Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§7 ПОЧАТКОВІ ВІДОМОСТІ ЗІ СТЕРЕОМЕТРІЇ

27. Циліндр. Конус. Куля

У повсякденному житті ми часто натрапляємо на предмети, які мають форму циліндра: консервна банка (рис. 27.1), хокейна шайба (рис. 27.2), колони будівлі (рис. 27.3), бочка (рис. 27.4)

Рис. 27.1

Рис. 27.2

Рис. 27.3

Рис. 27.4

Циліндр можна уявити як тіло, утворене в результаті обертання прямокутника ABCD навколо однієї з його сторін, наприклад сторони AB (рис. 27.5). Пряму AB називають віссю циліндра.

Сторони BC і AD, обертаючись, утворюють рівні круги, які називають основами циліндра. При обертанні сторони CD утворюється бічна поверхня циліндра.

Нехай при обертанні прямокутника відрізок CD зайняв положення C1D1 (рис. 27.5). Говорять, що відрізок C1D1 — образ відрізка CD.

Усі відрізки, положення яких може зайняти відрізок CD при обертанні прямокутника, називають твірними циліндра. Наприклад, на рисунку 27.5 відрізки CD і C1D1 — твірні циліндра. Усі твірні циліндра рівні й паралельні. Крім того, кожна твірна перпендикулярна до площин основ циліндра.

Якщо бічну поверхню циліндра розрізати по одній з його твірних, а потім розгорнути її на площині, то отримаємо прямокутник. Одна з його сторін дорівнює твірній, а довжина другої сторони дорівнює довжині кола, яке обмежує основу циліндра (рис. 27.6). Отриманий прямокутник називають розгорткою бічної поверхні циліндра.

Рис. 27.5

Рис. 27.6

Площа бічної поверхні циліндра S6 дорівнює площі її розгортки. Маємо:

Sб = 2Rh,

де R — радіус основи циліндра, h — довжина його твірної.

Площа Sп поверхні циліндра дорівнює сумі площі бічної поверхні та площ його основ:

Sп = Sб + Sосн,

де Sосн — площа основи циліндра.

Об’єм V циліндра обчислюють за формулою

V = R2h,

де Rрадіус основи циліндра, hдовжина його твірної.

Конус можна уявити як тіло, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника ABC навколо одного з його катетів, наприклад катета AC(рис. 27.7).

Рис. 27.7

Катет BC, обертаючись, утворює круг, який називають основою конуса. При обертанні гіпотенузи AB утворюється бічна поверхня конуса.

Нехай при обертанні трикутника гіпотенуза AB зайняла положення AB1 (рис. 27.7). Говорять, що AB1 — образ відрізка AB.

Усі відрізки, положення яких може зайняти відрізок АВ при обертанні прямокутного трикутника, називають твірними конуса. Наприклад, на рисунку 27.7 відрізки AB і AB1 — твірні конуса. Усі твірні конуса рівні.

Пряму AC називають віссю конуса, відрізок AC — висотою конуса, точку A — вершиною конуса. Висота конуса перпендикуляр на до площини його основи.

Якщо бічну поверхню конуса розрізати по одній із його твірних, а потім розгорнути її на площині, то отримаємо сектор. Радіус цього сектора дорівнює довжині l твірної конуса, а довжина дуги, яка обмежує сектор, довжині кола, яке обмежує основу конуса (рис. 27.8).

Отриманий сектор називають розгорткою бічної поверхні конуса.

Рис. 27.8

Площа бічної поверхні конуса Sб дорівнює площі її розгортки, яку обчислюють за формулою

Sб = Rl,

де R — радіус основи конуса, l — довжина його твірної.

Площа Sп поверхні конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні та площі його основи:

Sп = Sб + Sосн,

де Sосн — площа основи конуса.

Об’єм V конуса обчислюють за формулою

де R — радіус основи конуса, h — довжина його висоти.

Усі точки простору, віддалені від даної точки на задану відстань R (R > 0), утворюють фігуру, яку називають сферою (рис. 27.9). Дану точку називають центром сфери, а число R — радіусом сфери. Будь-який відрізок, який сполучає центр сфери з її точкою, також називають радіусом сфери. На рисунку 27.9 точка O — центр сфери, R — радіус.

Тіло, яке є частиною простору, обмеженою сферою, разом зі сферою, називають кулею. Сферу, яка обмежує кулю, називають поверхнею кулі. Центр і радіус сфери називають також центром і радіусом кулі.

Рис. 27.9

Рис. 27.10

Кулю можна уявити як тіло, отримане в результаті обертання круга навколо одного з діаметрів (рис. 27.10).

Площу S поверхні кулі, тобто площу сфери, обчислюють за формулою

S = 4R2,

де Rрадіус кулі.

Об’єм V кулі обчислюють за формулою

де R — радіус кулі.

1. Яка геометрична фігура є розгорткою бічної поверхні циліндра?

2. За якою формулою обчислюють площу бічної поверхні циліндра?

3. Чому дорівнює площа поверхні циліндра?

4. За якою формулою обчислюють об'єм циліндра?

5. Яка геометрична фігура є розгорткою бічної поверхні конуса?

6. За якою формулою обчислюють площу бічної поверхні конуса?

7. Чому дорівнює площа поверхні конуса?

8. За якою формулою обчислюють об'єм конуса?

9. Яку фігуру називають сферою?

10. Яку фігуру обмежує сфера?

11. За якою формулою обчислюють площу поверхні кулі?

12. За якою формулою обчислюють об'єм кулі?

ВПРАВИ

27.1. На рисунку 27.11 зображено циліндр. Укажіть:

1) вісь циліндра;

2) твірну циліндра;

3) радіус нижньої основи циліндра;

4) радіус верхньої основи циліндра.

Рис. 27.11

Рис. 27.12

27.2. Радіус основи циліндра дорівнює 6 см, а його твірна — 8 см. Знайдіть площу бічної поверхні, площу поверхні та об’єм циліндра.

27.3. Знайдіть площу бічної поверхні, площу поверхні та об’єм циліндра, розгортку якого зображено на рисунку 27.12 (довжини відрізків дано в сантиметрах).

27.4. На рисунку 27.13 зображено конус. Укажіть:

1) вершину конуса; 4) радіус основи конуса;

2) центр його основи; 5) висоту конуса.

3) твірну конуса;

27.5. Радіус основи конуса дорівнює 4 см, а його твірна — 7 см. Знайдіть площу бічної поверхні та площу поверхні конуса.

Рис. 27.13

Рис. 27.14

27.6. Знайдіть площу поверхні конуса, розгортку якого зображено на рисунку 27.14 (довжини відрізків дано в сантиметрах).

27.7. Знайдіть об’єм конуса, висота якого дорівнює 12 см, а радіус основи — 3 см.

27.8. Знайдіть площу поверхні та об’єм кулі, радіус якої дорівнює 3 см.

27.9. Прямокутник, сторони якого дорівнюють 12 см і 5 см, обертається навколо більшої сторони. Знайдіть площу поверхні та об’єм циліндра, що утворився при цьому.

27.10. Твірна циліндра дорівнює 6 см, а об’єм — 150 см3. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

27.11. Маса 10 м мідного дроту кругового перерізу дорівнює 106,8 г. Знайдіть діаметр дроту, якщо густина міді становить 8,9103 кг/м3.

27.12. Визначте тиск цегляної колони циліндричної форми заввишки 3 м на фундамент, якщо діаметр колони дорівнює 1,2 м, а маса 1 м3 цегли дорівнює 1,8 т.

27.13. Діаметр основи конуса дорівнює 16 см, а його твірна — 17 см. Знайдіть площу поверхні та об’єм конуса.

27.14. Прямокутний трикутник із катетами 12 см і 16 см обертається навколо меншого катета. Знайдіть площу бічної поверхні та об’єм конуса, що утворився при цьому.

27.15. Зерно зсипали у купу конічної форми заввишки 1,2 м. Яка маса цієї купи, якщо радіус її основи дорівнює 2 м, а маса 1 м3 зерна становить 750 кг?

27.16. Рідину з повної посудини конічної форми, висота якої дорівнює 24 см, а радіус основи — 6 см, перелили в посудину циліндричної форми, радіус основи якої дорівнює 8 см, а висота — 10 см. Визначте висоту рівня води в посудині циліндричної форми.

27.17. Стіжок сіна має форму циліндра з конічним верхом (рис. 27.15). Радіус його основи дорівнює 1,5 м, висота — 3 м, причому циліндрична частина стіжка має висоту 2,4 м. Знайдіть масу стіжка, якщо маса 1 м3 сіна становить 30 кг.

Рис. 27.15

Рис. 27.16

27.18. Як зміняться площа поверхні та об’єм кулі, якщо її радіус збільшити у 2 рази?

27.19. Радіус однієї кулі дорівнює 3 см, а другої — 4 см. Знайдіть відношення площ поверхонь і відношення об’ємів даних куль.

27.20. Діаметр зовнішньої сфери залізної порожнистої кулі дорівнює 12 см, а діаметр внутрішньої сфери — 10 см. Знайдіть масу кулі, якщо густина заліза дорівнює 7,9103 кг/м3.

27.21. Відрізок AB — діаметр основи конуса (рис. 27.16), AMB = 90°, відрізок MO — висота конуса, MO = h. Знайдіть площу бічної поверхні та об’єм конуса.

27.22. Відрізок AB — діаметр основи конуса (рис. 27.16), AMB = 60°, точка O — центр основи конуса, OA = R. Знайдіть площу бічної поверхні та об’єм конуса.

27.23. Сторони прямокутника дорівнюють а і b, a > b. Він обертається спочатку навколо сторони а, потім — навколо сторони b. Порівняйте площі бічних поверхонь і об’єми циліндрів, які при цьому утворилися.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити