Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§7 ПОЧАТКОВІ ВІДОМОСТІ ЗІ СТЕРЕОМЕТРІЇ

Під час вивчення цього параграфа ви дізнаєтеся, як можна однозначно задати площину, яким може бути взаємне розміщення в просторі двох прямих, прямої та площини, двох площин.

Ви отримаєте початкові відомості про піраміду, паралелепіпед, призму, сферу, кулю, циліндр, конус, їхні елементи та найпростіші властивості.

Ви вивчите формули для обчислення об'ємів і площ поверхонь прямої призми, циліндра, конуса, кулі, об'єму піраміди.

25. Прямі й площини в просторі

Ви завершили вивчення курсу планіметрії — розділу геометрії, який вивчає властивості фігур, розміщених в одній площині. Проте більшість оточуючих нас об’єктів не є плоскими. Розділ геометрії, який вивчає властивості фігур у просторі, називають стереометрією («стереос» у перекладі з грецької — «просторовий»).

Курс стереометрії ви вивчатимете в 10-11 класах. Зараз ви ознайомитеся з початковими відомостями цього розділу геометрії.

У стереометрії поряд з точками та прямими розглядають площини. Наочне уявлення про площину дають поверхня водойми в безвітряну погоду, поверхня дзеркала, поверхня полірованого стола, подумки продовжені в усіх напрямах. Із цією фігурою ви ознайомилися в 5 класі.

Зрозуміло, що всю площину, як і пряму, зобразити неможливо. На рисунках зображають тільки частину площини, найчастіше у вигляді паралелограма (рис. 25.1). Як правило, площини позначають буквами грецького алфавіту: а, , у... .

Ви знаєте, що пряма однозначно задається будь-якими двома своїми точками. Наведені твердження вказують, як однозначно задати площину:

Рис. 25.1

Те, що через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну, дозволяє позначати площину будь-якими трьома її точками, які не лежать на одній прямій. Так, на рисунку 25.2 зображено площину ABC.

На рисунку 25.3 зображено пряму а, яка перетинає площину a в точці A.

Рис. 25.2

Рис. 25.3

Рис. 25.4

Якщо пряма а і площина a не мають спільних точок, то їх називають паралельними (рис. 25.4). Пишуть: a || a.

Пряма а може належати площині a (рис. 25.5), причому справедливим є таке твердження: якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

На рисунку 25.6 зображено пряму a, яка перетинає площину a в точці A так, що вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка належить площині та проходить через точку A. Говорять, що пряма a перпендикулярна до площини a, і записують: a  a.

Рис. 25.5

Рис. 25.6

Рис. 25.7

Уявлення про пряму, перпендикулярну до площини, дає вертикально встановлена щогла (рис. 25.7).

Нехай пряма а, яка перпендикулярна до площини а, перетинає її в точці A. Виберемо на прямій а точку B (рис. 25.8). Відрізок BA називають перпендикуляром, опущеним із точки B на площину а.

Рис. 25.8

Рис. 25.9

Якщо площини а і  не мають спільних точок, то їх називають паралельними (рис. 25.9). Пишуть: а || .

На рисунку 25.10 площини а і  перетинаються. Перетином цих площин є пряма а.

Рис. 25.10

Рис. 25.11

Із курсу планіметрії ви знаєте, що дві прямі на площині перетинаються або паралельні. У просторі можливий і третій випадок розміщення двох прямих. На рисунку 25.11 зображено прямі а і , які не перетинаються та не лежать в одній площині. Такі прямі називають мимобіжними.

1. Як називають розділ геометрії, який вивчає властивості фігур у просторі?

2. Які є способи позначення площин?

3. Як можна однозначно задати площину?

4. Які можливі випадки взаємного розміщення прямої та площини?

5. У якому випадку пряму та площину називають паралельними?

6. Поясніть, який відрізок називають перпендикуляром, опущеним із точки на площину.

7. Які площини називають паралельними?

8. Яка геометрична фігура є перетином двох площин?

9. Які можливі випадки взаємного розміщення в просторі двох прямих?

10. Які дві прямі називають мимобіжними?

ВПРАВИ

25.1. Скільки площин можна провести через дві точки:

1) одну;         2) дві;         3) безліч;     4) жодної?

25.2. Скільки площин можна провести через три точки:

1) одну;              3)  одну або безліч;

2) безліч;            4)  одну або жодної?

25.3. Скільки площин можна провести через дві прямі:

1) одну;              3)  одну або жодної;

2) безліч;            4)  одну або безліч?

25.4. Скільки площин можна провести через одну пряму:

1) одну;              3)  жодної;

2) безліч;            4)  безліч або жодної?

25.5. Через три точки проведено дві площини. Як розміщені ці точки?

25.6. Точка A не належить площині а. Скільки існує прямих, які проходять через точку A та паралельні площині a:

1) одна;         2) дві;         3) безліч;     4) жодної?

25.7. Чи є правильним твердження:

1) якщо пряма а перпендикулярна до прямої b, яка лежить у площині а, то a  а;

2) якщо пряма a не перпендикулярна до площини a, то вона не перпендикулярна до жодної прямої цієї площини?

25.8. Із точки A опущено перпендикуляр AB на площину а, точка C належить площині а. Знайдіть:

1) відрізок AB, якщо AC = 13 см, BC = 5 см;

2) відрізок AC, якщо AB = 4 см, ACB = 60°.

25.9. Із точки M опущено перпендикуляр MK на площину , точка P належить площині . Знайдіть:

1) відрізок MP, якщо MK = 8 см, KP = 6 см;

2) відрізок MK, якщо MP = 10 см, MPK = 45°.

25.10. Чи можуть дві площини мати тільки одну спільну точку?

25.11. Чи можуть три площини мати тільки одну спільну точку? Відповідь проілюструйте, навівши приклад з навколишнього середовища.

25.12. Пряма а та площина а паралельні. Скільки площин, які паралельні площині a, можна провести через пряму a:

1) одну;               2) дві;         3) безліч;    4) жодної?

25.13. Пряма перетинає одну з двох паралельних площин. Яке взаємне розміщення даної прямої та другої з площин?

25.14. Відомо, що пряма а паралельна кожній із площин a і . Яким може бути взаємне розміщення площин a і ?

25.15. Точка A лежить поза площиною а, точки B, C і D належать площині a (рис. 25.12). Укажіть лінію перетину:

1) площин ABC і ACD;

2) площин а і ABC.

Рис. 25.12

25.16. Точка A лежить поза площиною а, точки B, C і D належать площині a (рис. 25.12). Укажіть лінію перетину:

1) площин ACD і ABD;            

2) площин а і ACD.

25.17. На рисунку 25.13 укажіть зображення:

1) прямих, які перетинаються; 3) мимобіжних прямих.

2) паралельних прямих;

Рис. 25.13

25.18. Пряма а перетинає сторону AC трикутника ABC. Яке взаємне розміщення прямих а і AB, якщо пряма а не лежить у площині ABC?

25.19. Пряма m паралельна стороні DE трикутника DEF. Яке взаємне розміщення прямих m і EF, якщо пряма m не лежить у площині DEF?

25.20. Чи є правильним твердження:

1) якщо пряма а паралельна прямій b, яка лежить у площині а, то пряма а паралельна площині а;

2) якщо пряма a не паралельна прямій b, яка лежить у площині а, то пряма а не паралельна площині а;

3) якщо пряма а перетинає площину , а пряма b належить площині , то пряма а перетинає пряму b;

4) якщо дві прямі не мають спільних точок, то вони паралельні;

5) якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму;

6) якщо пряма паралельна площині, то вона паралельна будь-якій прямій цієї площини;

7) якщо дві площини паралельні одній і тій самій прямій, то ці площини паралельні;

8) якщо прямі а і b не перетинаються, то вони не лежать в одній площині?

25.21. Точки A, B, C і D не лежать в одній площині. Яке взаємне розміщення прямих AB і CD?

25.22. Точка K лежить поза площиною трикутника DEF. Яке взаємне розміщення прямих DK і EF?

25.23. Із точки A опущено перпендикуляр AB на площину а, точки C і D належать площині а, AD = 10 см, ADB = 60°, ACB = 45°. Знайдіть відрізок AC.

25.24. Із точки B опущено перпендикуляр BM на площину р, точки A і C належать площині р, BC = 17 см, MC = 8 см, BAM = 30°. Знайдіть відрізок AM.

25.25. Із точки A опущено перпендикуляр AD на площину а, точки B і C належать площині а, AB = 25 см, AC = 17 см, BD : DC = 5 : 2. Знайдіть довжину перпендикуляра AD.

25.26. Із точки B опущено перпендикуляр BO на площину у, точки A і C належать площині у, AB = 12 см, BC = 30 см, AO : OC = 10 : 17. Знайдіть відрізок AO.

25.27. Із точки A опущено перпендикуляр AD на площину а, точки B і C належать площині а. Знайдіть відстань між точками B і C, якщо AD = 6 см, ABD = 45°, ACD = 60°, BDC = 150°.

25.28. Із точки M опущено перпендикуляр MB на площину р, точки A і C належать площині р, MC = 4 см, MCB = 30°, MAB = 45°, ABC = 135°. Знайдіть відстань між точками A і C.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити