Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§6 ПЕРЕТВОРЕННЯ ФІГУР

21. Осьова симетрія

Означення. Точки A і A1 називають симетричними відносно прямої l, якщо пряма l є серединним перпендикуляром відрізка AA1 (рис. 21.1). Якщо точка A належить прямій l, то її вважають симетричною самій собі відносно прямої l.

Рис. 21.1

Рис. 21.2

Наприклад, точки A і A1, у яких ординати рівні, а абсциси — протилежні числа, симетричні відносно осі ординат (рис. 21.2).

Розглянемо фігуру F і пряму l. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність симетричну їй відносно прямої l точку X1.

Унаслідок такого перетворення фігури F отримаємо фігуру F1 (рис. 21.3). Таке перетворення фігури F називають осьовою симетрією відносно прямої l. Перетворення, яке є осьовою симетрією відносно прямої l, позначають S. Пишуть: Sl (F) = F1. Пряму l називають віссю симетрії. Говорять, що фігури F і F1 симетричні відносно прямої l.

Рис. 21.3

Теорема 21.1 (властивість осьової симетрії). Осьова симетрія є рухом.

Доведення. Виберемо систему координат так, щоб вісь симетрії збігалася з віссю ординат.

Нехай A(x1; y1) і B(x2; y2) — довільні точки фігури F. Тоді точки A1 (-x1; y1) і B1 (-x2; y2) — їхні відповідні образи при осьовій симетрії відносно осі ординат. Маємо:

Ми отримали, що AB = A1B1, тобто осьова симетрія зберігає відстань між точками. Отже, осьова симетрія є рухом.

Наслідок 1. Якщо Sl(F) = F1, то F = F1.

Наслідок 2. Осьова симетрія є оборотним перетворенням. Якщо Sl (F) = F1f то Sl (F1) = F, тобто Sl ° Sl (F) = F.

Д о в е д е н н я. Перша частина теореми випливає з оборотності руху.

Нехай Xдовільна точка фігури F і Sl (X) = X1. Тоді Sl (X1) = X. Звідси Sl о Sl (X) = X, тобто Sl ° Sl (F) = F.

Означення. Фігуру називають симетричною відносно прямої l, якщо Sl (F) = F.

Пряму l називають віссю симетрії фігури. Також говорять, що фігура має вісь симетрії.

Наведемо приклади фігур, які мають вісь симетрії.

На рисунку 21.4 зображено рівнобедрений трикутник. Пряма, яка містить його висоту, проведену до основи, є віссю симетрії трикутника.

Будь-який кут має вісь симетрії — це пряма, яка містить його бісектрису (рис. 21.5).

Рис. 21.4

Рис. 21.5

Рис. 21.6

Рис. 21.7

Рис. 21.8

Рівносторонній трикутник має три осі симетрії (рис. 21.6).

Дві осі симетрії має відрізок: це його серединний перпендикуляр і пряма, яка містить цей відрізок (рис. 21.7).

Квадрат має чотири осі симетрії (рис. 21.8).

Прямокутник і ромб, відмінні від квадрата, мають рівно по дві осі симетрії (рис. 21.9, 21.10). Ці осі перпендикулярні. Узагалі, справедлива така теорема.

Теорема 21.2. Якщо фігура має рівно дві осі симетрії, то ці осі перпендикулярні.

Цю теорему ви зможете довести на заняттях математичного гуртка.

Існують фігури, які мають безліч осей симетрії, наприклад коло. Будь-яка пряма, що проходить через центр кола, є його віссю симетрії (рис. 21.11).

Безліч осей симетрії має і пряма: сама пряма та будь-яка пряма, перпендикулярна до неї, є її осями симетрії.

Рис. 21.9

Рис. 21.10

Рис. 21.11

Ми бачимо, що осі симетрії рівностороннього трикутника, прямокутника, ромба, квадрата перетинаються в одній точці. Узагалі, справедлива така теорема.

Теорема 21.3. Якщо многокутник має дві або більше осей симетрії, то всі вони перетинаються в одній точці.

Цю теорему ви зможете довести на заняттях математичного гуртка.

Нехай l1 || l2 і Sl1 (F) = F1, Sl2 (F1) = F2 (рис. 21.12). Наочно очевидно, що фігура F2 — це образ фігури F при деякому паралельному перенесенні.

Рис. 21.12

Строге обґрунтування цього факту дає така теорема.

Теорема 21.4. Композиція двох осьових симетрій з паралельними осями є паралельним перенесенням.

Складемо план доведення, який ви зможете реалізувати самостійно.

Нехай прямі l1 і l2 паралельні й де Покажіть, що

Для цього введіть систему координат так, як показано на рисунку 21.13. Нехай X — довільна точка фігури F, Sl1 (X) = X1, Sl2 (X1) = X2. Доведіть, ще

Рис. 21.13

Рис. 21.14

Задача 1. Накреслили нерівнобедрений трикутник ABC. Провели пряму l, яка містить бісектрису кута С. Потім рисунок витерли, залишивши лише точки A і B та пряму l. Відновіть трикутник ABC.

Розв’язання. Оскільки пряма l є віссю симетрії кута ACB, то точка A1, де A1 = Sl (A), належить променю CB. Тоді перетином прямих l і BA1 є вершина C шуканого трикутника ABC (рис. 21.14).

Ці міркування підказують, як побудувати шуканий трикутник: будуємо точку А1, симетричну точці A відносно прямої l. Знаходимо вершину C як точку перетину прямих l і BA1.

Задача 2. Точки A і B лежать в одній півплощині відносно прямої а. Знайдіть на прямій а таку точку X, щоб сума AX + XB була найменшою.

Розв’язання. Нехай Sa (A) = A1. Покажемо, що шуканою точкою X є точка перетину прямих A1B і а.

Нехай Y — довільна точка прямої а, відмінна від точки X (рис. 21.15), відрізки A1X і A1Y — образи відрізків AX і AY при симетрії відносно прямої а відповідно. Тоді AX = A1X, AY = A1Y.

Маємо AX + BX = A1X + BX = A1B < A1Y + YB = AY + YB.

Задача 3. Точка O належить гострому куту ABC (рис. 21.16). На сторонах BA і BC кута знайдіть такі точки E і F, щоби периметр трикутника OEF був найменшим.

Рис. 21.15

Рис. 21.16

Розв’язання. Нехай SBA(O) = O1, SBC(O) = O2 (рис. 21.17) і пряма O1O2 перетинає сторони BA і BC у точках E і F відповідно. Доведемо, що точки E і F — шукані.

Зауважимо, що відрізки EO1 і EO симетричні відносно прямої BA. Отже, EO1 = EO. Аналогічно FO = FO2. Тоді периметр трикутника OEF дорівнює довжині відрізка O1O2.

Покажемо, що побудований трикутник має найменший периметр з можливих. Розглянемо трикутник KOM, де K і M — довільні точки відповідно променів BA і BC, причому точка K не збігається з точкою E або точка M не збігається з точкою F. Зрозуміло, що KO = KO1 і MO = MO2. Тоді периметр трикутника KOM дорівнює сумі O1K + KM + MO2. Проте O1K + KM + MO2O1O2.

Рис. 21.17

Задача 4. На сторонах AB, BC і CA гострокутного трикутника ABC знайдіть такі точки M, N і P відповідно, щоби периметр трикутника MNP був найменшим.

Рис. 21.18

Рис. 21.19

Розв’язання. Нехай P — довільна точка сторони AC трикутника ABC, SAB (P) = P1, SBC (P) = P2 (рис. 21.18). Пряма P1P2 перетинає сторони AB і BCвідповідно в точках M і N. Із розв’язування задачі 3 випливає, що з периметрів усіх трикутників, для яких точка P фіксована, а точки M і Nналежать сторонам AB і BC відповідно, периметр трикутника MNP є найменшим. Цей периметр дорівнює довжині відрізка P1P2.

Зауважимо, що відрізок EF — середня лінія трикутника PP1P2.

Тоді EF = P1P2.

Оскільки BEP + BFP = 180°, то точки P, E, B і F лежать на одному колі з діаметром BP. Звідси EF = BP sin B. Отже, довжина відрізка EF буде найменшою при найменшій довжині відрізка BP, тобто тоді, коли BP — висота трикутника ABC.

На рисунку 21.19 відрізок BP — висота трикутника ABC. Алгоритм побудови трикутника MNP зрозумілий з рисунка.

Із побудови випливає, що периметр будь-якого іншого трикутника, вершини якого лежать на сторонах трикутника ABC, більший за периметр трикутника MNP. Отже, шуканий трикутник є єдиним — це побудований трикутник MNP.

Можна показати (зробіть це самостійно), що точки M і N є основами висот, проведених відповідно з вершин C і A трикутника АВС.

Отже, вершини шуканого трикутника — це основи висот даного трикутника ABC. Такий трикутник називають ортоцентричним.

1. Які точки називають симетричними відносно прямої І? Як називають пряму l?

2. Які фігури називають симетричними відносно прямої l?

3. Сформулюйте властивість осьової симетрії.

4. Яку властивість мають фігури, симетричні відносно прямої?

5. Про яку фігуру говорять, що вона має вісь симетрії?

6. Наведіть приклади фігур, які мають вісь симетрії.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

21.1. Побудуйте образи фігур, зображених на рисунку 21.20, при симетрії відносно прямої l.

Рис. 21.20

21.2. Накресліть трикутник. Побудуйте трикутник, симетричний йому відносно прямої, яка містить одну з його середніх ліній.

21.3. Точки A і B симетричні відносно прямої l (рис. 21.21). Побудуйте пряму l.

21.4. Проведіть прямі а і а1, які перетинаються. Побудуйте пряму, відносно якої пряма а1 буде симетричною прямій а. Скільки розв’язків має задача?

21.5. Проведіть паралельні прямі а і а1. Побудуйте пряму, відносно якої пряма а1 буде симетричною прямій а.

21.6. Побудуйте ромб ABCD за його вершинами B і C та прямою l, яка містить його діагональ BD (рис. 21.22).

21.7. Побудуйте рівнобедрений трикутник ABC за вершиною A, точкою K, яка належить бічній стороні BC, і прямою, яка містить висоту, проведену до основи AB (рис. 21.23).

Рис. 21.21

Рис. 21.22

Рис. 21.23

Рис. 21.24

21.8. Кола із центрами O1 і O2 мають дві спільні точки (рис. 21.24). За допомогою тільки циркуля побудуйте кола, симетричні даним відносно прямої AB.

ВПРАВИ

21.9. Пряма l проходить через середину відрізка AB. Чи обов’язково точки A і B є симетричними відносно прямої l?

21.10. Доведіть, що пряма, яка містить медіану рівнобедреного трикутника, проведену до основи, є його віссю симетрії.

21.11. На рисунку 21.25 зображено рівнобедрений трикутник ABC і пряму l, яка містить його висоту, проведену до основи AC. Відрізки AM і CN — медіани трикутника. Укажіть образи точок A і B, медіани CN і сторони AC при симетрії відносно прямої l.

Рис. 21.25

Рис. 21.26

21.12. Доведіть, що пряма, яка проходить через середини основ рівнобічної трапеції, є її віссю симетрії.

21.13. На рисунку 21.26 зображено рівнобічну трапецію ABCD і пряму l, яка проходить через середини її основ. Укажіть образи точок B і D, діагоналі AC і основи BC при симетрії відносно прямої l.

21.14. Доведіть, що прямі, які містять діагоналі ромба, є його осями симетрії.

21.15. Доведіть, що прямі, які проходять через середини протилежних сторін прямокутника, є його осями симетрії.

21.16. Доведіть, що пряма, яка містить бісектрису кута, є його віссю симетрії.

21.17. Кола із центрами O1 і O2 перетинаються в точках A і B. Доведіть, що точки A і B симетричні відносно прямої O1O2.

21.18. Знайдіть координати точок, симетричних точкам A (-2; 1) і B (0; -4) відносно осей координат.

21.19. Точки A (x; 3) і B (-2; у) симетричні відносно: 1) осі абсцис; 2) осі ординат. Знайдіть x і у.

21.20. Образом прямої а при симетрії відносно прямої l є сама пряма а. Яке взаємне розміщення прямих а і l?

21.21. Доведіть, що трикутник, який має вісь симетрії, є рівнобедреним.

21.22. Доведіть, що трикутник, який має дві осі симетрії, є рівностороннім. Чи може трикутник мати рівно дві осі симетрії?

21.23. Доведіть, що коли паралелограм має рівно дві осі симетрії, то він є або прямокутником, або ромбом.

21.24. Доведіть, що коли чотирикутник має чотири осі симетрії, то він є квадратом.

21.25. Точка M належить прямому куту ABC (рис. 21.27). Точки M1 і М2 — образи точки M при симетрії відносно прямих BA і BC відповідно. Доведіть, що точки M1, B і M2 лежать на одній прямій.

21.26. Знайдіть координати точок, симетричних точкам A (-2; 0) і B (3; -1) відносно прямої, яка містить бісектриси: 1) першого та третього координатних кутів; 2) другого та четвертого координатних кутів.

21.27. Точки A (x; -1) і B (у; 2) симетричні відносно прямої, яка містить бісектриси першого та третього координатних кутів. Знайдіть x і у.

21.28. Центр кола, вписаного в чотирикутник, лежить на його діагоналі. Доведіть, що цей чотирикутник має вісь симетрії.

Рис. 21.27

21.29. Доведіть, що опуклий чотирикутник, який має вісь симетрії, є або вписаним у коло, або описаним навколо кола.

21.30. Доведіть, що точки, симетричні ортоцентру трикутника відносно прямих, які містять його сторони, лежать на описаному колі цього трикутника.

21.31. У прямокутному трикутнику ABC (C = 90°) медіана AM, проведена до меншого катета, утворює з більшим катетом кут 15°. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо AM = m.

21.32. Точки A і B лежать у різних півплощинах відносно прямої a. На прямій a знайдіть таку точку X, щоби пряма a містила бісектрису кута AXB.

21.33. Точки A і B лежать в одній півплощині відносно прямої а. Знайдіть на прямій a таку точку X, щоби промені XA і XB утворювали із цією прямою рівні кути.

21.34. Точки A і B лежать у різних півплощинах відносно прямої а. Знайдіть на прямій а таку точку X, щоб величина |AX - XB| була найбільшою.

21.35. Доведіть, що з усіх трикутників з даною стороною та даною висотою, проведеною до цієї сторони, рівнобедрений має найменший периметр.

21.36. Точки M і N належать куту ABC. Знайдіть на сторонах цього кута такі точки E і F, щоби периметр чотирикутника EMNF був найменшим.

21.37. Через вершину A трикутника ABC і точку D, яка лежить на стороні BC, проведено пряму. Відомо, що ADB 90°. Знайдіть на цій прямій таку точку X, з якої відрізки BD і DC було б видно під однаковими кутами.

21.38. Побудуйте трикутник ABC, якщо дано пряму AB і серединні перпендикуляри сторін BC і CA.

21.39. Побудуйте трикутник ABC, якщо дано вершину A та прямі, на яких лежать бісектриси кутів B і C.

21.40. Побудуйте паралелограм ABCD за вершиною D і серединними перпендикулярами сторін AB і BC.

21.41. На бісектрисі зовнішнього кута C трикутника ABC позначено точку M, відмінну від точки C. Доведіть, що MA + MB > CA + CB.

21.42. Точки A, B і C є вершинами нерівнобедреного трикутника. Скільки існує таких точок D, що чотирикутник з вершинами A, B, C і D має хоча б одну вісь симетрії?

21.43. Побудуйте трикутник ABC за двома сторонами AB і AC (AB < AC) та різницею кутів B і C.

21.44. Побудуйте трапецію за бічними сторонами, основою та різницею кутів при цій основі.

21.45. Точки C і D лежать в одній півплощині відносно прямої AB (рис. 21.28). На прямій AB знайдіть таку точку X, що

21.46. Точки C і D лежать в одній півплощині відносно прямої AB. На прямій AB знайдіть таку точку X, що |AXC - BXD| = 90°.

21.47. Доведіть, що площа опуклого чотирикутника ABCD не більша за

Рис. 21.28

21.48. Побудуйте чотирикутник ABCD за чотирма його сторонами, якщо відомо, що його діагональ AC є бісектрисою кута BAC.

21.49. У коло вписано гострокутний трикутник. Побудуйте шестикутник, вписаний у це коло, площа якого вдвічі більша за площу даного трикутника.

21.50. В опуклому чотирикутнику ABCD кут BAD дорівнює 60°. Відомо, що точки, симетричні точці A відносно прямих CB і CD, лежать на прямій BD. Знайдіть кут BCD.

21.51. У прямокутній трапеції ABCD (A = B = 90°) бісектриса кута ADC перетинає сторону AB у точці M. Знайдіть кут CMD, якщо CD = AD + BC.

21.52. Точка M — середина сторони BC опуклого чотирикутника ABCD. Відомо, що AMD = 120°. Доведіть, що

21.53. Сторони опуклого п’ятикутника ABCDE рівні. Відомо, що ACE = BCD. Знайдіть кут ACE.

21.54. Дано трикутник АВС. Знайдіть точку, симетричний образ якої відносно будь-якої сторони трикутника лежить на колі, описаному навколо цього трикутника.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити