Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§2 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

3. Теорема косинусів

Із першої ознаки рівності трикутників випливає, що дві сторони та кут між ними однозначно визначають трикутник. Отже, за вказаними елементами можна, наприклад, знайти третю сторону трикутника. Як це зробити, показує така теорема.

Теорема 3.1 (теорема косинусів). Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними.

Доведення. Розглянемо трикутник ABC. Доведемо, наприклад, що

BC2= AB2+ AC2- 2AB ∙ AC ∙ cos A.

Можливі три випадки:

1) кут A гострий;

2) кут Aтупий;

3) кут A прямий.

Перший випадок. Нехай кут A гострий. Тоді хоча б один із кутів B або C є гострим.

• Нехай C < 90°. Проведемо висоту BD. Вона повністю належатиме трикутнику ABC (рис. 3.1).

У прямокутному трикутнику ABD:

BD = AB sin A, AD = AB cos A.

У прямокутному трикутнику BDC: BC2 = BD2 + CD2 =

= BD2 + (AC - AD)2 = AB2 ∙ sin2 A + (AC - AB ∙ cos A)2 =

= AB2 ∙ sin2 A + AC2 - 2AC ∙ AB ∙ cos A + AB2 ∙ cos2 A =

= AB2 ∙ (sin2 A + cos2 A) + AC2 - 2AC ∙ AB ∙ cos A =

= AB2 + AC2 - 2AB ∙ AC ∙ cos A.

Нехай B < 90°. Проведемо висоту трикутника ABC із вершини C. Вона повністю належатиме трикутнику ABC. Доведення для цього випадку аналогічне розглянутому. Проведіть його самостійно.

Другий випадок. Нехай кут A тупий. Проведемо висоту BD трикутника ABC (рис. 3.2).

У прямокутному трикутнику ABD: BD = ABsin RAD =

= AB sin (180° - BAC) = ABsin BAC;

AD = AB ∙ cos BAD = AB ∙ cos (180° - BAC) = - AB ∙ cos BAC.

У прямокутному трикутнику BDC: BC2 = BD2 + CD2 =

= BD2 + (AC + AD)2 = AB2 ∙ sin2 BAC + (AC - AB ∙ cos BAC)2 =

= AB2 + AC2 - 2AB ∙ AC ∙ cos BAC.

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Третій випадок. Нехай кут A прямий (рис. 3.3). Тоді cos A = 0. Треба довести, що BC2 = AB2 + AC2. Ця рівність випливає з теореми Піфагора для трикутника ABC.

Доведення теореми косинусів показує, що теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, а теорема косинусів є узагальненням теореми Піфагора.

Якщо скористатися позначенням для довжин сторін і величин кутів трикутника ABC (див. форзац), то, наприклад, для сторони, довжина якої дорівнює a, можна записати:

a2 = b2 + c2 - 2bc cos a

За допомогою теореми косинусів, знаючи три сторони трикутника, можна визначити, чи є він гострокутним, тупокутним або прямокутним.

Теорема 3.2 (наслідок з теореми косинусів). Нехай а, b і с — довжини сторін трикутника, причому а — довжина його найбільшої сторони. Якщо a2< b2 + c2, то трикутник є гострокутним. Якщо a2 > b2 + c2, то трикутник є тупокутним. Якщо a2 = b2 + c2, то трикутник є прямокутним.

Доведення. За теоремою косинусів

a2= b2+ c2- 2bc cos a.

Звідси 2bc cos a = b2 + c2 - a2.

Нехай a2 < b2 + c2. Тоді b2 + c2 - a2 > 0. Звідси 2bc cos a > 0, тобто cos a > 0. Тому кут a гострий.

Оскільки aдовжина найбільшої сторони трикутника, то проти цієї сторони лежить найбільший кут, який, як ми довели, є гострим. Отже, у цьому випадку трикутник є гострокутним.

Нехай a2 > b2 + c2. Тоді b2+ c2 - a2 < 0. Звідси 2bc cos a < 0, тобто cos a < 0. Тому кут a тупий. Отже, у цьому випадку трикутник є тупокутним.

Нехай a2= b2+ c2. Тоді 2bc cos a = 0. Звідси cos a = 0. Отже, a = 90°. У цьому випадку трикутник є прямокутним.

Теорема 3.3. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.

Доведення. На рисунку 3.4 зображено паралелограм ABCD. Нехай AB = CD = a, BC = AD = b, BAD = a, тоді ADC = 180° - a. Із трикутника ABDза теоремою косинусів отримуємо:

BD2 = a2 + b2 - 2ab cos a. (1)

Із трикутника ACD за теоремою косинусів отримуємо:

AC2= a2+ b2 - 2ab cos (180° - a).

Звідси

AC2= a2+ b2+ 2ab cos a. (2)

Додавши рівності (1) і (2), отримаємо:

BD2 + AC2 = 2a2 + 2b2.

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Задача 1. Доведіть, що в трикутнику ABC (див. позначення на форзаці):

Розв’язання. Нехай відрізок BM — медіана трикутника ABC. На промені BM позначимо таку точку D, що BM = MD (рис. 3.5). Тоді чотирикутник ABCD — паралелограм.

Використовуючи теорему 3.3, можна записати:

BD2 + AC2 = 2AB2 + 2BC2

або 4m2b + b2 = 2c2 + 2а2.

Звідси

Аналогічно можна довести дві інші формули.

Задача 2. На стороні AC трикутника ABC позначили точку D так, що CD : AD = 1 : 2. Знайдіть відрізок BD, якщо AB = 14 см, BC = 13 см, AC = 15 см.

Розв’язання. За теоремою косинусів із трикутника ABC (рис. 3.6) отримуємо:

AB2= AC2+ BC2- 2AC ∙ BC ∙ cos C.

Звідси

Оскільки CD : AD = 1 : 2, то CD = AC = 5 (см).

Тоді з трикутника BCD отримуємо:

BD2 = BC2 + CD2 - 2BC CD cos C = 132 + 52 - 2 ∙ 13 ∙ 5 ∙ = 128.

Отже,

Відповідь:

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Задача 3. На діаметрі AB кола із центром O вибрали точки M і N так, що OM = ON. На колі позначили точку X. Доведіть, що сума XM2 + XN2 не залежить від вибору точки X.

Розв’язання. Нехай X — точка кола, відмінна від точок Aі B. Тоді радіус OX — медіана трикутника MXN (рис. 3.7). Скориставшася ключовою задачею 1, запишемо:

Звідси

Оскільки відрізок XO — радіус даного кола, то значення правої частини останньої рівності не залежить від вибору точки X.

Випадок, коли точка X збігається з точкою A або точкою B, розгляньте самостійно.

Задача 4. Відомо, що довжина найбільшої сторони трикутника дорівнює см. Доведіть, що три круги із центрами у вершинах трикутника та радіусами 1 повністю покривають трикутник.

Розв’язання. Очевидно, що ці круги покривають сторони трикутника.

Нехай усередині трикутника ABC знайшлася точка O, не покрита жодним із кругів. Очевидно, що один із кутів AOB, BOC, COA не менший від 120°.

Нехай, наприклад, це кут AOC. Тоді cos AOC -. Із трикутника AOC за теоремою косинусів AC2 = OA2 + OC2 - 2OAOC х cos AOC. З урахуванням нерівності cos AOC - отримуємо:

AC2 OA2 + OC2 + OA OC.

Оскільки точка О не покрита кругами із центрами А і C, то OA > 1 см і OC > 1 см. Тоді OA2 + OC2 + OAOC > 3 см. Звідси AC > см, що суперечить умові задачі. Отже, точок трикутника, не покритих жодним з указаних кругів, не існує.

Задача 5. Додатні числа a, b, c є такими, що c2 = a2 + b2 - ab. Доведіть, що (a - c)(b - c) ≤ 0.

Розв’язання. Побудуємо кут MON, який дорівнює 60°. На його сторонах OM і ON позначимо відповідно точки A і B так, що OA = a, OB = b (рис. 3.8). За теоремою косинусів AB2 = a2 + b2 - ab. Отже, AB = c.

У трикутнику OAB один із кутів A або B не менший від 60°, а другий не більший за 60°. Отже, у трикутнику OAB сторона c не менша від однієї з двох інших сторін і не більша за другу. Звідси (a - c)(b - c) ≤ 0.

Рис. 3.8

1. Сформулюйте теорему косинусів.

2. Гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник зі сторонами a, b і c, де a - довжина його найбільшої сторони, якщо:

1) a2 < b2 + c2; 2) a2 > b2 + c2; 3) a2 = b2 + c2?

3. Як пов'язані між собою діагоналі та сторони паралелограма?

ВПРАВИ

3.1. Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо:

1) AB = 5 см, BC = 8 см, B = 60°;

2) AB = 3 см, AC = 2o2 см, A = 135°.

3.2. Знайдіть невідому сторону трикутника DEF, якщо:

1) DE = 4 см, DF = 2S см, D = 30°;

2) DF = 3 см, EF = 5 см, F = 120°.

3.3. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 20 см і 28 см. Знайдіть найбільший кут трикутника.

3.4. Сторони трикутника дорівнюють лУ18 см, 5 см і 7 см. Знайдіть середній за величиною кут трикутника.

3.5. Установіть, гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник, сторони якого дорівнюють:

1) 5 см, 7 см і 9 см; 3) 10 см, 15 см і 18 см.

2) 5 см, 12 см і 13 см;

3.6. Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 8 см і 12 см. Чи є даний трикутник гострокутним?

3.7. Доведіть, що трикутник зі сторонами 8 см, 15 см і 17 см є прямокутним.

3.8. Сторони паралелограма дорівнюють 2 см і 5 см, а один із кутів дорівнює 45°. Знайдіть діагоналі паралелограма.

3.9. У трапеції ABCD відомо, що BC || AD, BC = 3 см, AD = 10 см, CD = 4 см, D = 60°. Знайдіть діагоналі трапеції.

3.10. На стороні AB рівностороннього трикутника ABC позначено точку D так, що AD : DB = 2 : 1. Знайдіть відрізок CD, якщо AB = 6 см.

3.11. На гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC позначено точку M так, що AM : BM = 1 : 3. Знайдіть відрізок CM, якщо AC = BC = 4 см.

3.12. У трикутнику ABC відомо, що C = 90°, AC = 20 см, BC = 15 см. На стороні AB позначено точку M так, що BM = 4 см. Знайдіть відрізок CM.

3.13. На продовженні гіпотенузи AB прямокутного рівнобедреного трикутника ABC за точку B позначено точку D так, що BD = BC. Знайдіть відрізок CD, якщо катет трикутника ABC дорівнює а.

3.14. У трикутнику ABC відомо, що C = 90°, AB = 13 см, AC = 12 см. На продовженні гіпотенузи AB за точку B позначено точку D так, що BD = 26 см. Знайдіть відрізок CD.

3.15. Центр кола, вписаного в прямокутний трикутник, знаходиться на відстанях а і b від кінців гіпотенузи. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

3.16. Точка O — центр кола, вписаного в трикутник ABC, BC = а, AC = b, AOB = 120°. Знайдіть сторону AB.

3.17. Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 60°, відносяться як 5 : 8, а третя сторона дорівнює 21 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

3.18. Дві сторони трикутника відносяться як 1: 2 і утворюють кут, величина якого становить 30°. Третя сторона трикутника дорівнює 2 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

3.19. Сума двох сторін трикутника, які утворюють кут величиною 120°, дорівнює 8 см, а довжина третьої сторони — 7 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

3.20. Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 120°, відносяться як 5 : 3. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 30 см.

3.21. Дві сторони трикутника дорівнюють 16 см і 14 см, а кут, протилежний меншій із відомих сторін, дорівнює 60°. Знайдіть невідому сторону трикутника.

3.22. Дві сторони трикутника дорівнюють 15 см і 35 см, а кут, протилежний більшій із відомих сторін, дорівнює 120°. Знайдіть периметр трикутника.

3.23. Одна зі сторін трикутника у 2 рази більша за другу, а кут між цими сторонами становить 60°. Доведіть, що даний трикутник є прямокутним.

3.24. Доведіть, що коли квадрат сторони трикутника дорівнює неповному квадрату суми двох інших сторін, то протилежний цій стороні кут дорівнює 120°.

3.25. Доведіть, що коли квадрат сторони трикутника дорівнює неповному квадрату різниці двох інших сторін, то протилежний цій стороні кут дорівнює 60°.

3.26. Дві сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а одна з діагоналей — 12 см. Знайдіть другу діагональ паралелограма.

3.27. Діагоналі паралелограма дорівнюють 13 см і 11 см, а одна зі сторін — 9 см. Знайдіть периметр паралелограма.

3.28. Діагоналі паралелограма дорівнюють 8 см і 14 см, а одна зі сторін на 2 см більша за другу. Знайдіть сторони паралелограма.

3.29. Сторони паралелограма дорівнюють 11 см і 23 см, а його діагоналі відносяться як 2 : 3. Знайдіть діагоналі паралелограма.

3.30. Сторони трикутника дорівнюють 16 см, 18 см і 26 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до його більшої сторони.

3.31. Дві сторони трикутника дорівнюють 12 см і 14 см, а медіана, проведена до третьої сторони, — 7 см. Знайдіть невідому сторону трикутника.

3.32. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 4 см, а синус кута між ними дорівнює . Знайдіть третю сторону трикутника.

3.33. На стороні BC трикутника ABC позначено точку D так, що CD = 14 см. Знайдіть відрізок AD, якщо AB = 37 см, BC = 44 см і AC = 15 см.

3.34. На стороні AB трикутника ABC позначено точку K, а на продовженні сторони BC за точку C — точку M. Знайдіть відрізок MK, якщо AB = 15 см, BC = 7 см, AC = 13 см, AK = 8 см, MC = 3 см.

3.35. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, ABC = 120°. На продовженні відрізка AB за точку B позначено точку D так, що BD = 2AB. Доведіть, що трикутник ACD рівнобедрений.

3.36. Знайдіть діагональ AC чотирикутника ABCD, якщо навколо нього можна описати коло й AB = 3 см, BC = 4 см, CD = 5 см, AD = 6 см.

3.37. Чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD, якщо AB = 4 см, AD = 3 см, BD = 6 см і C = 30°?

3.38. Доведіть, що проти більшого кута паралелограма лежить більша діагональ. Сформулюйте та доведіть обернене твердження.

3.39. Доведіть, що трикутник зі сторонами 2mn, m2 - n2, m2 + n2, де m і nнатуральні числа, причому m > n, є прямокутним.1

3.40. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а медіана, проведена до бічної сторони, — 5 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

1 Надаючи числам m і n різних натуральних значень, можна отримати безліч трійок натуральних чисел таких, що квадрат одного з них дорівнює сумі квадратів двох інших. Такі трійки чисел називають піфагоровими.

3.41. Доведіть, що в трикутнику ABC виконується рівність

3.42. Доведіть, що коли в трикутнику ABC виконується рівність то цей трикутник прямокутний.

3.43. Доведіть, що коли в трикутнику ABC виконується рівність a2 + b2 = 5c2, то медіани, проведені з вершин A і B, перпендикулярні.

3.44. Доведіть, що сума квадратів медіан трикутника не менша від квадрата його півпериметра.

3.45. Дано два кола, які мають спільний центр (такі кола називають концентричними). Доведіть, що сума квадратів відстаней від точки одного з кіл до кінців діаметра другого кола не залежить ні від вибраної точки, ні від вибраного діаметра.

3.46. Доведіть, що сума квадратів діагоналей чотирикутника у два рази більша за суму квадратів відрізків, які сполучають середини його протилежних сторін.

3.47. В опуклому чотирикутнику відрізки, які сполучають середини протилежних сторін, дорівнюють m і n, кут між ними дорівнює 60°. Знайдіть діагоналі чотирикутника.

3.48. Діагоналі опуклого чотирикутника дорівнюють а і b, кут між ними дорівнює 45°. Знайдіть відрізки, які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника.

3.49. Відстань між серединами діагоналей трапеції дорівнює 5 см, а її бічні сторони дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть відстань між серединами основ.

3.50. У трапеції ABCD відомо, що AD || BC, AB = 5 см, BC = 9 см, AD = 16 см, cos A = . Знайдіть сторону CD трапеції.

3.51. У трапеції ABCD відомо, що AD || BC, AB = см, BC = 6 см, CD = 4 см, AD = 11 см. Знайдіть косинус кута D трапеції.

3.52. У трапеції ABCD відомо, що AD || BC, BC = 1 см, AD = 6 см, AC = 3 см, BD = 5 см. Знайдіть кут AOD, де O — точка перетину діагоналей трапеції.

3.53. У трикутнику ABC проведено висоти AA1 і CC1. Відомо, що A1C1 : AC = , AB = c, BC = a. Знайдіть сторону AC.

3.54. Із вершини D ромба ABCD на сторону BC опущено висоту DE. Діагональ AC перетинає відрізок DE в точці F так, що DF : FE = 5 : 1. Знайдіть сторону ромба, якщо AE = 35 см.

3.55. В опуклому чотирикутнику ABCD відомо, що AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, причому a2 + c2 = b2 + d2. Доведіть, що діагоналі цього чотирикутника перпендикулярні.

3.56. У паралелограмі ABCD діагоналі AC і BD перетинаються в точці O. Відомо, що AB = a, BC = b (ab), BOC = a. Доведіть, що cos a

3.57. На діаметрі кола радіуса R із центром O позначили точку M. Доведіть, що сума квадратів відстаней від точки M до кінців хорди, паралельної цьому діаметру, не залежить від вибору хорди.

3.58. Довжина кожної зі сторін опуклого чотирикутника не більша за 7 см. Доведіть, що для будь-якої точки чотирикутника знайдеться вершина, відстань від якої до цієї точки менша від 5 см.

3.59. (Теорема Стюарта) На стороні BC трикутника ABC позначили точку D. Доведіть, що AB2DC + AC2BD - AD2BC = BC DC BD.

3.60. Знайдіть найменше значення виразу

3.61. Доведіть, що

3.62. Доведіть, що для додатних чисел a, b і c виконується нерівність

3.63. Чи існують такі три точки A, B і C, що для будь-якої точки X довжина хоча б одного з відрізків XA, XB, XC дорівнює ірраціональному числу?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити