Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§6 ПЕРЕТВОРЕННЯ ФІГУР

22. Центральна симетрія

Означення. Точки A і A1 називають симетричними відносно точки O, якщо точка O є серединою відрізка AA1 (рис. 22.1). Точку O вважають симетричною самій собі.

Рис. 22.1

Рис. 22.2

Рис. 22.3

Наприклад, точки A і А1, у яких як абсциси, так і ординати — протилежні числа, симетричні відносно початку координат (рис. 22.2).

Розглянемо фігуру F і точку O. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність симетричну їй відносно точки O точку X1. Унаслідок такого перетворення фігури F отримаємо фігуру F1 (рис. 22.3). Таке перетворення фігури F називають центральною симетрією відносно точки O та позначають SO. Пишуть: SO (F) = F1. Точку O називають центром симетрії. Також говорять, що фігури F і F1 симетричні відносно точки O.

Теорема 22.1 (властивість центральної симетрії). Центральна симетрія є рухом.

Доведення. Виберемо систему координат так, щоб центр симетрії збігався з початком координат. Нехай A (x1; у1) і B (x2; y2) — довільні точки фігури F. Точки A1 (-x1; -y1) і B1 (-x2; -y2) — відповідно їхні образи при центральній симетрії відносно початку координат. Маємо:

Ми отримали, що AB = A1B1, тобто центральна симетрія зберігає відстань між точками. Отже, центральна симетрія є рухом.

Наслідок 1. Якщо SO(F) = F1, то F = F1.

Наслідок 2. Центральна симетрія є оборотним перетворенням. Якщо SO (F) = F1, то SO (F1) = F, тобто SO ° SO (F) = F.

Означення. Фігуру називають симетричною відносно точки O, якщо SO (F) = F.

Точку O називають центром симетрії фігури. Також говорять, що фігура має центр симетрії.

Наведемо приклади фігур, які мають центр симетрії.

Центром симетрії відрізка є його середина (рис. 22.4).

Рис. 22.4

Точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії (рис. 22.5).

Існують фігури, які мають безліч центрів симетрії. Наприклад, кожна точка прямої є її центром симетрії.

Також безліч центрів симетрії має фігура, яка складається з двох паралельних прямих. Будь-яка точка прямої, рівновіддаленої від двох даних, є центром симетрії розглядуваної фігури (рис. 22.6).

Рис. 22.5

Рис. 22.6

Задача 1. Доведіть, що образом даної прямої l при симетрії відносно точки O, яка не належить прямій l, є пряма, паралельна даній.

Розв’язання. Оскільки центральна симетрія — це рух, то образом прямої l буде пряма. Для побудови прямої достатньо знайти дві будь-які її точки.

Виберемо на прямій l довільні точки A і B (рис. 22.7). Нехай точки A1 і B1 — їхні образи при центральній симетрії відносно точки O, тобто SO (A) = A1, SO (B) = B1. Тоді пряма A1B1образ прямої l.

Оскільки AO = OA1, BO = OB1, кути AOB і A1OB1 рівні як вертикальні, то трикутники AOB і A1OB1 рівні за першою ознакою рівності трикутників. Звідси 1 = 2 (рис. 22.7). Отже, l || A1B1.

Ми навели приклади фігур, які мають рівно один центр симетрії або безліч центрів симетрії. Виникає природне запитання: чи може фігура мати рівно два, рівно три й узагалі, будь-яку скінченну, відмінну від 1, кількість центрів симетрії? Відповідь на це запитання негативна. Ви можете довести цей факт на заняттях математичного гуртка.

Рис. 22.7

Задача 2. Точка M належить куту ABC (рис. 22.8). На сторонах BA і BC кута побудуйте такі точки E і F, щоб точка M була серединою відрізка EF.

Рис. 22.8

Рис. 22.9

Розв’язання. Нехай пряма A1B1 — образ прямої AB при центральній симетрії відносно точки M (рис. 22.9). Позначимо буквою F точку перетину прямих A1B1 і BC.

Знайдемо прообраз точки F. Очевидно, що він лежить на прямій AB. Тому достатньо знайти точку перетину прямих FM і AB. Позначимо цю точку буквою E. Тоді E і F — шукані точки.

Задача 3. Доведіть, що:

1) композиція двох центральних симетрій є паралельним перенесенням;

2) композиція центральної симетрії та паралельного перенесення є центральною симетрією;

3) композиція парної кількості центральних симетрій є паралельним перенесенням;

4) композиція непарної кількості центральних симетрій є центральною симетрією.

Розв’язання. 1) Розглянемо дві центральні симетрії із центрами O, (a1; b1) і O2 (a2; b2). Нехай A (x; y) — довільна точка площини і So (A) = A1, SO2(A1) = A2. Знайдемо координати точок А1 і А2. Маємо: A1 (2a, - x; 2b, - y) і A2 (2a2 - 2a1 + x; 2b2 - 2b1 + y).

Звідси отримуємо, що вектор при заданих точках O, і O2 має сталі координати (2a2 - 2a1; 2b2 - 2b1). Отже, точка A2 є образом точки A при паралельному перенесенні на вектор з координатами (2a2 - 2a1; 2b2 - 2b1).

2) Розглянемо композицію

Виберемо систему координат так, щоб центр симетрії, точка O, мав координати (0; 0). Нехай при цьому вектор має координати (a; b). Розглянемо довільну точку A (x; y) координатної площини.

Маємо: SO (A) = A, (-x; -y); Ta (A1) = A2(-x + a; - y + b). Отже, точка A2 є образом точки A при центральній симетрії із центром

Аналогічно можна показати, що композиція є центральною симетрією із центром

Використовуючи пункти , і 2 задачі, доведіть пункти 3 і 4 самостійно.

Задача 4. Побудуйте п’ятикутник ABCDE, якщо дано точки M1, M2, M3, M4, M5, які є серединами його сторін AB, BC, CD, DE, EA відповідно.

Розв’язання. Маємо: SM1 (А) = B, SM2 (B) = C, SM3 (C) = D, SM4 (D) = SM5 (E) = А. Отже, SM5 ° SM4 ° SM3 ° SM2 ° SM1 (A) = А. Але композиція непарної кількості центральних симетрій є центральною симетрією. А при центральній симетрії лише одна точка збігається зі своїм образом — це центр симетрії. Отже,

Тепер вершину A шуканого п’ятикутника можна побудувати таким чином. Нехай X — довільна точка. Побудуємо точки X1, X2, X3, X4, X5 такі, що X1= SM1(X), X2 = SM2(X1), X3 = SM3(X2), X4 = SM4 (X3), X5 = SM5 (X4). Точка A є серединою відрізка XX5. Подальша побудова є очевидною.

Вивчаючи навколишній світ, ми часто бачимо приклади прояву симетрії в природі (рис. 22.10).

Об’єкти, які мають вісь або центр симетрії, легко сприймаються та приємні для очей. Недарма в Стародавній Греції слово «симетрія» слугувало синонімом слів «гармонія», «краса».

Рис. 22.10

Ідея симетрії широко використовується в образотворчому мистецтві, архітектурі й техніці (рис. 22.11).

Рис. 22.11

1. Які точки називають симетричними відносно точки O? Як називають точку O?

2. Які фігури називають симетричними відносно точки O?

3. Сформулюйте властивість центральної симетрії.

4. Яку властивість мають фігури, симетричні відносно точки?

5. Про яку фігуру говорять, що вона має центр симетрії?

6. Наведіть приклади фігур, які мають центр симетрії.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

22.1. Накресліть трикутник ABC і позначте точку O, яка не належить йому. Побудуйте трикутник, симетричний даному відносно точки O.

22.2. Накресліть трикутник ABC. Побудуйте трикутник, симетричний даному відносно середини сторони AB.

Рис. 22.12

Рис. 22.13

Рис. 22.14

22.3. Накресліть коло й позначте на ньому точку. Побудуйте коло, симетричне даному відносно позначеної точки.

22.4. Побудуйте паралелограм ABCD за його вершинами A і B та точкою O перетину його діагоналей (рис. 22.12).

22.5. Дано дві паралельні прямі а і b (рис. 22.13). Знайдіть точку, відносно якої пряма а буде симетричною прямій b. Скільки розв’язків має задача?

ВПРАВИ

22.6. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O (рис. 22.14). Точка M — середина сторони BC. Укажіть образи точок A, D і M, сторони CD, діагоналі BD при симетрії відносно точки O.

22.7. Доведіть, що точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії.

22.8. Доведіть, що коло має центр симетрії.

22.9. Точки A1 і B1 є образами відповідно точок A і B при симетрії відносно точки, яка не належить прямій AB. Доведіть, що чотирикутник ABA1B1 — паралелограм.

22.10. Знайдіть координати точок, симетричних точкам A (3; -1) і B (0; -2) відносно:

1) початку координат; 2) точки M (2; -3).

22.11. Доведіть, що образом прямої, яка проходить через центр симетрії, є ця сама пряма.

22.12. Точки A (x; -2) і B (1; у) симетричні відносно: 1) початку координат; 2) точки M (-1; 3). Знайдіть x і у.

22.13. Доведіть, що трикутник не має центра симетрії.

22.14. Доведіть, що промінь не має центра симетрії.

22.15. Доведіть, що фігура, що складається з двох рівних паралельних відрізків, має центр симетрії.

22.16. Доведіть, що коли чотирикутник має центр симетрії, то він є паралелограмом.

22.17. Вершини одного паралелограма лежать на сторонах другого: по одній вершині на кожній стороні. Доведіть, що точки перетину діагоналей цих паралелограмів збігаються.

22.18. Кола із центрами O1 і O2 симетричні відносно точки O (рис. 22.15). Пряма, яка проходить через центр симетрії, перетинає перше коло в точках A1 і B1, а друге — у точках A2 і B2. Доведіть, що A1B1 = A2B2.

Рис. 22.15

22.19. Дано коло, пряму та точку. Побудуйте відрізок із серединою в даній точці, один із кінців якого належить даному колу, а другий — даній прямій.

22.20. Дано два кола та точку. Побудуйте відрізок із серединою в даній точці, кінці якого належать даним колам.

22.21. Дано пряму а та два кола по різні боки від неї. На прямій взято відрізок CD. Побудуйте трикутник ABC так, щоб точки A і B лежали на даних колах, а відрізок CD був його медіаною.

22.22. На протилежних сторонах BC і AD паралелограма ABCD як на сторонах побудовано поза ним рівносторонні трикутники BMC і AND. Доведіть, що точки M, O і N, де O — точка перетину діагоналей даного паралелограма, лежать на одній прямій.

22.23. На протилежних сторонах паралелограма як на сторонах побудовано поза ним квадрати. Доведіть, що пряма, яка сполучає центри квадратів, проходить через точку перетину діагоналей паралелограма.

22.24. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O. Доведіть, що описані кола трикутників BOC і AOD дотикаються.

22.25. Доведіть, що коли фігура має дві перпендикулярні осі симетрії, то точка їхнього перетину є центром симетрії фігури.

22.26. Точки A і C належать гострому куту, але не лежать на його сторонах. Побудуйте паралелограм ABCD так, щоб точки B і D лежали на сторонах кута.

22.27. Побудуйте квадрат із центром у даній точці O та даними точками M і N на двох протилежних сторонах або на їхніх продовженнях.

22.28. Побудуйте ромб, точкою перетину діагоналей якого є дана точка, а три вершини належать трьом даним попарно непаралельним прямим.

22.29. Дано точку та три кола. Побудуйте ромб, точкою перетину діагоналей якого є дана точка, а три вершини лежать на трьох даних колах.

22.30. Дано паралелограм ABCD і точку M. Через точки A, B, C і D проведено прямі, паралельні прямим MC, MD, MA і MB відповідно. Доведіть, що проведені прямі перетинаються в одній точці.

22.31. Два кола перетинаються в точці M. Проведіть через точку M пряму, яка вдруге перетинає дані кола в точках A і B так, що AM = MB.

22.32. Точка C — середина відрізка AB. На промені CQ позначили точки P і M такі, що PM = MQ (рис. 22.16). Доведіть, що AP + BQ > 2CM.

22.33. Доведіть, що прямі, проведені через середини сторін вписаного чотирикутника перпендикулярно до протилежних сторін, перетинаються в одній точці.

22.34. Коло перетинає сторони BC, CA, AB трикутника ABC у точках A1 і A2, B1 і B2, C1 і C2 відповідно. Доведіть, що коли прямі, які перпендикулярні до сторін трикутника та проходять через точки A1, B1 і C1, перетинаються в одній точці, то й прямі, які перпендикулярні до сторін трикутника та проведені через точки A2, B2 і C2, також перетинаються в одній точці.

22.35. Довжина висоти AB прямокутної трапеції ABCD дорівнює сумі довжин основ AD і BC. У якому відношенні бісектриса кута ABC ділить сторону CD?

22.36. Дано два концентричних кола. Проведіть пряму, на якій ці кола відтинають три рівних відрізки.

Рис. 22.16





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити