24. Гомотетія. Подібність фігур

Розглянемо фіксовану точку O та довільну точку X. Побудуємо таку точку X₁, що (рис. 24.1). Говорять, що точка X₁ є образом точки X при гомотетії із центром O та коефіцієнтом 2.

Рис. 24.1

Рис. 24.2

На рисунку 24.2 зображено точки O, X і X₁ такі, що

Говорять, що точка X₁ — це образ точки X при гомотетії із центром O та коефіцієнтом - .

Узагалі, якщо точки O, X і X₁ є такими, що де k ≠ 0, то говорять, що точка X₁ — це образ точки X при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k.

Точку O називають центром гомотетії, число k — коефіцієнтом гомотетії, k ≠ 0.

Розглянемо фігуру F і точку O. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність точку X₁, яка є образом точки X при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k (якщо точка O належить фігурі F, то їй зіставляється вона сама). У результаті такого перетворення фігури F отримаємо фігуру F₁(рис. 24.3). Таке перетворення фігури F називають гомотетією із центром O та коефіцієнтом k і позначають H^k_O. Пишуть: H^k_O (F) = F₁ Також говорять, що фігура F₁ гомотетична фігурі F із центром O та коефіцієнтом k.

Рис. 24.3

Наприклад, на рисунку 24.4 трикутник A₁B₁C₁ гомотетичний трикутнику ABC із центром O та коефіцієнтом, який дорівнює -3. Пишуть: H^-3_O (∆ABC) = ∆A₁B₁C₁.

Також можна сказати, що трикутник ABC гомотетичний трикутнику A₁B₁C₁ із тим самим центром, але коефіцієнтом гомотетії, який дорівнює - .

Пишуть:

Очевидно, що гомотетії є взаємно оберненими перетвореннями.

Зазначимо, що при k = -1 гомотетія із центром О є центральною симетрією із центром O (рис. 24.5). Якщо k = 1, то гомотетія є тотожним перетворенням.

Рис. 24.4

Рис. 24.5

Очевидно, що при k ≠ 1 і k ≠ -1 гомотетія не є рухом.

Теорема 24.1. При гомотетії фігури F із коефіцієнтом k усі відстані між її точками змінюються в | k | разів, тобто якщо A і B — довільні точки фігури F, а точки A₁ і B₁ — їхні відповідні образи при гомотетії з коефіцієнтом k, то A₁B₁ = |k| AB.

Доведення. Нехай точка O — центр гомотетії. Тоді

Маємо:

тобто A₁B₁ = |k| AB.

Наслідок. Якщо трикутник A₁B₁C₁ гомотетичний трикутнику ABC із коефіцієнтом гомотетії k, то

Для доведення цього твердження достатньо скористатися теоремою 24.1 і третьою ознакою подібності трикутників.

Гомотетія має низку інших властивостей.

Теорема 24.2. При гомотетії фігури F образами будь-яких її трьох точок, які лежать на одній прямій, є три точки, які лежать на одній прямій, а образами трьох точок, які не лежать на одній прямій, є три точки, які не лежать на одній прямій.

Скориставшася теоремою 24.1 та ідеєю доведення теореми 20.1, доведіть цю теорему самостійно.

Наслідок. При гомотетії відрізка, променя, прямої образами є відповідно відрізок, промінь, пряма. При гомотетії кута образом є кут, рівний даному. При гомотетії трикутника образом є трикутник, подібний даному.

Доведіть цей наслідок самостійно.

Зазначені властивості гомотетії вказують на те, що це перетворення може змінити розміри фігури, але не змінює її форму, тобто при гомотетії образ і прообраз є подібними фігурами.

Зауважимо, що в курсі геометрії 8 класу, коли йшлося про подібність фігур, ми давали означення лише подібним трикутникам. Зараз означимо поняття подібності для довільних фігур.

Рис. 24.6

На рисунку 24.6 фігура F₁ гомотетична фігурі F, а фігура F₂ симетрична фігурі F₁ відносно прямої l.

Фігуру F₂ отримано з фігури F у результаті композиції двох перетворень: гомотетії та осьової симетрії.

Оскільки F₁ = F₂, то фігури F і F₂ мають однакові форми, але різні розміри, тобто вони є подібними. Говорять, що фігуру F₂ отримано з фігури F у результаті перетворення подібності.

На рисунку 24.7 фігура F₁ гомотетична фігурі F, а фігура F₂ — образ фігури F₁ при деякому русі. Тут також можна стверджувати, що фігури F і F₂подібні.

Рис. 24.7

Зі сказаного випливає, що доцільно прийняти таке означення.

Означення. Дві фігури називають подібними, якщо одну з них можна отримати з другої в результаті композиції двох перетворень: гомотетії та руху.

Це означення ілюструє схема, зображена на рисунку 24.8.

Рис. 24.8

Запис F ~ F₁ означає, що фігури F і F₁ подібні. Також говорять, що фігура F₁ — образ фігури F при перетворенні подібності.

Із наведеного означення випливає, що при перетворенні подібності фігури F відстані між її точками змінюються в одну й ту саму кількість разів.

Оскільки тотожне перетворення є рухом, то зі схеми, зображеної на рисунку 24.8, випливає, що гомотетія — окремий випадок перетворення подібності.

Нехай A і B — довільні точки фігури F, а точки A₁ і B₁ — їхні образи при перетворенні подібності. Точки A₁ і B₁ належать фігурі F₁, яка подібна фігурі F. Число називають коефіцієнтом подібності. Говорять, що фігура F₁ подібна фігурі F із коефіцієнтом подібності k, а фігура F подібна фігурі F₁ із коефіцієнтом подібності .

Зауважимо, що перетворення подібності з коефіцієнтом k = 1 є рухом. Звідси випливає, що рух — окремий випадок перетворення подібності.

З перетворенням подібності ми часто маємо справу в повсякденному житті (рис. 24.9). Наприклад, унаслідок зміни масштабу карти отримуємо карту, подібну даній. Фотографія — це перетворення негатива в подібне зображення на фотопапері. Переносячи до свого зошита рисунок, зроблений учителем на дошці, ви також виконуєте перетворення подібності.

Рис. 24.9

Теорема 24.3. Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Намітимо план доведення. Спочатку доведемо цю теорему для трикутників.

Нехай трикутник A₁B₁C₁ — образ трикутника ABC при перетворенні подібності з коефіцієнтом k (рис. 24.10). Сторона A₁C₁ — образ сторони AC. Тоді A₁C₁ = k ∙ AC. Проведемо висоту BD. Нехай точка D₁ — образ точки D. Оскільки при перетворенні подібності зберігаються кути, то відрізок B₁D₁ — висота трикутника A₁B₁C₁. Тоді B₁D₁ = k ∙ BD. Маємо:

Якщо дані многокутники опуклі, то розіб’ємо їх на трикутники. Для цього виберемо в многокутниках вершини М і М₁ — відповідні точки при перетворенні подібності. У кожному з многокутників проведемо всі діагоналі, які виходять з вершин М і М₁ (рис. 24.11). Далі застосуйте доведений факт для утворених пар подібних трикутників.

Рис. 24.10

Рис. 24.11

Твердження теореми залишається справедливим і для неопуклих многокутників. Тут треба скористатися таким фактом: кожний многокутник можна розбити на трикутники.

Задача 1. Доведіть, що образом прямої l при гомотетії із центром O, який не належить прямій І, є пряма, паралельна даній.

Розв’язання. Із властивостей гомотетії випливає, що образом прямої l буде пряма. Для побудови прямої достатньо знайти дві будь-які її точки. Виберемо на прямій l довільні точки A і B (рис. 24.12). Нехай точки A₁ і B₁ — їхні образи при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k (рисунок 24.12 відповідає випадку, коли k > 1). Тоді пряма A₁B₁— образ прямої AB.

Рис. 24.12

При доведенні теореми 24.1 ми показали, що

Отже, AB || A₁B₁.

Задача 2. У гострокутний трикутник ABC впишіть квадрат так, щоб дві його вершини лежали відповідно на сторонах AB і BC, а дві інші — на стороні AC.

Розв’язання. Із довільної точки M сторони AB опустимо перпендикуляр MQ на сторону AC (рис. 24.13). Побудуємо квадрат MQPN так, щоб точка Pлежала на промені QC. Нехай промінь AN перетинає сторону BC у точці N₁.

Розглянемо гомотетію із центром A та коефіцієнтом

Тоді точка N — образ точки N при цій гомотетії. Образом відрізка MN є відрізок M₁N₁, де точка M₁ належить променю AB, причому M₁N₁ || MN. Аналогічно відрізок N₁P₁ такий, що точка P₁ належить променю AC і N₁P₁ || NP, є образом відрізка NP. Отже, відрізки M₁N₁ і N₁P₁ — сусідні сторони шуканого квадрата. Для завершення побудови залишилося опустити перпендикуляр M₁Q₁ на сторону AC.

Задача 3. Відрізок CD — висота прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°). Знайдіть радіус r вписаного кола трикутника ABC, якщо радіуси кіл, вписаних у трикутники ACD і BCD, відповідно дорівнюють r₁ і r₂.

Розв’язання. Оскільки кут A — спільний для прямокутних трикутників ACD і ABC, то ці трикутники подібні (рис. 24.14).

Нехай коефіцієнт подібності дорівнює k₁. Очевидно, що

Аналогічно DBCD " DABC із коефіцієнтом подібності

Позначимо площі трикутників ACD, BCD і ABC відповідно S₁, S₂ і S. Маємо:

Рис. 24.13

Рис. 24.14

Звідси

Отримуємо, що

тобто

Відповідь:

Задача 4. Відрізки AA₁, BB₁ і СС₁ — висоти гострокутного трикутника ABC. Доведіть, що радіус описаного кола трикутника ABC удвічі більший за радіус описаного кола трикутника A₁B₁C₁.

Розв’язання. Нехай прямі AA₁, BB₁ і CC₁ перетинають описане коло трикутника ABC відповідно в точках M, N і P (рис. 24.15). Позначимо буквою Hортоцентр трикутника ABC. Із ключової задачі 20.30 випливає, що HA₁ = A₁M, HB₁ = B₁N, HC₁ = C₁P.

Рис. 24.15

Тепер зрозуміло, що трикутник MNP гомотетичний трикутнику A₁B₁C₁ із центром H і коефіцієнтом 2. Тоді радіус описаного кола трикутника MNPудвічі більший за радіус описаного кола трикутника A₁B₁C₁. Залишилося зауважити, що трикутники MNP і ABC вписані в одне й те саме коло.

1. У якому разі говорять, що точка X, є образом точки X при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k?

2. Опишіть перетворення фігури F, яке називають гомотетією із центром O та коефіцієнтом k.

3. Як змінюється відстань між точками при гомотетії з коефіцієнтом k?

4. Сформулюйте властивості гомотетії.

5. Які фігури називають подібними?

6. Чому дорівнює відношення площ подібних многокутників?

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

24.1. Побудуйте образ відрізка AB (рис. 24.16) при гомотетії із центром O та коефіцієнтом:

24.2. Накресліть відрізок AB. Побудуйте образ цього відрізка при гомотетії з коефіцієнтом k і центром:

1) у точці A, k = 3;

2) у точці B, k = -2;

3) у середині відрізка AB , k = 2.

Рис. 24.16

24.3. Накресліть коло, радіус якого дорівнює 2 см, і позначте на ньому точку A. Побудуйте образ цього кола при гомотетії з коефіцієнтом k і центром:

1) у центрі кола, k = -, k = 2;

2) у точці A, k = 2, k = -.

24.4. Накресліть трикутник ABC. Побудуйте образ цього трикутника при гомотетії з коефіцієнтом k і центром:

24.5. Накресліть трикутник ABC. Знайдіть точку перетину його медіан. Побудуйте образ цього трикутника при гомотетії із центром у точці перетину його медіан і коефіцієнтом:

24.6. Накресліть паралелограм ABCD. Точку перетину його діагоналей позначте буквою O. Побудуйте образ цього паралелограма при гомотетії із центром O та коефіцієнтом:

24.7. Накресліть квадрат ABCD. Побудуйте образ цього квадрата при гомотетії з коефіцієнтом k і центром:

1) у точці A, k = ;

2) у точці B, k = -2;

3) у точці C, k = 2.

24.8. Орієнтуючись за клітинками, накресліть п’ятикутник ABCDE (рис. 24.17). Побудуйте п’ятикутник A₁B₁C₁D₁E₁, подібний даному, з коефіцієнтом подібності .

Рис. 24.17

24.9. На рисунку 24.18 точка A₁ — образ точки A при гомотетії із центром O. Побудуйте образ точки B при цій гомотетії.

Рис. 24.18

Рис. 24.19

24.10. На рисунку 24.19 точка A₁ — образ точки A при гомотетії з коефіцієнтом:

1) k = 3; 2) k = -2.

Побудуйте центр гомотетії.

24.11. На рисунку 24.20 зображено прямокутник ABCD і точки A₁ і D₁, які є образами відповідно точок A і D при перетворенні подібності. Побудуйте образ прямокутника ABCD при цьому перетворенні. Скільки розв’язків має задача?

Рис. 24.20

Рис. 24.21

24.12. На рисунку 24.21 зображено прямокутник ABCD і точки A₁ і C₁, які є образами відповідно точок A і C при перетворенні подібності. Побудуйте образ прямокутника ABCD при цьому перетворенні. Скільки розв’язків має задача?

24.13. Побудуйте образ трикутника ABC при перетворенні подібності, яке є композицією двох перетворень: гомотетії із центром O і коефіцієнтом k= 2 та осьової симетрії відносно прямої l (рис. 24.22). Укажіть коефіцієнт подібності.

Рис. 24.22

Рис. 24.23

24.14. Накресліть коло, радіус якого дорівнює 2 см. Позначте точку O на відстані 4 см від його центра. Побудуйте образ цього кола при перетворенні подібності, яке є композицією двох перетворень: гомотетії із центром O та коефіцієнтом k = і повороту із центром O за годинниковою стрілкою на кут 45°. Укажіть коефіцієнт подібності.

24.15 На рисунку 24.23 зображено дві паралельні прямі а і b. Побудуйте центр гомотетії, при якому пряма b є образом прямої а з коефіцієнтом: 1) k = 2;

2) k = ;

3) k = -.

Скільки розв’язків має задача?

24.16. Накресліть трапецію ABCD, основа BC якої у два рази менша від основи AD. Побудуйте центр гомотетії, при якій відрізок AD є образом відрізка BC із коефіцієнтом: 1) k = 2; 2) k = -2.

ВПРАВИ

24.17. У паралелограмі ABCD точка D₁ — середина сторони AD. При гомотетії із центром A точка D₁ є образом точки D. Знайдіть коефіцієнт гомотетії. Укажіть, які точки є образами точок B і C при цій гомотетії.

24.18. Які з фігур, зображених на рисунку 24.24, збігаються зі своїми образами при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k > 0 і k ≠ 1?

Рис. 24.24

24.19. Які з фігур, зображених на рисунку 24.25, збігаються зі своїми образами при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k < 0?

Рис. 24.25

24.20. Медіани трикутника ABC перетинаються в точці M (рис. 24.26). Знайдіть коефіцієнт гомотетії із центром:

1) у точці B, при якій точка B₁ є образом точки M;

2) у точці M, при якій точка A₁ є образом точки A;

3) у точці C, при якій точка M є образом точки C₁.

24.21. Медіани трикутника ABC перетинаються в точці M (рис. 24.26). Укажіть коефіцієнт і центр гомотетії, при якій трикутник A₁B₁C₁ є образом трикутника ABC.

24.22. У трикутнику ABC медіани AA₁, BB₁ і CC₁ перетинаються в точці M. Точки K, F і N — середини відрізків AM, BM і CM відповідно. Укажіть коефіцієнт і центр гомотетії, при якій трикутник ABC є образом трикутника KFN.

24.23. Знайдіть образи точок A (-2; 1), B (3; 0) і D (0; -6) при гомотетії із центром O (0; 0) та коефіцієнтом:

24.24. Точка A₁ (-1; 2) — образ точки A(-3; 6) при гомотетії із центром у початку координат. Знайдіть коефіцієнт гомотетії.

24.25. Площі двох подібних трикутників дорівнюють 28 см² і 63 см². Одна зі сторін першого трикутника дорівнює 8 см. Знайдіть сторону другого трикутника, яка відповідає даній стороні першого.

24.26. Відповідні сторони двох подібних трикутників дорівнюють 30 см і 24 см. Площа трикутника зі стороною 30 см дорівнює 45 см². Знайдіть площу другого трикутника.

24.27. Площа трикутника дорівнює S. Чому дорівнює площа трикутника, який відтинає від даного його середня лінія?

24.28. Площа трикутника дорівнює S. Знайдіть площу трикутника, вершини якого — середини середніх ліній даного трикутника.

Рис. 24.26

Рис. 24.27

24.29. Відрізок MN — середня лінія трикутника ABC (рис. 24.27). Укажіть коефіцієнт і центр гомотетії, при якій:

1) відрізок AC є образом відрізка MN;

2) відрізок MN є образом відрізка AC.

24.30. Паралельні прямі перетинають сторони кута A в точках M, N, P і Q (рис. 24.28). Відомо, що AM : MP = 3 : 1. Укажіть коефіцієнт і центр гомотетії, при якій:

1) відрізок PQ є образом відрізка MN;

2) відрізок MN є образом відрізка PQ.

Рис. 24.28

Рис. 24.29

Рис. 24.30

24.31. Паралельні відрізки BC і AD такі, що AD = 3BC. Скільки існує точок, що є центрами гомотетії, при якій образом відрізка BC є відрізок AD? Для кожної такої точки визначте коефіцієнт гомотетії.

24.32. Кола із центрами O₁ і O₂ та радіусами R і r відповідно мають зовнішній дотик у точці O (рис. 24.29). Доведіть, що коло із центром O, є образом кола із центром O₂ при гомотетії із центром O та коефіцієнтом -.

24.33. Кола із центрами O₁ і O₂ та радіусами R і r відповідно мають внутрішній дотик у точці O (рис. 24.30). Доведіть, що коло із центром O, є образом кола із центром O₂ при гомотетії із центром O та коефіцієнтом .

24.34. Коло із центром O дотикається до прямої а. Доведіть, що образ цього кола при гомотетії із центром A, де A — довільна точка прямої а (рис. 24.31), дотикається до цієї прямої.

24.35. Два кола дотикаються в точці K. Пряма, яка проходить через точку K, перетинає ці кола в точках A і B. Доведіть, що дотичні до кіл, проведені через точки A і B, паралельні.

Рис. 24.31

24.36. Точка A (2; -3) — образ точки B (8; 6) при гомотетії із центром M (4; 0). Знайдіть коефіцієнт гомотетії.

24.37. Точка A (-7; 10) — образ точки B (-1; -2) при гомотетії з коефіцієнтом -2. Знайдіть центр гомотетії.

24.38. Точка A₁ (x; 4) — образ точки A (-6; у) при гомотетії із центром у початку координат та коефіцієнтом:

Знайдіть x і y.

24.39. Точка A₁ (4; у) — образ точки A (x; -4) при гомотетії із центром B (1; -1) та коефіцієнтом k = -3. Знайдіть x і у.

24.40. Пряма, паралельна стороні AC трикутника ABC, перетинає його сторону AB у точці M, а сторону BC — у точці K. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо BM = 4 см, AC = 8 см, AM = MK, а площа трикутника MBK дорівнює 5 см².

24.41. Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетинаються в точці E. Знайдіть площу трапеції, якщо BC : AD = 3 : 5, а площа трикутника AED дорівнює 175 см².

24.42. Відрізки BM і CK — висоти гострокутного трикутника ABC, ∠A = 45°. Знайдіть відношення площ трикутників AMK і ABC.

24.43. Знайдіть образ прямої у = 2х + 1 при гомотетії із центром у початку координат та коефіцієнтом:

24.44. Знайдіть образ кола (х + 2)² + (у - 4)² = 4 при гомотетії із центром у початку координат та коефіцієнтом:

24.45. Діагоналі трапеції ABCD (AD || BC) перетинаються в точці O. Доведіть, що описані кола трикутників AOD і BOC дотикаються.

24.46. Доведіть, що коли нерівні трикутники ABC і A₁B₁C₁ є такими, що AB || A₁B₁, BC || B₁C₁, CA || C₁A₁, то існують такі точка O і число k ≠ 0, |k| ≠ 1, що H^k_O (AABC) = AA₁B₁C₁.

24.47. Два кола мають внутрішній дотик. Через точку дотику проведено дві прямі, які перетинають кола в точках A₁, A₂, B₁, B₂ (рис. 24.32). Доведіть, що A₁B₁ || A₂B₂.

24.48. Два кола мають зовнішній дотик. Через точку дотику проведено дві прямі, які перетинають кола в точках A₁, A₂, B₁, B₂ (рис. 24.33). Доведіть, що A₁B₁ || A₂B₂.

Рис. 24.32

Рис. 24.33

Рис. 24.34

24.49. Точка A належить колу (рис. 24.34). Знайдіть геометричне місце точок, які є серединами хорд даного кола, одним із кінців яких є точка A.

24.50. Два кола мають внутрішній дотик, причому менше коло проходить через центр більшого. Доведіть, що менше коло ділить навпіл будь-яку хорду більшого кола, яка проходить через точку дотику.

24.51. Дано трикутник ABC і довільну точку M. Доведіть, що точки, симетричні точці M відносно середин сторін трикутника ABC, є вершинами трикутника, рівного даному.

24.52. На продовженнях медіан AK, BL і CM трикутника ABC взято точки P, Q, R такі, що Знайдіть S_PQR, якщо S_ABC = 1 см².

24.53. Доведіть, що точки, симетричні довільній точці відносно середин сторін квадрата, є вершинами деякого квадрата.

24.54. Усередині опуклого чотирикутника ABCD позначили точку Р. Точки M₁, M₂, M₃, M₄ — точки перетину медіан трикутників APB, BPC, CPD і DPAвідповідно. Доведіть, що чотирикутник M₁M₂M₃M₄ — паралелограм.

24.55. Два кола мають внутрішній дотик у точці O. У довільній точці M внутрішнього кола проведено до нього дотичну, яка перетинає друге коло в точках A і B. Доведіть, що ∠AOM = ∠MOB.

24.56. Побудуйте трикутник за двома його кутами та радіусом описаного кола.

24.57. Побудуйте трикутник за двома його кутами та радіусом вписаного кола.

24.58. Побудуйте трикутник за його периметром і двома кутами.

24.59. Відрізок AC — найбільша сторона трикутника ABC. Впишіть у трикутник ABC прямокутник, сторони якого відносяться як 2 : 1, так, щоб дві вершини більшої сторони прямокутника лежали на стороні AC трикутника, а дві інші вершини — на сторонах AB і BC.

24.60. Впишіть у даний трикутник інший трикутник, сторони якого були би паралельні трьом даним прямим.

24.61. Точку, яка знаходиться всередині опуклого чотирикутника з площею S, сполучили з його вершинами. Знайдіть площу чотирикутника, вершини якого є точками перетину медіан чотирьох утворених трикутників.

24.62. Відрізок AB — хорда даного кола, точка C — довільна точка цього кола. Знайдіть геометричне місце точок, які є точками перетину медіан трикутників ABC.

24.63. Дано дві точки A і B та пряму І. Знайдіть геометричне місце точок, які є точками перетину медіан трикутників ABC, де C — довільна точка прямої І.

24.64. Точка M належить куту ABC, але не належить його сторонам. Побудуйте коло, яке дотикається до сторін кута і проходить через точку M.

24.65. Усередині кута AOB дано точку M. Знайдіть на промені OA точку, однаково віддалену від точки M і променя OB.

24.66. На стороні AC гострокутного трикутника ABC позначили точку M. Перпендикуляри, опущені із середин відрізків AM і MC відповідно на сторони BC і AB, перетинаються в точці O. При якому положенні точки M на стороні AC довжина відрізка MO буде найменшою?

24.67. На сторонах AB і AC гострокутного трикутника ABC позначили відповідно точки K і L так, що KL || BC. Прямі, проведені через точки K і Lперпендикулярно до сторін AB і AC відповідно, перетинаються в точці M. Доведіть, що центр описаного кола трикутника ABC належить прямій AM.

24.68. Точка M лежить усередині кола. Проведіть через точку M хорду AB так, щоб AM : MB = 2 : 1.

24.69. На катетах AC і CB та гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC позначили відповідно точки M, N і K так, що MN || AB і трикутник MNKрівносторонній. Потім увесь рисунок витерли, залишивши лише точки A, K і B. Як за цими точками відновити трикутник ABC?

24.70. Бісектриси кутів A, B і C трикутника ABC перетинають описане коло цього трикутника в точках A₁, B₁ і C₁ відповідно. Вписане коло дотикається до сторін AB, BC і CA відповідно в точках C₂, A₂ і B₂. Доведіть, що прямі AA₂, B₁B₂ і C₁C₂ перетинаються в одній точці.

24.71. Бісектриси кутів A, B і C трикутника ABC перетинають описане коло цього трикутника в точках A₁, B₁ і C₁ відповідно. Дотичні до кола в точках A₁, B₁ і C₁ перетинаються в точках A₂, B₂ і C₂ (рис. 24.35). Доведіть, що прямі AA₂, BB₂ і CC₂ перетинаються в одній точці.

Рис. 24.35

24.72. Коло, вписане в трикутник ABC, дотикається до сторін AB, BC і CA в точках C₁, A₁ і B₁ відповідно. Прямі, які містять висоти трикутника A₁B₁C₁, проведені до сторін A₁B₁, B₁C₁ і C^, перетинають дане коло в точках C₂, A₂ і B₂ відповідно. Доведіть, що прямі AA₂, BB₂ і CC₂перетинаються в одній точці.

24.73. Розглянемо множину рівнобедрених трикутників з рівними радіусами вписаних кіл, основи яких лежать на даній прямій, а одна з вершин — у даній точці A цієї прямої. Доведіть, що всі прямі, які містять бічні сторони цих трикутників, що не проходять через вершину A, дотикаються до одного й того самого кола.

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити