Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§2 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

ТРИГОНОМЕТРИЧНА ФОРМА ТЕОРЕМИ ЧЕВИ

У 8 класі ви вивчали теорему Чеви. Нагадаємо її.

Теорема Чеви. Для того щоб чевіани AA1, BB1 і CC1 трикутника ABC перетиналися в одній точці (рис. 4.11), необхідно і достатньо, щоб виконувалася рівність

(*)

Теорема синусів дає змогу записати критерій конкурентності прямих AA1, BB1 і CC1 в іншій формі.

Позначимо кути, утворені чевіанами AA1, BB1 і CC1 зі сторонами трикутника ABC, так, як показано на рисунку 4.11.

Із трикутника AC1C отримуємо:

Із трикутника BC1C отримуємо:

Звідси

(1)

Аналогічно можна показати, що

(2)

Перемноживши рівності (1), (2) і (3), отримаємо:

Задача. Шестикутник ABCDEF вписано в коло. Доведіть, що діагоналі AD, BE і CF перетинаються в одній точці тоді й тільки тоді, коли AB CD EF = BC DE FA.

Розв’язання. Розглянемо трикутник ACE. Введемо позначення кутів так, як показано на рисунку 4.12. Нехай радіус кола дорівнює R. Тоді:

AB = 2R sin 1;

BC = 2R sin 2;

CD = 2R sin 3;

DE = 2R sin 4;

EF = 2R sin 5;

FA = 2R sin 6.

Рис. 4.12

Звідси

Діагоналі AD, BE і CF є конкурентними тоді й тільки тоді, коли ліва частина записаної рівності дорівнює 1. Звідси випливає справедливість твердження, що доводиться.

ВПРАВИ

1. На сторонах AB, BC і CA трикутника ABC позначили відповідно точки C1, A1 і B1 так, що прямі AA1, BB1 і CC1 конкурентні. Доведіть, що прямі AA2, BB2 і CC2, симетричні прямим AA1, BB1 і CC1 відносно бісектрис кутів A, B і C відповідно, також конкурентні.

2. На сторонах AB, BC і CA трикутника ABC позначили відповідно точки C1, A1 і B1 так, що прямі AA1, BB1 і CC1 конкурентні (рис. 4.13). На сторонах A1B1, B1C1 і C1A1 трикутника A1B1C1 позначили відповідно точки C2, A2 і B2 так, що прямі A1A2, B1B2 і C1C2 конкурентні. Доведіть, що прямі AA2, BB2 і CC2 також конкурентні.

Вказівка. Доведіть, що

Рис. 4.13

Рис. 4.14





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити