Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 Вектори на площині

§ 9 Додавання і віднімання векторів

Вектори, як і числа, можна додавати і віднімати. Сумою векторів  = (х1; у1) і   = (x2; у2) називають вектор

 +  = ( x1 x2y1 + у2).

Наприклад, якщо  = (3; 2),  = (-1; 4), то  +  = (3 - 1; 2 + 4) = (2;6).

Для будь-яких векторів  справджуються переставний і сполучний закони додавання:

 +  =  + ,

 + ( +   ) = ( + ) +  .

Доведемо переставний закон. Якщо  = (Х1; у1) і  = (Х2; у2), то  +  = (Х1 + Х2; у1 + у2) і  +  = (Х2 + Х1; у2 + у1).

Оскільки Х1 + Х2 = Х2 + Х1 і у1 + у2 = у2 + у1, бо для дійсних чисел справджується переставний закон додавання, то і

 +  =  + .

Сполучний закон можна довести аналогічно. Геометрично суму двох векторів можна знайти за правилом трикутника.

Які б не були вектори  і , завжди  +  =  (мал. 85).

Мал. 85

Мал. 86

Справді, для будь-яких трьох точок А(х1; у1), B2; у2), С(х3; У3)

= (x2 - х1; у- у1), = (х3- x2; у3- у2),  = (х3- х1; у3- у1).

Тому  +  = (x2 - x1 + x3 - х2; у2 - y1 + y3 - у2) =(х3 - x1у3- у1) =

Щоб додати два вектори за правилом трикутника, потрібно розмістити ці вектори послідовно, тобто так, щоб початок другого вектора збігався з кінцем першого. Сумою векторів буде вектор, початок якого збігається з початком першого вектора, а кінець — з кінцем другого.

Наприклад, щоб додати вектори  і , зображені на малюнку 86, потрібно від довільної точки відкласти вектор , а від кінця вектора відкласти вектор . Сумою цих векторів буде вектор , початок якого збігається з початком , а кінець — з кінцем .

Суму векторів можна знаходити і за правилом паралелограма. У цьому випадку вектори потрібно розмістити так, щоб вони виходили з однієї точки, і на цих векторах, як на сторонах, побудувати паралелограм.

Якщо АBСD — паралелограм, то  +  =  (мал. 87).

Додавання векторів

Мал. 87

Мал. 88

Мал. 89

Адже в цьому випадку  = , тому  +  +  = .

Щоб додати два колінеарні вектори, їх розміщують послідовно. Сумою векторів буде вектор, початок якого збігається з початком першого, а кінець — з кінцем другого. На малюнку 88 показано, як знайти суму векторів, якщо вони співнапрямлені, а на малюнку 89 — якщо вектори протилежно напрямлені.

Із правила додавання колінеарних векторів випливає, що сума протилежних векторів дорівнює , тобто  + (-  ) =  і  +  = .

Різницею векторів  і  називають такий вектор , який у сумі з вектором  дає вектор . Якщо  = ( x1; у1) і = (х2; у2), то  - = ( x1 - х2; у1 - у2).

Адже (  -  = ( x1 - х2 + х2; у- у2 + у2) = (х1; у1 ) = .

Які б не були вектори  i , завжди  (мал. 90), бо за правилом трикутника .

Мал. 90

Щоб знайти різницю двох векторів, потрібно розмістити вектори так, щоб вони виходили з однієї точки. Різницею векторів буде вектор, початок якого збігається з кінцем другого вектора, а кінець — з кінцем першого, тобто вектор, який іде від кінця другого вектора до кінця першого.

Можна користуватися й іншим правилом. Щоб знайти різницю векторів  і , треба до вектора а додати вектор -, протилежний даному вектору  (мал. 91). Завжди правильні рівності:

 -  =  +  =  + (-).

Мал. 91

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Додавати можна не тільки два вектори, а й три, чотири тощо. Які б не були точки A, B, C, D, завжди  + +  = .

Довести таку рівність можна, скориставшись сполучи им законом додавання векторів:

 +  +   = (+) +  =   = .

Подібним способом можна довести, що  +  +  =  тощо. Іншими словами, яка б не була ламана AВС ... КР, ++ ...+  = .

Такі рівності правильні не тільки для ламаних однієї площини, а й для простору. Наприклад, якщо вектори розташовані і на ребрах паралелепіпеда (мал. 92), то  +1 + 1111 = 1.

Для знаходження суми кількох векторів користуються правилом многокутника.

Щоб додати вектори за правилом многокутника, потрібно розташувати ці вектори послідовно. Сумою векторів буде вектор, початок якого збігається з початком першого, а кінець — з кінцем останнього.

Наприклад, щоб додати вектори, зображені на малюнку 93, а, потрібно їх розмістити послідовно (мал. 93, б). Сумою векторів буде вектор т, який сполучає початок першого вектора з кінцем останнього. Векторні доданки можна переставляти.

Мал. 92

Мал. 93

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Що називають сумою двох векторів?

2. Як знайти суму двох векторів, заданих у координатній формі?

3. Сформулюйте правило трикутника для додавання векторів.

4. Сформулюйте правило паралелограма для додавання векторів.

5. Як знайти суму колінеарних векторів?

6. Чому дорівнює сума протилежних векторів?

7. Як знайти різницю векторів  і ?

Виконаємо разом

image1

Мал. 94

Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці О (мал. 94). Чому дорівнює сума векторів  і ?

Вектори  і  протилежні, тому їх сума дорівнює . Протилежні також вектори  і . Тому  +  +  +  =  = .

На малюнку 95, а зображено вектори  і . Побудуйте вектор  +  - .

Перший спосіб. Побудуємо суму векторів і . Отримаємо вектор  + , від якого віднімемо вектор  (мал. 95, б).

Отримаємо вектор   +  - .

Другий спосіб. Накреслимо спочатку вектор -, протилежний даному вектору . Потім побудуємо суму векторів  і -(мал. 95, в). Шуканий вектор  =  +(-).

image2

Мал. 95

Задачі і вправи

Виконайте усно

287. Знайдіть суму та різницю векторів:

а)  = (2; 3) і  = (-1; 4);        

б)  = (-2; 4) і  = (3; - 2);

в) = (1; 0) і = (-3; - 5);

г) = (3; - 5) і  = (0; 0).

288. Дано вектори = (2; - 3) і  = (-4; 1). Знайдіть координати векторів   +  -  -  +  - .

289. Знайдіть суму векторів:

а)  + ;

б)  + ;

в)  +  + .

290. Знайдіть різницю векторів:

а)  - ;

б)  - ;

в) -.

291. АВСD — паралелограм, у якого  =  =  (мал. 96). Виразіть через вектори  і  вектори ,,,.

Мал. 96

292.  Знайдіть суму векторів:

а) = (4; 2) і  = (1; 7);

б) = ( 8; -1) і  = ( 0; 0);

в)  = (-6; 8) і  = (-2; - 9);

г) =( ; 2) і =(1;7).

293. Знайдіть суму векторів:

а)  + ;        

б)  +  +  + .

294. Дано точки O(0; 0), А(а1; а2) і В(b1b2). Виразіть через їх координати суми:

а)  + ;                

б)  + ;

в)  + .

295. Знайдіть різницю векторів:

а) = (9; 5) і = (б; 2);           

б) = (1; 7) і  = (4; - 4);

в)=(8; - 6) і ;

г)і= (-2; 7).                      

296. Знайдіть різницю векторі:

а)  - ;                 

б)  - ;

в)  - .

297. АВСD — паралелограм. Знайдіть різницю векторів:

а) ;                  

б).

298. Знайдіть , ||, ||, | + | , | - | , якщо:

а) = (2; 3),  = (4; 5);          

б)= (-1; 3),  = (4; 1);

в)=(6; - 2),  = (6; - 3);       

г)=(-4; 2), = (-2; 6).

299. Знайдіть суму векторів, зображених на малюнку 97.

Мал. 97

300. Знайдіть різницю векторів, зображених на малюнку 98.

Мал. 98

301. Відкладіть від початку координат вектори  = (3; 2) і  = (-4; 3). Побудуйте вектори:

а) =   + ;

б)  =  - ;

в)  =  + ;

г)   - .

302. Накресліть два довільні вектори і переконайтеся у справедливості переставного закону додавання векторів, додаючи ці вектори за правилом: а) трикутника; б) паралелограма.

303. Накресліть три довільні вектори і, додаючи їх, переконайтеся у справедливості сполучного закону додавання векторів.

304. Знайдіть х, якщо сума векторів  = (2; 7) і  = (3; х) дорівнює вектору:

а)  = (5; 10);      

б)  = (5; - 4).

305. Знайдіть х і у, якщо сума векторів  = (6; у) і  = (х; 7) дорівнює вектору:

а)  = (-1; 8);       

б)  = (8; -1).

306. Доведіть векторну рівність:

а)  -  =  + ;

б)  = .

307. Дано вектори (мал. 99). Побудуйте вектори:

а)  +  + ;

б)  +  +  + ;

в)  + ;

г) +  -  - ;

ґ)  -  - d + .

308. Спростіть вирази:

а) + (-);

б)- + ;

в) + -;

г) +  +  -;

ґ)  – + – +.

Мал. 99

309. Діагоналі паралелограма АBСD перетинаються в точці О. Побудуйте вектори:

а)  + ;

б)  + ;

в)  - ;

г)  - .

310. Чи правильно, що завжди || + || ≥ ||?

311. Дано вектори  = (2; -3),  = (-1; 4),  = (6; - 2),  = (х; у). При яких значеннях х і у виконується рівність:

а) +  =  - ;

б) +  =  + ;

в)  +  +  =  - ;

г)  +  =  -  +?

312. Дано точки А(2; 3), B(-1; 5). Знайдіть координати точки С(х; у) такої, що:

а)  +  = ;

б)  -  = .

313. Дано точки А(-4; -2), B(2; 6), С(х; у). Знайдіть геометричне місце точок площини, для яких виконується рівність:

а) | + | = ||;

б) | - | = ||;

в) ||=||.

Практичне завдання

314. На малюнку 100 показано, як можна геометрично знайти суму чотирьох векторів  +  +  + . Переконайтесь, що від перестановки доданків сума не змінюється. Скільки сум із різних послідовностей чотирьох таких доданків можна утворити?

Мал. 100

Задачі для повторення

315. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках М(-3; -2), N(-2; 1), Р(4; -1), К(3; -4) — паралелограм.

316. Дано точки А(-2; 1), В(1; 3),С(5; 3). Знайдіть координати точки B(х; у) такої, що: а)  = ; б)  = .

317. Середня лінія рівнобічної трапеції дорівнює . Знайдіть площу трапеції, якщо її діагоналі взаємно перпендикулярні.

318. Чи можна накрити прямокутний трикутник з катетами 8 см і 10 см кругом радіуса 7,5 см? А радіуса 8,5 см?






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.