Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік
§2 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ
5. Розв'язування трикутників
Розв’язати трикутник означає знайти невідомі його сторони та кути за відомими сторонами та кутами1.
У 8 класі ви навчилися розв’язувати прямокутні трикутники. Теореми косинусів і синусів дають змогу розв’язати будь-який трикутник.
У наступних задачах значення тригонометричних функцій будемо знаходити за допомогою калькулятора й округлювати ці значення до сотих. Величини кутів будемо знаходити за допомогою калькулятора й округлювати ці значення до одиниць. Обчислюючи довжини сторін, результат будемо округлювати до десятих.
Задача 1. Розв’яжіть трикутник (рис. 5.1) за стороною a = 12 см і двома кутами β = 36°, у = 119°.
Розв’язання. Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: a = 180° - (β + у) = 180° - 155° = 25°.
За теоремою синусів
Рис. 5.1
Звідси
Маємо:
Знову застосовуючи теорему синусів, запишемо:
Звідси
Маємо:
Відповідь: b ≈ 16,9 см, c ≈ 24,9 см, a = 25°.
Задача 2. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами a = 14 см, b = 8 см і кутом у = 38° між ними.
Розв’язання. За теоремою косинусів c2 = a2 + b2 - 2ab cos у.
Звідси с2= 196 + 64 - 2 ∙ 14 ∙ 8 cos 38° ≈ 260 - 224 ∙ 0,79 = 83,04; c ≈ 9,1 см.
1 У задачах цього пункту та вправах 5.1-5.9 прийнято позначення: a, b і c — довжини сторін трикутника, a, β і у — величини кутів, протилежних відповідно сторонам з довжинами a, b і c.
Далі маємо:
Звідси а ≈ 110°.
Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо:
β = 180° - (a + у); β ≈ 180° - 148° = 32°.
Відповідь: c ≈ 9,1 см, а ≈ 110°, β ≈ 32°.
Задача 3. Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами a = 7 см, b = 2 см, c = 8 см.
Розв’язання. За теоремою косинусів a2 = b2 + c2 - 2bc cos a.
Звідси
Отримуємо: a ≈ 54°.
За теоремою синусів
Звідси
Оскільки b — довжина найменшої сторони даного трикутника, то кут β є гострим. Тоді знаходимо, що β ≈ 13°.
Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: g = 180° - (a + β); у ≈ 180° - 67° = 113°.
Відповідь: a ≈ 54°, β ≈ 13°, у ≈ 113°.
Задача 4. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, протилежним одній зі сторін: 1) a = 17 см, b = 6 см, a = 156°; 2) b = 7 см, c = 8 см, β= 65°; 3) a = 6 см, b = 5 см, р = 50°.
Розв’язання. 1) За теоремою синусів
Звідси
Оскільки кут a даного трикутника тупий, то кут β є гострим. Тоді знаходимо, що β ≈ 8°.
Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: g = 180° - (a + β); у ≈ 16°.
За теоремою синусів
Звідси
Відповідь: β ≈ 8°, у ≈ 16°, c ≈ 11,6 см.
2) За теоремою синусів
Звідси
що не можливо.
Відповідь: задача не має розв’язку.
3) За теоремою синусів
Звідси
Можливі два випадки: а ≈ 67° або a ≈ 180° - 67° = 113°.
Розглянемо випадок, коли а ≈ 67°.
Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: у = 180° - (a + β); у ≈ 180° - 117° = 63°.
За теоремою синусів
Звідси
Розглянемо випадок, коли a ≈ 113°.
Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: у = 180° - (a + β); у ≈ 180° - 163° = 17°.
Оскільки
Відповідь: a ≈ 67°, у ≈ 63°, c ≈ 5,8 см або а ≈ 113°, у ≈ 17°, c ≈ 1,9 см.
Що означає розв'язати трикутник?
ВПРАВИ
5.1. Розв’яжіть трикутник за стороною та двома кутами:
1) a = 10 см, β = 20°, у = 85°;
2) b = 16 см, a = 40°, β = 110°.
5.2. Розв’яжіть трикутник за стороною та двома кутами:
1) b = 9 см, a = 35°, у = 70°;
2) c = 14 см, β = 132°, у = 24°.
5.3. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом між ними:
1) b = 18 см, c = 22 см, a = 76°;
2) a = 20 см, b = 15 см, у = 104°.
5.4. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом між ними:
1) a = 8 см, c = 6 см, β = 15°;
2) b = 7 см, c = 5 см, a = 145°.
5.5. Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами:
1) a = 4 см, b = 5 см, c = 7 см;
2) a = 26 см, b = 19 см, c = 42 см.
5.6. Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами:
1) a = 5 см, b = 6 см, c = 8 см;
2) a = 21 см, b = 17 см, c = 32 см.
5.7. Розв’яжіть трикутник, у якому:
1) a = 10 см, b = 3 см, β = 10°, кут а гострий;
2) a = 10 см, b = 3 см, β = 10°, кут а тупий.
5.8. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, який лежить проти однієї з даних сторін:
1) a = 7 см, b = 11 см, β = 46°;
2) b = 15 см, c = 17 см, β = 32°;
3) a = 7 см, c = 3 см, у = 27°.
5.9. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, який лежить проти однієї з даних сторін:
1) a = 23 см, c = 30 см, у = 102°;
2) a = 18 см, b = 25 см, a = 36°.
5.10. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC = 20 см, ∠A = 70°. Знайдіть:
1) сторону AC;
2) медіану CM;
3) бісектрису AD;
4) радіус описаного кола трикутника ABC.
5.11. Діагональ AC рівнобічної трапеції ABCD (BC || AD) дорівнює 8 см, ∠CAD = 38°, ∠BAD = 72°. Знайдіть:
1) сторони трапеції;
2) радіус описаного кола трикутника ABC.
5.12. Основи трапеції дорівнюють 12 см і 16 см, а бічні сторони — 7 см і 9 см. Знайдіть кути трапеції.