Розділ 1 Метод координат на площині

Головне в розділі 1

Синус і косинус кута а — ордината і абсциса точки одиничного кола, яка відповідає даному куту (мал. 51). Тангенс кута — відношення синуса цього кута до його косинуса.

Мал. 51

Синус, косинус і тангенс кута разом називають тригонометричними функціями цього кута.

Для кожного кута а правильні тотожності:

sin²а + cos²а = 1;

sin(180° - а) = sin а; cos(180° - а) = - cos а;

sin(90°- а) = cos а і cos(90°- а) = sin а.

Для будь-яких точок А (х₁; y₁) і В (х₂; у₂) можна обчислити координати середини відрізка АВ і довжину відрізка АВ.

Кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат його кінців (мал. 52). Тобто, якщо кінці відрізка А(х₁; у₁) і В(х₂; у₂), то серединою даного відрізка є точка М з координатами

 і  .

Відстань між точками А(х₁; у₁) і В(х₂; у₂):

Мал. 52

Рівнянням фігури на координатній площині називають рівняння з двома змінними, яке задовольняють координати кожної точки даної фігури і тільки координати її точок.

Рівняння кола радіуса г (мал. 53) з центром у точці А(а; b) має вигляд(х - а)² + (у - b)² = r².

Якщо центр кола радіуса г лежить у початку координат, то його рівняння х² + у² = r² (мал. 54).

Мал. 53

Мал. 54

Кожній прямій координатної площини відповідає лінійне рівняння з двома змінними ах + bу + с = 0. Таке рівняння називають загальним рівнянням прямої.

Якщо с = 0, а коефіцієнти а і b відмінні від 0, то такому рівнянню відповідає пряма у = -х, що проходить через початок координат (мал. 55).

Мал. 55

Мал. 56

Мал. 57

Якщо коефіцієнт а = 0, а b≠ 0, то рівнянню відповідає пряма у = -, яка паралельна осі абсцис (мал. 56).

Якщо b = 0 і а ≠ 0, то такому рівнянню відповідає пряма х = -, яка паралельна осі ординат (мал. 57).                        

Якщо а = 0, b = 0 і с = 0, то рівняння ах + bу + с = 0 задовольняє кожна точка координатної площини.

Якщо ж а = 0, b = 0 і с ≠ 0, то таке рівняння не задовольняють координати жодної точки.

Рівність у = kх + b — рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

де а — кут, який утворює пряма з додатним напрямом осі ОХ.

Якщо прямі ₁ і ₂ задані рівняннями у = k₁х + b₁ і у = k₂х + b₂, то:

1) ₁тоді й тільки тоді, коли k₁ = k₂ і р₁≠ р₂;

2)₁₂ тоді й тільки тоді, коли k₁∙k₂ = -1.

 = 

— це рівняння прямої, що проходить через дві точки А(x₁; y₁) і B(х₂, y₂).

Існує відмінність, але жодного протистояння, між теорією і практикою: теорія залежить від практики, а практика повинна передувати теорії. На землі немає нічого більш вражаючого за людину і нічого більш особливого за людський розум.

ВІЛЬЯМ РОВЕН ГАМІЛЬТОН(1806-1865)

• Видатний ірландський математик, фізик, астроном.

• Один із найвідоміших світових математиків XIX століття.

• Його праці вирізняються глибиною думки та оригінальністю методів з притаманним їм знаком геніальності.

У багатьох своїх винаходах він випередив своїх сучасників. Його фундаментальні відкриття у математиці стосуються комплексних чисел, кватерніонів, векторного числення та векторного аналізу, теорії диференціальних рівнянь тощо.

Одне з розв’язань головоломки Гамільтона «Навколо світу»