Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 Вектори на площині

§ 7 Вектори

Багато фізичних величин, таких, як сила, швидкість, прискорення, характеризуються не лише числовими значеннями, а й напрямами. Наприклад, щоб охарактеризувати рух якого-небудь тіла, не достатньо сказати, що воно рухається зі швидкістю 10 метрів за секунду, треба вказати і напрям його руху. На дорогах обов’язкові напрями руху визначають дорожні знаки (мал. 58).

Мал. 58

Величини, які характеризуються не лише числовими значеннями, а й напрямами, називають векторними, а значення векторних величин — векторами. Вектори найчастіше зображуються напрямленими відрізками.

Напрямлений відрізок — це відрізок із вказаним напрямом. Один із його кінців вважається початком, другий — кінцем. На малюнку напрям зображується стрілкою. Якщо A і B — початок і кінець напрямленого відрізка, його позначають так:  (мал. 59). Іноді напрямлені відрізки позначають і малими буквами:  тощо.

Відстань між початком і кінцем — довжина напрямленого відрізка. Її називають також модулем, або довжиною вектора , і позначають ||або ||. Зображати вектори напрямленими відрізками зручно, бо такі зображення наочні. На малюнку 60 чотири напрямлені відрізки зображають найважливіші сили, які діють на літак у польоті: — сила тяги,  — підіймальна сила,  — сила опору повітря,  — сила тяжіння.

Мал. 59

Мал. 60

Зауваження. Вектор і напрямлений відрізок, який зображає цей вектор, — не одне й те саме. Однак для спрощення викладу далі замість словосполучень «вектор, зображений напрямленим відрізком » і «напрямлений відрізок, що зображає вектор » будемо писати коротше: «вектор ».

Два вектори називають колінеарними, якщо вони розміщені на одній прямій або на паралельних прямих.

Колінеарні вектори можуть бути співнапрямленими, тобто однаково напрямленими (мал. 61), або протилежно напрямленими (мал. 62).

Співнапрямлені вектори позначають знаком ↑↑, а протилежно напрямлені — знаком . Наприклад, на малюнку 63: ↑↑, а .

Мал. 61

Мал. 62

Мал. 63

Протилежно напрямлені вектори з рівними модулями називають протилежними векторами (мал. 64).

Два вектори називають рівними, якщо вони співнапрямлені і мають рівні модулі (мал. 65). Записують:  = .

Мал. 64

Мал. 65

Якщо модуль вектора дорівнює 1, його називають одиничним вектором.

Напрямленими відрізками зображають тільки ненульові вектори. Крім них, існує й нульовий вектор, який не має ні довжини, ні напряму. Його позначають символом  або  тощо. Геометрично нульовий вектор можна уявити таким, кінець якого збігається з початком. Нульовий вектор вважається колінеарним з будь-яким іншим вектором. Модуль нульового вектора вважається рівним нулю.

Від будь-якої точки можна відкласти вектор, який дорівнює даному вектору, і лише один. Відкласти вектор від точки X — це означає накреслити напрямлений відрізок  такий, що  = . Нехай дан о вектор  і точку X. Покажемо, як від точки X відкласти вектор , який дорівнює вектору .

1.   Якщо точка X лежить на прямій а, яка містить вектор (мал. 66, а), то від точки X потрібно відкласти відрізок XY, довжина якого дорівнює довжині вектора . Напрям вектора  збігається з напрямом вектора  (мал. 66, б).

Мал. 66

2. Якщо точка X не лежить на прямій а, яка містить вектор  (мал. 67, а), то через точку X потрібно провести пряму bпаралельну прямій а, і від точки X відкласти відрізок ХYдовжина якого дорівнює довжині вектора . Напрям вектора збігається з напрямом вектора  (мал. 67, б).

3. Якщо , то шуканим вектором буде вектор .

Мал. 67

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Одним і тим самим словом «вектор» часто називають різні поняття, бо вектори бувають вільні, прикладені та інші. Вільний вектор визначається тільки довжиною і напрямом, а прикладений — довжиною, напрямом і точкою прикладання. Два рівні за довжиною і однаково напрямлені відрізки позначають один і той самий вільний вектор (мал. 68).

Два прикладені вектори, позначені рівними за довжиною й однаково напрямленим и відрізками, не завжди рівні (мал. 69). Силу не можна замінити силою 1, бо одна з них обертає шків в одному напрямі, а друга — у протилежному.

Фізики частіше використовують прикладені вектори і зображають їх прямолінійними стрілками, бо такі зображення наочні. У математиці розглядають лише вільні вектори і задають їх не лише стрілками, а й парами точок, парами чисел тощо.

Мал. 68

Мал. 69

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Які величини називають векторними?

2. Наведіть приклади векторних величин.

3. Як зображають і позначають вектори?

4. Які вектори називають колінеарними?

5. Які вектори називають рівними? А протилежними?

6. Що називають модулем вектора?

7. Який вектор називають одиничним? А нульовим?

Виконаємо разом

Доведіть, що якщо середини відрізків АС і BD збігаються, то  = .

Нехай М — спільна середина відрізків АС і BD. Якщо дані відрізки не лежать на одній прямій, то чотирикутник АВСD — паралелограм (мал. 70). Протилежні сторони паралелограма паралельні й рівні. Тому  = . Якщо дані відрізки лежать на одній прямій, то вони можуть бути розташовані, як показано на малюнку 71.

Мал. 70

Мал. 71

У кожному з цих випадків напрямлені відрізки  мають рівні довжини і однакові напрями. Отже, завжди  = .

АВСD — квадрат (мал. 72). Чи рівні вектори і  ? А вектори  і  (М і N — середини сторін АВ і ВC)?

Вектори  і не рівні. Хоч вони і мають однакові довжини, але напрями у них різні.

МN — середня лінія ∆АВC, тому МN͡ АC, а це означає, що МN͡ АО і МN = 0,5 АC = АО.

Отже, вектори  і — співнапрямлені і мають рівні довжини, тому  =  .

Мал. 72

Задачі і вправи

Виконайте усно

231. Які з векторів, зображених на малюнку 73:

а) колінеарні;

б) співнапрямлені;

в) протилежно напрямлені?

232. Точка О — середин а відрізка АВ. Чи колінеарні вектори  і  ? А вектори  і ? Чи рівні ці вектори?

233. Трикутник АВС — рівносторонній. Чи рівні вектори  і ?

Мал. 73

Мал. 74

234. АВCD — квадрат. Чи рівні вектори  i ,  i  ?

235. Які з векторів, зображених на малюнку 74:а)колінеарні; б) співнапрямлені; в) протилежно напрямлені? Визначте довжини цих векторів, прийнявши довжину сторони квадратика за 1. Чи є серед них рівні вектори? А протилежні?

236. На малюнку 75 зображено два рівні рівносторонні трикутники AFB і BDC, у яких точки A, B і лежать на одній прямій. Відомо, що  =  = . Яке з наведених нижче тверджень є правильним?

а)  = ;   

б)  = ;   

в)  = ;

г)  = ;

ґ)  = ;

д)  = .

Мал. 75

237. Накресліть два напрямлені відрізки, розміщені:

а) на одній прямій;

б) на паралельних прямих;

в) на перпендикулярних прямих.

238. Накресліть напрямлені відрізки АВ і АС завдовжки 2 см і 3 см відповідно, якщо вектори а) неколінеарні; б) співнапрямлені; в)протилежно напрямлені.

239. Накресліть два вектори, які мають рівні довжини і: а) неколінеарні; б) співнапрямлені; в) протилежно напрямлені. У якому випадку вектори рівні? А протилежні?

240. АВСD — прямокутник. Чи є рівні вектори серед векторів  ? Які з даних векторів мають рівні довжини?

241. Дано точки А(2; 5) і В(-2; 2). Побудуйте вектор . Знайдіть довжини векторів  і . Чи рівні ці вектори?

242. Накресліть ненульовий вектор  та точки М, N Р. Відкладіть від цих точок вектори, що дорівнюють вектору .

243. АВСD — ромб. Відкладіть вектор, що дорівнює , від: а) точки С; б) середини сторони ВС; в) середини діагоналі АС.

244. АВСD — паралелограм. Доведіть рівність векторів  і .

245. Доведіть, що АВСD — паралелограм, якщо  = .

246. Використовуючи малюнок 76, установіть відповідність між векторами, заданими умовами (1-4), та векторами (А-Д).

1 Вектор, що дорівнює 

2 Вектор, протилежний 

3 Вектор, співнапрямлений з

4 Вектор, колінеарний 

А

Б

В

Г

Д

Мал. 76

247. Трикутник АВС — рівнобедрений, АВ = ВС (мал. 77). М, N К — середини його сторін. Запишіть усі вектори, зображені на малюнку. Які з цих векторів: а) колінеарні; б) рівні; в) протилежні?

248. Дано точки А(2; 3) і В(-1; 6). Побудуйте вектор . Відкладіть від початку координат вектор, який дорівнює вектору: а) ; б) . Відкладіть ці ж вектори від точки Р(-3; 2).

249. Дано точки М(2; 2) і N(6; 5). Побудуйте довільний вектор , який: а) дорівнює вектору ; б) дорівнює вектору ; в) співнапрямлений з вектором і || = 2||; г) не є колінеарним до вектора  і || = 0,5 ||.

250. Побудуйте прямокутник АВСD, площа якого дорівнює 30 см2, а периметр 22 см. Зобразіть і випишіть чотири пари рівних векторів, позначивши точку перетину діагоналей О. Які їх довжини?

251. О — точка перетину діагоналей прямокутника ЕНРК, ЕН = 6 см, НР = 8 см. Знайдіть довжини векторів  і . Чи є серед цих векторів рівні?

Мал. 77

252.  Встановіть вид чотирикутника АВСD, якщо  =  і || = |.

253.  Встановіть вид чотирикутника АВСD і зобразіть його, якщо:

а) вектори  і — колінеарні, а  і  — ні;

б)вектори  і — протилежні;

в)вектори  і  — співнапрямлені та || = ||.

Практичне завдання

254. Вибравши масштаб, накресліть вектори, які зображають політ літака спочатку на 300 км на південь від міста А до В, а потім на 500 км на схід від міста В до С. Накресліть вектор  і знайдіть його довжину двома способами. Порівняйте отримані значення. Як можна інтерпретувати вектор і його довжину?

Задачі для повторення

255. Напишіть рівняння кола радіуса 3 см із центром у точці А(-1; 3).

256. Знайдіть периметр і площу трикутника АВС, заданого координатами його вершин А(-2; 5), В(5; 6), С(1; 2).

257. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 14 см і 48 см. Знайдіть довжину найкоротшої медіани.

258. Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 12 см, а його площа 48 см2. Знайдіть відстані від точки перетину діагоналей паралелограма до його сторін.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Вектори у спорті та дозвіллі






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.