є три точки, які не лежать на одній прямій.

Доведення. Нехай точки A, B і C фігури F лежать на даній прямій, причому точка B належить відрізку AC (рис. 20.1). Тоді

AC = AB + BC. (1)

Розглянемо рух f фігури F.

Нехай f (A) = A1, f (B) = B1, f (C) = C1. З означення руху випливає, що AC = A1C1, AB = A1B1, BC = B1C1. З урахуванням рівності (1) можна записати: A1C1 = A1B1 + B1C1. Отже, точка B1 належить відрізку A1C1, тобто точки A1, B1 і C1 лежать на одній прямій.

Використовуючи нерівність трикутника, доведіть другу частину теореми самостійно.

Наслідок. При русі відрізка, променя, прямої, кута образами є відповідно відрізок, промінь, пряма, кут.

Доведемо першу із зазначених властивостей (решту властивостей ви можете довести самостійно або на заняттях математичного гуртка).

Нехай X — довільна точка відрізка AB. Розглянемо деякий рух f відрізка AB. Нехай f (A) = A1, f (B) = B1, f (X) = X1. Під час доведення теореми 20.1 було показано, що точка X1 належить відрізку A1B1. Це означає, що образи всіх точок відрізка AB належать відрізку A1B1.

Покажемо, що для кожної точки Y1 відрізка A1B1 знайдеться точка Y відрізка AB така, що f (Y) = Y1. Виберемо на відрізку AB таку точку Y, що AY = A1Y1. Нехай f (Y) = Y2. Тоді точка Y2 належить відрізку A1B1 і AY = A1Y2. Отримуємо, що A1Y1 = A1Y2. Отже, точки Y1 і Y2 збігаються, тобто f (Y) = Y1.

Рис. 20.1

Рис. 20.2

Теорема 20.2. Якщо f — рух, при якому образом кута ABC є кут A1B1C1, то ABC = A1B1C1.

Доведення. Позначимо на променях BA і BC точки M і N відповідно. Нехай f (M) = M1, f (N) = N1 (рис. 20.2). Точки M1 і N1 належать променям B1A1і B1C1 відповідно. Оскільки BM = B1M1, BN = B1N1, MN = M1N1, то трикутники BMN і B1M1N1 рівні за третьою ознакою рівності трикутників. Звідси B = B1.

Теорема 20.3. Якщо f — рух, при якому образом трикутника ABC є трикутник A1B1C1, то DABC = DA1B1C1.

Доведіть цю теорему самостійно.

Теорема 20.4. Рух є оборотним перетворенням. Перетворення, обернене до руху, також є рухом.

Доведення. Припустимо, що рух f фігури F не є оборотним перетворенням. Тоді знайдуться дві різні точки A і B фігури F такі, що f (A) = f (B) = C. Звідси випливає, що відстань між образами точок A і B дорівнює нулю. Отримали суперечність, оскільки AB 0.

Другу частину теореми доведіть самостійно.

Теорема 20.5. Якщо f і g — рухи, то композиція цих перетворень також є рухом.

Доведіть цю теорему самостійно.

Ми давно використовуємо поняття «рівність фігур», хоча не давали йому строгого означення.

Властивості руху вказують на те, що рух пов’язаний з рівністю фігур. Тому доречно домовитися про таке означення.

Означення. Дві фігури називають рівними, якщо існує рух, при якому одна з даних фігур є образом другої.

Запис F = F1 означає, що фігури F і F1 рівні.

Раніше рівними фігурами ми називали такі фігури, які збігалися при накладанні. Термін «накладання» інтуїтивно зрозумілий, і в нашому уявленні він пов’язаний із накладанням реальних тіл. Але геометричні фігури не можна накласти в буквальному розумінні цього слова. Тепер накладання фігури F на фігуру F1 можна розглядати як рух фігури F, при якому її образом є фігура F1.

Термін «рух» також асоціюється з певною фізичною дією: зміною положення тіла без деформації. Саме із цим пов’язана поява цього терміна в математиці. Проте в геометрії предметом дослідження є не процес, який відбувається в часі, а лише властивості фігури та її образу.

Нехай задано деяку фігуру F і вектор .

Кожній точці X фігури F поставили у відповідність точку X1 таку, що

Унаслідок такого перетворення фігури F отримаємо фігуру F1 (рис. 20.3). Таке перетворення фігури F називають паралельним перенесенням на вектор та позначають

Пишуть:

Те, що зображені на рисунку 20.3 фігури F і F1 рівні, зрозуміло з наочного сприйняття. Строге обґрунтування цього твердження дає така теорема.

Рис. 20.3

Рис. 20.4

Теорема 20.6 (властивість паралельного перенесення). Паралельне перенесення є рухом.

Доведення. Нехай A 1; y1) і B (x2; y2) — довільні точки фігури F (рис. 20.4), точки A1 і B1 — їхні відповідні образи при паралельному перенесенні на вектор (m; n), тобто

Тоді вектори мають координати (m; n). Отже, координатами точок A1 і B1 є відповідно пари чисел (x1 + m; y1 + n) і (x2 + m; y2 + n).

Маємо:

Отже, ми показали, що AB = A1B1, тобто паралельне перенесення зберігає відстань між точками. 4

Наслідок. Якщо фігура F1 — образ фігури F при паралельному перенесенні, то F1 = F.

Рис. 20.5

Цю властивість використовують при створенні малюнків на тканинах, шпалерах, покриттях для підлоги тощо (рис. 20.5). Якщо фігура F1 є образом фігури F при паралельному перенесенні на вектор , то фігура F є образом фігури F1 при паралельному перенесенні на вектор (рис. 20.6).

Паралельні перенесення на вектори i є взаємно оберненими перетвореннями.

Рис. 20.6

Задача 1. Кожній точці X (x; у) фігури F поставлено у відповідність точку X1 (x + m; у + n), де m і n — задані числа. Доведіть, що таке перетворення фігури F є паралельним перенесенням на вектор (m; n).

Розв’язання. Розглянемо вектор (m; n). Зауважимо, що координати вектора дорівнюють (m; n), тобто

Отже, описане перетворення фігури F — паралельне перенесення на вектор .

Задача 2. Точка А, (-2; 3) є образом точки А (-1; 2) при паралельному перенесенні на вектор .

Знайдіть координати вектора і координати образу точки B (-7; -3).

Розв’язання. З умови випливає, що

Звідси (-1; 1).

Нехай B, (x; у) — образ точки B (-7; -3). Тоді тобто x + 7 = -1 і у + 3 = 1. Звідси x = -8, у = -2.

Відповідь: (-1;1), B1 (-8; -2).

Задача 3. Дано кут ABC і пряму p, не паралельну жодній зі сторін цього кута (рис. 20.7). Побудуйте пряму р1, паралельну прямій р, так, щоб сторони кута відтинали на ній відрізок заданої довжини а.

Рис. 20.7

Рис. 20.8

Розв’язання. Розглянемо вектор такий, що MN || p i || = a (рис. 20.8). Побудуємо промінь B1A1, який є образом променя BA при паралельному перенесенні на вектор .

Позначимо точку перетину променів BC і B1A1 буквою E. Нехай точка F — прообраз точки E при паралельному перенесенні, що розглядається. Тоді тобто і FE || р.

Наведені міркування підказують такий алгоритм побудови:

1) знайти образ променя BA при паралельному перенесенні на вектор ;

2) позначити точку перетину променя BC із побудованим образом;

3) через знайдену точку провести пряму р1, паралельну прямій р. Пряма р1 буде шуканою.

1. Яке перетворення фігури називають рухом?

2. Сформулюйте властивості руху.

3. Які дві фігури називають рівними?

4. Опишіть перетворення фігури F, яке називають паралельним перенесенням на вектор .

5. Сформулюйте властивість паралельного перенесення.

6. Якими рухами є паралельні перенесення на вектори

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

20.1. Побудуйте образи відрізка AB і променя OM при паралельному перенесенні на вектор (рис. 20.9).

Рис. 20.9

Рис. 20.10

20.2. На рисунку 20.10 пряма а є образом деякої прямої при паралельному перенесенні на вектор . Побудуйте прообраз прямої a.

20.3. Коло із центром O, є образом кола із центром O при паралельному перенесенні на вектор (рис. 20.11). Відкладіть вектор від точки M.

Рис. 20.11

Рис. 20.12

20.4. На рисунку 20.12 трикутник A1B1C1 є образом трикутника АВС при деякому русі f. Побудуйте образ точки М при цьому русі.1

1 Ця задача є ілюстрацією до такої теореми: будь-який рух площини задається рухом трьох точок, які не лежать на одній прямій.

ВПРАВИ

20.5. Розглянемо коло радіуса r із центром O. Кожній точці X кола поставимо у відповідність точку X1, яка належить радіусу OX, таку, що OX1 = r. Чи є рухом описане перетворення?

20.6. Дано кут AOB (рис. 20.13). Кожній точці X сторони OA поставимо у відповідність точку X1, яка належить стороні OB і лежить на колі радіуса OX із центром O (точці O поставимо у відповідність саму точку O). Доведіть, що описане перетворення є рухом.

Рис. 20.13

20.7. Дано кут MON. Кожній точці X сторони OM поставимо у відповідність таку точку X1 сторони ON, що пряма XX1 перпендикулярна до бісектриси кута MON (точці O поставимо у відповідність саму точку O). Доведіть, що описане перетворення є рухом.

20.8. Дано пряму а і відрізок AB, який не має з нею спільних точок. Кожній точці X відрізка AB ставиться у відповідність основа перпендикуляра, опущеного з точки X на пряму а. При якому взаємному розміщенні прямої а і відрізка AB описане перетворення є рухом?

20.9. Точки A1 і B1 не належать прямій AB та є образами відповідно точок A і B при паралельному перенесенні прямої AB. Доведіть, що чотирикутник AA1B1B — паралелограм.

20.10. Точки A1 і B1 є образами відповідно точок A і B при паралельному перенесенні відрізка AB. Знайдіть відрізок A1B1, якщо AB = 5 см.

20.11. Вектор паралельний прямій а. Яка фігура є образом прямої а при її паралельному перенесенні на вектор ?

20.12. Дано паралелограм ABCD. Який вектор задає паралельне перенесення, при якому сторона AD є образом сторони BC?

20.13. Чи існує паралельне перенесення рівностороннього трикутника ABC, при якому сторона AB є образом сторони BC?

20.14. Знайдіть точки, які є образами точок A (-2; 3) і B (1; -4) при паралельному перенесенні на вектор (-1; -3).

20.15. Чи існує паралельне перенесення, при якому образом точки A (1; 3) є точка A1 (4; 0), а образом точки B (-2; 1) — точка B1 (1; 4)?

20.16. При паралельному перенесенні на вектор (2; -1) образом точки A є точка A1 (-3; 4). Знайдіть координати точки A.

20.17. Точка M1 (x; 2) є образом точки M (3; у) при паралельному перенесенні, при якому точка A (2; 3) є образом початку координат. Знайдіть x і y.

20.18. Скільки існує паралельних перенесень прямої а, при яких її образом є пряма a?

20.19. Дано точки A (3; -2) і B (5; -4). При паралельному перенесенні відрізка AB образом його середини є точка M1 (-4; 3). Знайдіть образи точок A і B при такому паралельному перенесенні.

20.20. Точки A (1; 3), B (2; 6) і C (-3; 1) є вершинами паралелограма ABCD. При паралельному перенесенні паралелограма ABCD образом точки перетину його діагоналей є точка O1 (-2; -4). Знайдіть образи точок A, B, C і D при такому паралельному перенесенні.

20.21. Знайдіть рівняння кола, яке є образом кола х2 + у2 = 1 при паралельному перенесенні на вектор (-3; 4).

20.22. Знайдіть рівняння параболи, яка є образом параболи у = х2 при паралельному перенесенні на вектор (2; -3).

20.23. Усередині прямокутника ABCD позначили точку M. Доведіть, що існує опуклий чотирикутник, діагоналі якого перпендикулярні та дорівнюють AB і BC, а сторони дорівнюють MA, MB, MC і MD.

20.24. Побудуйте трапецію за основами та діагоналями.

20.25. Побудуйте трапецію за чотирма сторонами.

20.26. Побудуйте відрізок, рівний і паралельний даному відрізку AB, так, щоб один його кінець належав даній прямій, а другий — даному колу.

20.27. Побудуйте хорду даного кола, яка дорівнює та паралельна даному відрізку AB.

20.28. Два кола радіуса R дотикаються в точці M. На одному з них позначили точку A, на другому — точку B так, що AMB = 90°. Доведіть, що AB= 2R.

20.29. Побудуйте чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно непаралельні, за чотирма кутами та двома протилежними сторонами.

20.30. У якому місці потрібно побудувати міст MN через річку, яка розділяє два населених пункти A і B (рис. 20.14), щоби шлях AMNB був найкоротшим (береги річки вважаємо паралельними прямими, міст перпендикулярний до берегів річки)?

Рис. 20.14

20.31. Усередині прямокутника ABCD позначили точку M так, що BMC + AMD = 180°. Знайдіть суму кутів BCM і MAD.

20.32. Усередині паралелограма ABCD позначили точку M так, що MAD = MCD. Доведіть, що MBC = MDC.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити