§2 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

5. Розв'язування трикутників

Розв’язати трикутник означає знайти невідомі його сторони та кути за відомими сторонами та кутами¹.

У 8 класі ви навчилися розв’язувати прямокутні трикутники. Теореми косинусів і синусів дають змогу розв’язати будь-який трикутник.

У наступних задачах значення тригонометричних функцій будемо знаходити за допомогою калькулятора й округлювати ці значення до сотих. Величини кутів будемо знаходити за допомогою калькулятора й округлювати ці значення до одиниць. Обчислюючи довжини сторін, результат будемо округлювати до десятих.

Задача 1. Розв’яжіть трикутник (рис. 5.1) за стороною a = 12 см і двома кутами β = 36°, у = 119°.

Розв’язання. Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: a = 180° - (β + у) = 180° -  155° = 25°.

За теоремою синусів

Рис. 5.1

Звідси

Маємо:

Знову застосовуючи теорему синусів, запишемо:

Звідси

Маємо:

Відповідь: b ≈ 16,9 см, c ≈ 24,9 см, a = 25°.

Задача 2. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами a = 14 см, b = 8 см і кутом у = 38° між ними.

Розв’язання. За теоремою косинусів c² = a² + b² - 2ab cos у.

Звідси с²= 196 + 64 - 2 ∙ 14 ∙ 8 cos 38° ≈ 260 - 224 ∙ 0,79 = 83,04; c ≈ 9,1 см.

¹ У задачах цього пункту та вправах 5.1-5.9 прийнято позначення: a, b і c — довжини сторін трикутника, a, β і у — величини кутів, протилежних відповідно сторонам з довжинами a, b і c.

Далі маємо:

Звідси а ≈ 110°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо:

β = 180° - (a + у); β ≈ 180° - 148° = 32°.

Відповідь: c ≈ 9,1 см, а ≈ 110°, β ≈ 32°.

Задача 3. Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами a = 7 см, b = 2 см, c = 8 см.

Розв’язання. За теоремою косинусів a² = b² + c² - 2bc cos a.

Звідси

Отримуємо: a ≈ 54°.

За теоремою синусів

Звідси

Оскільки b — довжина найменшої сторони даного трикутника, то кут β є гострим. Тоді знаходимо, що β ≈ 13°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: g = 180° - (a + β); у ≈ 180° - 67° = 113°.

Відповідь: a ≈ 54°, β ≈ 13°, у ≈ 113°.

Задача 4. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, протилежним одній зі сторін: 1) a = 17 см, b = 6 см, a = 156°; 2) b = 7 см, c = 8 см, β= 65°; 3) a = 6 см, b = 5 см, р = 50°.

Розв’язання. 1) За теоремою синусів

Звідси

Оскільки кут a даного трикутника тупий, то кут β є гострим. Тоді знаходимо, що β ≈ 8°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: g = 180° - (a + β); у ≈ 16°.

За теоремою синусів

Звідси

Відповідь: β ≈ 8°, у ≈ 16°, c ≈ 11,6 см.

2) За теоремою синусів

Звідси

що не можливо.

Відповідь: задача не має розв’язку.

3) За теоремою синусів

Звідси

Можливі два випадки: а ≈ 67° або a ≈ 180° - 67° = 113°.

Розглянемо випадок, коли а ≈ 67°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: у = 180° - (a + β); у ≈ 180° - 117° = 63°.

За теоремою синусів

Звідси

Розглянемо випадок, коли a ≈ 113°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: у = 180° - (a + β); у ≈ 180° - 163° = 17°.

Оскільки

Відповідь: a ≈ 67°, у ≈ 63°, c ≈ 5,8 см або а ≈ 113°, у ≈ 17°, c ≈ 1,9 см.

Що означає розв'язати трикутник?

ВПРАВИ

5.1. Розв’яжіть трикутник за стороною та двома кутами:

1) a = 10 см, β = 20°, у = 85°;

2) b = 16 см, a = 40°, β = 110°.

5.2. Розв’яжіть трикутник за стороною та двома кутами:

1) b = 9 см, a = 35°, у = 70°;

2) c = 14 см, β = 132°, у = 24°.

5.3. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом між ними:

1) b = 18 см, c = 22 см, a = 76°;

2) a = 20 см, b = 15 см, у = 104°.

5.4. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом між ними:

1) a = 8 см, c = 6 см, β = 15°;

2) b = 7 см, c = 5 см, a = 145°.

5.5. Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами:

1) a = 4 см, b = 5 см, c = 7 см;

2) a = 26 см, b = 19 см, c = 42 см.

5.6. Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами:

1) a = 5 см, b = 6 см, c = 8 см;

2) a = 21 см, b = 17 см, c = 32 см.

5.7. Розв’яжіть трикутник, у якому:

1) a =   10 см, b = 3 см, β = 10°, кут а  гострий;

2) a =   10 см, b = 3 см, β = 10°, кут а тупий.

5.8. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, який лежить проти однієї з даних сторін:

1) a = 7 см, b = 11 см, β = 46°;

2) b = 15 см, c = 17 см, β = 32°;

3) a = 7 см, c = 3 см, у = 27°.

5.9. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, який лежить проти однієї з даних сторін:

1) a = 23 см,  c = 30 см, у = 102°;

2) a = 18 см,  b = 25 см, a = 36°.

5.10. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC = 20 см, ∠A = 70°. Знайдіть:

1) сторону AC;

2) медіану CM;

3) бісектрису AD;

4) радіус описаного кола трикутника ABC.

5.11. Діагональ AC рівнобічної трапеції ABCD (BC || AD) дорівнює 8 см, ∠CAD = 38°, ∠BAD = 72°. Знайдіть:

1) сторони трапеції;

2) радіус описаного кола трикутника ABC.

5.12. Основи трапеції дорівнюють 12 см і 16 см, а бічні сторони — 7 см і 9 см. Знайдіть кути трапеції.