Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік
§6 ПЕРЕТВОРЕННЯ ФІГУР
ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 6
Рух (переміщення)
Перетворення фігури F, яке зберігає відстань між точками, називають рухом (переміщенням) фігури F.
Властивості руху
При русі фігури F образами будь-яких її трьох точок, які лежать на одній прямій, є три точки, які лежать на одній прямій, а образами трьох точок, які не лежать на одній прямій, є три точки, які не лежать на одній прямій.
При русі відрізка, променя, прямої, кута образами є відповідно відрізок, промінь, пряма, кут.
Якщо f — рух, при якому образом кута ABC є кут A1B1C1, то ∠ABC = ∠ABА.
Якщо f — рух, при якому образом трикутника ABC є трикутник A1B1C1, то DABC = DA1B1C1.
Якщо f і g — рухи, то композиція цих перетворень також є рухом.
Оборотне перетворення фігури
Оборотним перетворенням фігури називають таке перетворення, при якому різним точкам фігури відповідають різні образи. Рух є оборотним перетворенням. Перетворення, обернене до руху, також є рухом.
Рівні фігури
Дві фігури називають рівними, якщо існує рух, при якому одна з даних фігур є образом другої.
Паралельне перенесення
Якщо точки X і X1 є такими, що 
то говорять, що точка X1 — це образ точки X при паралельному перенесенні на вектор 
.
Властивості паралельного перенесення
Паралельне перенесення є рухом.
Якщо фігура F1 — образ фігури F при паралельному перенесенні, то F1 = F.
Осьова симетрія
Точки A і A1 називають симетричними відносно прямої l, якщо пряма l є серединним перпендикуляром відрізка AA1. Якщо точка A належить прямій l, то її вважають симетричною самій собі відносно прямої l.
Властивості осьової симетрії
Осьова симетрія є рухом.
Якщо фігури F і F1 симетричні відносно прямої, то F = F1. Композиція двох осьових симетрій з паралельними осями є паралельним перенесенням.
Будь-який рух фігури є композицією не більше ніж трьох осьових симетрій.
Фігура, яка має вісь симетрії
Фігуру називають симетричною відносно прямої І, якщо Sl (F) = F. Пряму l називають віссю симетрії фігури.
Якщо фігура має рівно дві осі симетрії, то ці осі перпендикулярні.
Якщо многокутник має дві або більше осей симетрії, то всі вони перетинаються в одній точці.
Центральна симетрія
Точки A і A1 називають симетричними відносно точки O, якщо точка O є серединою відрізка AA1. Точку O вважають симетричною самій собі.
Властивості центральної симетрії
Центральна симетрія є рухом.
Якщо фігури F і F1 симетричні відносно точки, то F = F1.
Фігура, яка має центр симетрії
Фігуру називають симетричною відносно точки O, якщо SO (F) = F. Точку O називають центром симетрії фігури.
Властивості повороту Поворот є рухом.
Якщо фігура F1 — образ фігури F при повороті, то F1 = F. Композицією двох осьових симетрій з непаралельними осями є поворот навколо точки перетину осей.
Гомотетія
Якщо точки O, X і X1 є такими, що 
де k ≠ 0, то
говорять, що точка X1 — це образ точки X при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k.
Властивості гомотетії
При гомотетії фігури F із коефіцієнтом k усі відстані між її точками змінюються в | k | разів, тобто якщо A і B — довільні точки фігури F, а точки A1 і B1 — їхні відповідні образи при гомотетії з коефіцієнтом k, то A1B1 = |k| AB.
При гомотетії фігури F образами будь-яких її трьох точок, які лежать на одній прямій, є три точки, які лежать на одній прямій, а образами трьох точок, які не лежать на одній прямій, є три точки, які не лежать на одній прямій.
При гомотетії відрізка, променя, прямої образами є відповідно відрізок, промінь, пряма. При гомотетії кута образом є кут, рівний даному. При гомотетії трикутника образом є трикутник, подібний даному.
Подібність
Дві фігури називають подібними, якщо одну з них можна отримати з другої в результаті композиції двох перетворень: гомотетії та руху.
Площі подібних многокутників
Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.