Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 Вектори на площині

§ 8 Координати вектора

Вектори можна задавати різними способами. Розглянемо, як це можна зробити за допомогою координат. Координатами вектора  з початком А(х1; у1) і кінцем В(х2; у2) називають числа х = х2- х1 і у = у2 - у1. Записують такий вектор, вказуючи його координати:  = (х; у), або  = (х; у), або = (х2 -х1; у2 -у,). Наприклад, якщо дано точки А(1; 3) і В(7; -2), то  = (6; - 5). Числа 6 і -5 — координати вектора (мал. 78). Вектор , початок якого — точка O(0; 0), а кінець — С(6; -5), має такі самі координати. Якщо О — початок координат, а числа х і у — координати точки А, то ці самі числа є також координатами вектора (мал. 79).

Мал. 78

Мал. 79

Координати вектора можуть бути будь-якими дійсними числами. Якщо обидві координати вектора — нулі, його називають нульовим вектором (позначають . Нагадаємо, що це — єдиний вектор, який не має певного напряму і якому не відповідає напрямлений відрізок.

Якщо два рівні вектори (співнапрямлені й однакових довжин) відкласти від початку координат, то їх кінці збігатимуться. Отже, вектори рівні тоді й тільки тоді, коли їх відповідні координати рівні.

Відповідні координати протилежних векторів — протилежні числа.

Модуль вектора з координатами х і у дорівнює . Це випливає з формули відстані між двома точками (§ 4). Отже, якщо вектор  = (х; у), то його модуль

|.

Якщо точка А(х1; у1) — початок, а B2; у2) — кінець вектора, то його модуль

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Впорядкована пара чисел, впорядкована пара точок, що визначають початок і кінець руху, напрямлений відрізок — усе це різні моделі поняття «вектор». Такий підхід до розуміння вектора обумовлений історично. Розвиток векторного числення відбувався різними шляхами: геометричним (числення напрямлених відрізків), фізичним (дослідження векторних величин) і алгебраїчним (розширення поняття числа і операцій). Числення напрямлених відрізків розвивали К. Вессель, Л. Карно.

Серед вітчизняних вчених геометричний напрям у формуванні теорії векторного числення представляв професор Київського університету В. Єрмаков. 1887 р. в Києві він видав роботу «Теорія векторів на площині. Застосування до дослідження конічних перерізів».

Векторні величини стосовно проблем механіки досліджували Д. Валліс, Л. Пуансо, А. де Сен-Венан.

Алгебраїчний напрям розвивали У. Гамільтон, Д. Максвелл. Одним із перших вітчизняних вчених, який побудував теорію векторів на алгебраїчній основі, був професор Київського університету П. Ромер.

Використовуючи координати, можна досить просто досліджувати властивості фігур не тільки площини (простору двох вимірів), а й тривимірного, чотиривимірного і взагалі n-вимірного простору. Вектори тривимірного простору, про які ви дізнаєтеся в старших класах, визначаються трьома координатами  = (х; у; z), вектори чотиривимірного простору — чотирма координатами  = (а; b; с; d) тощо.

Василь Єрмаков (1845-1922)

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Що називають координатами вектора?

2. Як знайти координати вектора, якщо відомі координати його початку і кінця?

3. Що таке модуль вектора? Як знайти модуль вектора, заданого координатами?

4. Які координати має нульовий вектор?

5. Сформулюйте умову рівності векторів, заданих у координатній формі.

6. Які координати мають протилежні вектори?

Виконаємо разом

Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(-4; 1), В(-1; 2), С(5; 0), D(2; -1) — паралелограм. Знайдіть його периметр.

Знайдемо координати век торів  і .

 = (-1 + 4; 2 -1) = (3; 1), = (5 - 2; 0 +1) = (3; 1).

Координати векторів рівні, отже, ці вектори рівні,  = . А з цього випливає, що АВ͡  DC і АВ = DC. Тоді, за ознакою, АВСD — паралелограм. Знайдемо його периметр.

і

Тоді

Дано точки К(2; 2), Р(3; -1), Т(2; 8). Знайдіть координати точки М(х; у) такої, що  = .

Нехай М(х; у). Знайдемо координати векторів:  = (х - 2; у - 8), = (1; -3). Вектори рівні, якщо їх відповідні координати рівні. Тому:

звідки

Отже, М(3; 5).

Задачі і вправи

Виконайте усно

259. Дано точки А(1; 3), B(2; -4), С(-3; 5), D(-2; -7), O(0; 0). Вкажіть координати векторів .

260. Назвіть вектори, зображені на малюнку 80. Модуль якого з них найбільший? А найменший?

261. Знайдіть координати векторів, зображених на малюнку 80.

Мал. 80

Мал. 81

262. На малюнку 81 зображені три рівні за довжиною колінеарні вектори. Відомо, що  = (2; 3). Знайдіть:

а) координати вектора ;

б) координати точки А.

263. Знайдіть ||, якщо:

а)  = (1; 1);

б)  = (3; 4);

в)  = (-6; 8);

г)  = (2; 2).

264. Вкажіть координати векторів  і , якщо:

а) А(0; 0), В(-2; 2);        

б) А(0; 1), В(4; 1);

в) А(1; 0), В(0; 2);

г) А(1; 1), В(-2; 6).

265. Дано точки А(2; 4), В(-1; 0), С(8; -6), D(-3; -4), O(0; 0). Побудуйте вектори . Знайдіть їх координати і модулі.

266. Дано точки А(-1; 3), В(4; 2), С(-3; -1), D(2; -2). Знайдіть координати векторів . Чи є серед них рівні вектори?

267. Знайдіть координати векторів, зображених на малюнку 82, та їх модулі.

268. Відкладіть від початку координат вектори  = (1;5),  = (5;1),  = (3; - 4),  = (-2; - 2).

269. Відкладіть вектори  = (2;4) і  = = (3; -1) від точок O(0; 0), А(-4; 2), В(-2; -3), С(5; 0).

270. Знайдіть модуль вектора, якщо його координати х і у відповідно дорівнюють:

а) 5 і 12;         

б) -3 і 4;

в) 1 і 7;

г) -6 і -8.

271. Дано вектори  = (5; 3),  = (-4; 6),  = (3; - 2). Знайдіть координати векторів .

272. Дано точки М(1; 3), N(7; 5), К(5; -1). Знайдіть координати векторів  та їх модулі. Встановіть вид трикутника МNК.

273. Чи буде чотирикутник АВСD паралелограмом, якщо:

а) А(1; 3), В(4; -1), С(2; -3), D(-1; 1);

б) А(-3; 0), В(-1; 2), С(2; 1), D(1; -1)?

Мал. 82

274. АВ — медіана трикутника з вершинами А(2; 3), В(4; 5), С(7; 3). Знайдіть координати вектора .

275. Дано точки А(а1; а2), В(b1; b2), С(а1 + k; а2 + р), D(b1k; b+ р).

Чи рівні вектори  і  ? А вектори  і ?

Мал. 83

276. АВСD — ромб (мал. 83). Знайдіть координати векторів , якщо AС = 8, ВD = 4.

277. Відкрита задача. Дано точки А(2; 5), В(-1; 1), С(4; 1), D(1; 5). Знайдіть координати та довжини векторів ... .

278. Знайдіть координати точки В, якщо:

а)  = (1;3) і А(2; 5);

б)  = (-2; 7) і М(-5; 3);

в)  = (-11; - 4) і Р(1; 5);

г)  = (1; -6) і D(-10; 2).

279. Знайдіть координати четвертої вершини паралелограма, зображеного на малюнку 84.

Мал. 84

280. При якому значенні х модуль вектора  дорівнює 10, якщо:

а)  = (6; х);

б)   = (х -1; 6);

в)   = (х; х + 2);

г)   = (х + 2; 3х - 4) ?

281. При якому значенні m вектори   і  рівні, якщо:

а)   = (4; m2),  = (4; m);

б)   = (m-1; 16),   = (3; m2);

в)   = (12; - 4 - 2m),  = (12; m2 - 3)?

Практичне завдання

282. Навчальне дослідження.

1. Знайдіть координати векторів , якщо:

а) А(-1; 3), В(2; 4), С(-2; -1), D(-5; -2);

б) А(5; 0), В(4; -3), С(-2; -1), D(-1; 2);

в) А(5; -2), В(1; 3), С(2; 5), D(6; 0).

Результати для кожного з випадків а)-в) запишіть у таблицю. Яку залежність можна побачити? Сформулюйте гіпотезу.

   

 + 

а)

х

       

y

       

2. Виконайте аналогічне завдання для інших точок:

а) А(4; 3), В(2; 4), С(-2; -1), D(5; -2);

б) А(0; 5), В(-3; 4), С(-1; -2), D(2; -1);

в) А(5; -2), В(1; 3), С(2; 5), D(6; 0).

Чи підтвердилася висунута вами гіпотеза?

3. Зобразіть у системі координат задані у попередніх завданнях точки. Встановіть вид кожного чотирикутника. Зробіть висновок.

Задачі для повторення

283. Відомо, що  = . Доведіть: а) точки А, В і С лежать на одній прямій; б) точка В — середина відрізка АС.

284. М, N, Р — середини сторін АВ, ВС, АС різностороннього трикутника АВС. Доведіть: а)  = ; б)  = .

285. Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо різниця катетів дорівнює 2 см, а найменша медіана дорівнює 5 см.

286. Установіть відповідність між малюнками (1-4) і формулами (А-Д), які можна використати для визначення зображеного на відповідному малюнку кута АМВ.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.