Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§2 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

ФОРМУЛА ЕЙЛЕРА ДЛЯ ЗНАХОДЖЕННЯ ВІДСТАНІ МІЖ ЦЕНТРАМИ ВПИСАНОГО Й ОПИСАНОГО КІЛ ТРИКУТНИКА

Теорема. Відстань d між центрами вписаного й описаного кіл трикутника обчислюється за формулою

де r і R — відповідно радіуси його вписаного й описаного кіл.

Доведення. Нехай точки О1 і O — центри вписаного й описаного кіл трикутника ABC відповідно (рис. 4.14). Бісектриса кута B перетинає описане коло в точці D. Згідно з ключовою задачею 18.25 підручника «Геометрія, 8 клас»:

BO1O1D = R2 - O1O2 = R2 - d2.                               (*)

Нехай вписане коло дотикається до сторони BC у точці K. Тоді

з трикутника O1BK отримуємо:

За лемою п. 4 маємо: DC = 2R sin DBC. Згідно з ключовою задачею 11.25 підручника «Геометрія, 8 клас» O1D = DC = 2R sin DBC. Отримані результати підставимо у формулу (*):

Звідси d2 = R2 - 2Rr.

Оскільки d2 = R2 - 2Rr, то R2 - 2Rr 10. Звідси отримуємо, що для будь-якого трикутника виконується нерівність

R2r.

У цій нерівності рівність досягається тоді й тільки тоді, коли центри вписаного й описаного кіл трикутника збігаються. Така властивість притаманна лише рівносторонньому трикутнику.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити