Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§2 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

4. Теорема синусів

Із другої ознаки рівності трикутників випливає, що сторона та два прилеглих до неї кути однозначно визначають трикутник. Отже, за вказаними елементами можна знайти дві інші сторони трикутника. Як це зробити, підказує така теорема.

Теорема 4.1 (теорема синусів). Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Лема. Хорда кола дорівнює добутку діаметра та синуса будь-якого вписаного кута, який спирається на цю хорду.

Доведення. На рисунку 4.1 відрізок MN — хорда кола із центром у точці O. Проведемо діаметр MP. Тоді MNP = 90° як вписаний кут, що спирається на діаметр. Нехай величина вписаного кута MPN дорівнює а. Тоді з прямокутного трикутника MPN отримуємо:

MN = MP sin а. (1)

Усі вписані кути, які спираються на хорду MN, дорівнюють а або 180° - а. Отже, їхні синуси рівні. Тому отримана рівність (1) справедлива для всіх вписаних кутів, які спираються на хорду MN.

Тепер доведемо теорему синусів.

Д о в е д е н н я. Нехай у трикутнику ABC відомо, що AB = c, BC = a, CA = b.

Доведемо, що

Нехай радіус описаного кола трикутника ABC дорівнює R. Тоді з доведеної леми випливає, що a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C. Звідси

Рис. 4.1

Наслідок. Радіус кола, описаного навколо трикутника, можна обчислити за формулою

де a — довжина сторони трикутника, а — величина протилежного цій стороні кута.

Задача 1. У трикутнику ABC відомо, що AC = см, BC = 1 см, A = 30°. Знайдіть кут B.

Розв’язання. За теоремою синусів

Тоді

Оскільки BC < AC, то A < B. Тоді кут B може бути як гострим, так і тупим. Звідси AB = 45° або AB = 180° - 45° = 135°.

Відповідь: 45° або 135°.

Задача 2. Відрізок BD — бісектриса трикутника ABC, ABC = 30°, AC = 105° (рис. 4.2). Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, якщо радіус кола, описаного навколо трикутника BDC, дорівнює 8 см.

Розв’язання. Нехай R1 — радіус кола, описаного навколо трикутника BDC, R = 8 см.

Оскільки відрізок BD — бісектриса трикутника, то ACBD = ABC = 15°.

Рис. 4.2

Із трикутника BDC отримуємо:

BDC = 180° - (CBD + C) = 180° - (15° + 105°) = 60°.

За наслідком з теореми синусів

Звідси BC = 2R sin BDC = 28 sin 60° = 24 (см).

Із трикутника ABC отримуємо:

A = 180° - (ABC + AC) = 180° - (30° + 105°) = 45°.

Нехай Rшуканий радіус кола, описаного навколо трикутника ABC.

Тоді

звідси

Відповідь: 24 см

Задача 3. У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 21 см і 9 см, а висота — 8 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції.

Розв’язання. Проведемо висоту BM рівнобічної трапеції ABCD (рис. 4.3). Відомо, що

Маємо: AM = 6 см, MD = 15 см.

Із трикутника ABM отримуємо:

Рис. 4.3

Із трикутника MBD отримуємо:

= 17 (см).

Коло, описане навколо трапеції ABCD, є також описаним колом трикутника ABD. Позначивши шуканий радіус R, маємо:

BD = 2Rsin A.

Звідси

Відповідь: см.

Задача 4. На найбільшій стороні AC трикутника ABC позначили точку X, відмінну від вершин A і C. Із точки X опущено перпендикуляри XM і XN на прямі AB і BC відповідно. Знайдіть таке положення точки X, при якому довжина відрізка MN буде найменшою.

Розв’язання. На рисунку 4.4 показано випадок, коли точки M і N лежать на сторонах трикутника, а на рисунку 4.5 — випадок, коли тільки одна точка, наприклад точка M, лежить на стороні трикутника.

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Легко показати, що точки M, B, N, X лежать на одному колі з діаметром BX. Відрізок MN — хорда цього кола, на яку спирається кут MBN (рис. 4.4) або кут, суміжний із кутом MBN (рис. 4.5). Для кожного із цих випадків можна записати: MN = BXsin MBN. Отже, довжина відрізка MN набуває найменшого значення, якщо набуває найменшого значення довжина відрізка BX. А ця умова виконується тоді, коли точка X є основою висоти трикутника ABC, проведеної з вершини B.

1. Як знайти хорду кола, якщо відомо діаметр кола та вписаний кут, який спирається на цю хорду?

2. Сформулюйте теорему синусів.

3. Як знайти радіус кола, описаного навколо трикутника зі стороною а та протилежним цій стороні кутом а?

ВПРАВИ

4.1 Знайдіть сторону BC трикутника ABC, зображеного на рисунку 4.6 (довжину відрізка дано в сантиметрах).

Рис. 4.6

Рис. 4.7

4.2. Знайдіть кут A трикутника ABC, зображеного на рисунку 4.7 (довжини відрізків дано в сантиметрах).

4.3. Знайдіть сторону AB трикутника ABC, якщо AC = см, AB = 120°, C = 45°.

4.4. У трикутнику ABC відомо, що AB = 12 см, BC = 10 см, sin A = 0,2. Знайдіть синус кута C трикутника.

4.5. У трикутнику ABC відомо, що BC = a, A = a, C = у. Знайдіть сторони AB і AC.

4.6. Діагональ паралелограма дорівнює d і утворює з його сторонами кути а і . Знайдіть сторони паралелограма.

4.7. Знайдіть кут A трикутника ABC, якщо:

Скільки розв’язків у кожному з випадків має задача? Відповідь обґрунтуйте.

4.8. Чи існує трикутник ABC такий, що sin A = 0,4, AC = 18 см, BC = 6 см? Відповідь обґрунтуйте.

4.9. На продовженні сторони AB трикутника ABC за точку B позначили точку D. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ACD, якщо ABC = 60°, ADC = 45°, а радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 4 см.

4.10. Радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 6 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника AOC, де O — точка перетину бісектрис трикутника ABC, якщо ABC = 60°.

Рис. 4.8

Рис. 4.9

4.11. Використовуючи дані рисунка 4.8, знайдіть відрізок AD, якщо CD = a.

4.12. Використовуючи дані рисунка 4.9, знайдіть відрізок AC, якщо BD = m.

4.13. На стороні AB трикутника ABC позначили точку M так, що AMC = . Знайдіть відрізок CM, якщо AB = c, A = a, ACB = у.

4.14. У трикутнику ABC відомо, що A = a, B = . На стороні BC позначили точку D так, що ADB = , AD = m. Знайдіть сторону BC.

4.15. Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють sin A, sin B, sin C, де A, B і Cкути даного трикутника ABC.

4.16. Доведіть, користуючись теоремою синусів, що бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, довжини яких пропорційні прилеглим сторонам1.

4.17. Доведіть, що бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, довжини яких обернено пропорційні синусам прилеглих до цієї сторони кутів.

1 Нагадаємо, що це твердження з використанням теореми про пропорційні відрізки було доведено в підручнику: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Геометрія для загальноосвітніх навчальних закладів з поглибленим вивченням математики: підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — Х. : Гімназія, 2016. Далі посилатимемося на цей підручник так: «Геометрія, 8 клас».

4.18. Для сторін і кутів трикутника ABC виконується рівність = . Доведіть, що AC = BC.

4.19. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 12 см, а висота, проведена до третьої сторони, — 4 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо даного трикутника.

4.20. Знайдіть радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника з основою 16 см і бічною стороною 10 см.

4.21. Сторона трикутника дорівнює 24 см, а радіус описаного кола — 8 см. Чому дорівнює кут трикутника, протилежний даній стороні?

4.22. У трикутнику ABC відомо, що AC = b, A = a, C = у. Знайдіть бісектрису BD трикутника.

4.23. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, протилежний їй кут дорівнює a. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини кута при основі.

4.24. Відрізок CD — бісектриса трикутника ABC, у якому A = a, B = . Через точку D проведено пряму, паралельну стороні BC. Ця пряма перетинає сторону AC у точці E, причому AE = а. Знайдіть відрізок CE.

4.25. Медіана AM трикутника ABC дорівнює m і утворює зі сторонами AB і AC кути a і відповідно. Знайдіть сторони AB і AC.

4.26. Медіана CD трикутника ABC утворює зі сторонами AC і BC кути a і відповідно, BC = а. Знайдіть медіану CD.

4.27. У прямокутному трикутнику ABC через вершини A і C та середину M гіпотенузи AB проведено коло радіуса R. Знайдіть радіус описаного кола трикутника CMB, якщо A = a.

4.28. Точка H — ортоцентр непрямокутного трикутника ABC. Доведіть, що радіуси кіл, описаних навколо трикутників AHB, BHC, AHC і ABC, рівні.

4.29. Центр вписаного кола рівнобедреного трикутника ділить висоту, проведену до основи, на відрізки завдовжки 5 см і 3 см, рахуючи від вершини. Знайдіть радіус кола, описаного навколо даного трикутника.

4.30. Діагоналі описаного чотирикутника ABCD перетинаються в точці O. Радіуси описаних кіл трикутників AOB, BOC, COD і DOA відповідно дорівнюють R1, R2, R3 і R4. Доведіть, що

R1 + R3 = R2 + R4.

4.31. На стороні AB трикутника ABC позначили точки M і N. Відомо, що радіуси описаних кіл трикутників ANC і BMC рівні. Крім того, радіуси описаних кіл трикутників AMC і BNC також рівні. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.

4.32. У колі проведено три хорди: MN = 1 см, MP = 6 см, MQ = 2 см. Відомо, що NMP = PMQ. Знайдіть радіус кола.

4.33. Із точки M, що належить куту, на його сторони AB і AC опустили перпендикуляри, які дорівнюють см і 2 см. Знайдіть відрізок MA, якщо A = 60°.

4.34. Дано дві прямі, які перетинаються та кут між якими дорівнює а. Знайдіть геометричне місце точок X таких, що відстань між основами перпендикулярів, опущених із точки X на дані прямі, дорівнює а.

4.35. Із точки M кола на його діаметри AB і CD опустили перпендикуляри. Доведіть, що відстань між основами перпендикулярів не залежить від вибору точки M.

4.36. Навколо трикутника ABC описано коло. З довільної точки M кола опущено перпендикуляри MN і MK на прямі AB і AC відповідно. Для якої точки M довжина відрізка NK буде найбільшою?

4.37. Бісектриси трикутника ABC перетинаються в точці O. Пряма AO вдруге перетинає описане коло трикутника BOC у точці M. Знайдіть відрізок OM, якщо BC = 3 см, BAC = 120°.

4.38. Точка J — центр вписаного кола трикутника ABC. Пряма AJ вдруге перетинає описане коло трикутника ABC у точці D. Знайдіть відрізок DJ, якщо BC = 6 см, а радіус описаного кола дорівнює 2 см.

4.39. У трикутнику ABC на стороні AB існує така точка D, що . Доведіть, що кут C тупий.

4.40. На діагоналі BD квадрата ABCD позначили точку E. Точки O1 і O2 — центри описаних кіл трикутників ABE і ADE відповідно. Доведіть, що чотирикутник AO1EO2 — квадрат.

4.41. Діагоналі вписаного чотирикутника ABCD перетинаються в точці K. Відомо, що AB = a, CD = b, BKA = а. Знайдіть радіус кола, описаного навколо даного чотирикутника.

4.42. У коло вписано чотирикутник ABCD (рис. 4.10). Прямі AB і CD перетинаються в точці M, а прямі BC і AD — у точці N. Відомо, що BM = DN. Доведіть, що CM = CN.

Рис. 4.10

Рис. 4.11





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити