Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§6 ПЕРЕТВОРЕННЯ ФІГУР

ІНВЕРСІЯ

Як правило, ми розглядали такі перетворення фігур, які зберігали прямолінійність, тобто мали властивості, про які йдеться в теоремах 20.1 і 24.2.

У цьому оповіданні ми розглянемо перетворення фігур, яке називають інверсією (від латин. inversio — перегортання, обернення). Це перетворення не зберігає прямолінійність.

Нехай дано коло радіуса R із центром O. Розглянемо фігуру F, якою є вся площина за винятком точки O. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність таку точку X, променя OX, що

OX1 . OX = R2.

Таке перетворення фігури F називають інверсією відносно кола із центром O. Точку O називають центром інверсії (це єдина точка, у якій перетворення «інверсія» не визначено). Дане коло називають колом інверсії, число R — радіусом інверсії (рис. 24.36).

Інверсію із центром O та радіусом R позначають так: IRO.

Безпосередньо з означення випливають такі три властивості інверсії.

Рис. 24.36

Властивість 1. Образами точок, які лежать усередині кола інверсії (не включаючи центр кола), є точки, які лежать поза колом, і навпаки, образами точок, які лежать поза колом інверсії, є точки, які лежать усередині кола.

Властивість 2. Якщо X — довільна точка кола інверсії, то IRO (X) = X, тобто всі точки кола інверсії є нерухомими точками цього перетворення.

Ці дві властивості дають змогу розглядати інверсію як перетворення, яке ніби «вивертає» круг «назовні» та навпаки. Причому коли точку Xвибирати все ближче й ближче до центра інверсії, то її образ розміщуватиметься все далі й далі від центра інверсії (рис. 24.37).

Властивість 3. Інверсія є оборотним перетворенням. Перетворенням, оберненим до інверсії 1%, є ця сама інверсія 1%.

Інверсію також називають симетрією відносно кола. Це пов’язано з тим, що наведені властивості 1-3 схожі на властивості осьової симетрії.

Рис. 24.37

Розглянемо ще кілька властивостей інверсії.

Властивість 4. Образом прямої, яка проходить через центр інверсії, є ця сама пряма1.

Властивість 5. Образом прямої, яка не проходить через центр інверсії, є коло, яке проходить через центр інверсії2.

Доведення. Нехай пряма a не проходить через центр інверсії (рис. 24.38). Опустимо із центра інверсії перпендикуляр OM на пряму a.

Рис. 24.38

Нехай IRO (M) = M1, тобто OM1OM = R2. На відрізку OM1 як на діаметрі побудуємо коло. Покажемо, що образ будь-якої точки прямої a лежить на цьому колі.

Нехай X — довільна точка прямої a, відмінна від точки M. Якщо X1 = IRO (X), то OX1OX = R2. Маємо: OM1OM = OX1OX.

1   Тут під прямою ми розуміємо пряму з виколотою точкою (центром інверсії).

2   Тут під колом ми розуміємо коло з виколотою точкою (центром інверсії).

Тоді

Отже, трикутники OX1M1 і OMX подібні за другою

ознакою подібності трикутників. Звідси OX1M1 = OMX = 90°. Це означає, що точка X1 лежить на колі з діаметром OM1.

Нескладно показати (зробіть це самостійно), що кожна точка цього кола (крім точки O) є образом деякої точки прямої а.

Властивість 6. Образом кола, яке проходить через центр інверсії, є пряма, яка не проходить через центр інверсії.

Доведіть цю властивість самостійно.

Властивість 7. Образом кола, яке не проходить через центр інверсії, є коло, яке не проходить через центр інверсії.

Доведення. Проведемо через точку O — центр інверсії — пряму AB, яка містить діаметр AB даного кола (рис. 24.39). Нехай IRO (A) = A1, IRO (B) = B1. Виберемо на даному колі довільну точку X, відмінну від точок A і B. Тоді AXB = 90°.

Рис. 24.39

Нехай IRO (X) = X1 Маємо: OA1 OA = OB1OB = OX1OX = R2. Звідси випливає, що DOXA ~ DOA1X1, DOXB ~ DOBX1.

Тоді OXA = OA1X1, OXB = OB1X1. Маємо: A1X1B1 = = OB1X1 - OA1X1 = OXB - OXA = 90°. Отже, точка X1 належить колу з діаметром A1B1. Отримали, що образ будь-якої точки даного кола належить колу з діаметром A1B1.

Нескладно показати (зробіть це самостійно), що кожна точка кола з діаметром A1B1 є образом деякої точки даного кола.

Зазначимо, що ми розглянули випадок, коли центр інверсії лежить поза даним колом. Другий випадок розгляньте самостійно.

Властивість 8. Якщо

Доведіть цю властивість самостійно.

Вивчаючи матеріал цього параграфа, ви переконалися, що застосування руху та гомотетії є ефективним засобом для розв’язування багатьох задач. Інверсія розширює коло задач, які можна розв’язати за допомогою перетворень фігури.

Наприклад, інверсія дає змогу за допомогою лише циркуля знайти середину даного відрізка. Також за допомогою інверсії можна розв’язати одну зі складних задач стародавніх часів — задачу Аполлонія: побудувати за допомогою циркуля та лінійки коло, яке дотикається до трьох даних кіл. Розв’язати ці задачі ви можете на заняттях математичного гуртка.

Ви знаєте, що застосування методу координат починається з вибору системи координат. Аналогічно, перший крок у розв’язуванні задач за допомогою інверсії — це вигідний вибір центра інверсії. Наприклад, якщо два кола дотикаються, то, вибравши за центр інверсії точку дотику, ми отримаємо, що образом даних кіл є дві паралельні прямі.

У таблиці наведено приклади фігур та їхніх образів при інверсії із центром у точці O (образ показано схематично, точка A1 — образ точки A).

Покажемо, як за допомогою інверсії довести відому вам теорему Птолемея1: у вписаному чотирикутнику добуток діагоналей дорівнює сумі добутків протилежних сторін.

На рисунку 24.40 зображено чотирикутник ABCD, навколо якого описано коло.

Рис. 24.40

1 З іншим способом доведення цієї теореми ви ознайомились у 8 класі.

Приймемо точку A за центр інверсії, а радіус інверсії R виберемо довільно. Тоді образом описаного кола є деяка пряма l.

Нехай

Оскільки точки B, C і D лежать на описаному колі, то їхні образи, точки B1, C1 і D1, лежать на образі цього кола — прямій l.

За властивістю 8 можна записати:

 

де R — радіус інверсії.

Маємо: D1B1 = D1C1 + C1B1. Тоді

Звідси DB AC = DCAB + CB AD.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити