Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 Вектори на площині

§ 10 Множення вектора на число

Добутком вектора = ( х; у) на число п називають вектор n = ( nх; nу). Наприклад, якщо = (4; 3), то 5 = (20; 15), -2 = (-8; - 6), 0 = (0;0). Із наведеного означення випливає, що:

1) для будь-яких векторів , і числа n: n ( + ) = n + n ;

2) для будь-яких чисел n, m і вектора : (n + m) = n + m ;

3) для будь-яких чисел n, m і вектора : n (m ) = (nm) .

Доведемо перше твердження. Нехай = (х ₁; у ₁) і = (x ₂; у ₂).

Тоді + = (x ₁ + х ₂; у ₁ + у ₂); n( + ) = (nх ₁ + nх ₂; nу ₁ + nу ₂);        (1)

n + n = (nх ₁; nу ₁) + (nх ₂; nу ₂) = (nх ₁ + nх ₂; nу ₁ + nу ₂).  (2)

Праві частини рівностей (1) і (2) рівні, тому й ліві частини теж рівні:

n( + ) = n + n .

Подібним способом можна довести й інші твердження. Якщо число n натуральне, то

Наприклад, 3 = + + . Довжина вектора 3 в 3 рази більша за довжину вектора (якщо ≠ 0). Напрями векторів 3 і -3 протилежні (мал. 101).

Взагалі добутком n є вектор, довжина якого дорівнює |n | = |n|-| |, а напрям збігається з напрямом вектора , якщо n> 0, і протилежний йому, якщо n< 0.

Якщо n = або = , то n = 0. Тому, щоб побудувати вектор n , потрібно:

1) відкласти вектор, колінеарний вектору , довжина якого дорівнює |n| ∙ | |;

2) вибрати такий напрям, як і у вектора , якщо n > 0, і протилежний до нього, якщо n < 0.

Мал. 101

Мал. 102

Наприклад, на малюнку 102 зображено вектори, отримані при множенні вектора на числа 2; -3; 0,5.

При множенні вектора на число отримуємо вектор, колінеарний даному. Тобто якщо = n , то і колінеарні. І навпаки, якщо вектори і колінеарні, то, позначивши відношення їх довжин через |n|, отримаємо, що = n . Тому має місце така ознака колінеарності двох ненульових векторів.

Вектори і колінеарні тоді й тільки тоді, коли існує таке число n, що = n .

Якщо вектори задані координатами, тобто = (с ₁; у ₁) і = (c ₂; у ₂), то вони колінеарні тоді й тільки тоді, коли їх відповідні координати пропорційні: = .

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Вектори ₁= (1; 0) і ₂= (0; 1) називають ортами, або координатними векторами. Будь-який вектор = (х; у) можна подати у вигляді

= х ₁+ у ₂.

Справдi, = (х; у) = (х; 0) + (0; у) = х(1; 0) + у(0; 1) = х ₁+ у ₂.

Таке представлення вектора а називають розкладанням даного вектора за координатними векторами.

Його геометричний зміст зрозумілий з малюнка 103. Будь-який вектор можна розкласти за координатними векторами, і тільки одним способом.

Часто виникає потреба розкласти даний вектор за двома даними неколінеарними векторами і , тобто знайти такі числа m і n, щоб виконувалась рівність = m + n Нехай, наприклад, вектор = (1; 4) треба розкласти за векторами

= (2; -3) і = (-1; 2).

Знайдемо числа m і n такі, щоб виконувалась рівність = m + n .

m = (2m; -3m); n = (-n; 2n),

m + n = (2m - n; - 3m + 2n).

Шукані числа m і n знайдемо із системи рівнянь:

Отже, = 6 + 11 .

Мал. 103

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Що називають добутком вектора на число?

2. Сформулюйте властивості множення вектора на число.

3. Чи зміниться напрям вектора, якщо його помножити на: а) додатне число; б) від’ємне число; в) нуль?

4. Сформулюйте ознаку колінеарності двох ненульових векторів.

5. Як, знаючи вектор , побудувати вектор n ?

Виконаємо разом

Дано вектори = (-2;3) і = (4; 1). Знайдіть | |, якщо = 3 - 2 .

Знайдемо координати векторів З і 2 : 3 = 3 (-2; 3) = (-6;9) ; 2 = = 2(4; 1) = (8; 2). Тоді = (-6; 9) - (8; 2) = (-14; 7), звідки

| | = = = = 7 .

Отже, | |= 7 .

М — точка перетину медіан трикутника АВС. Доведіть, що + + = .

Медіани АА ₁, ВВ ₁, СС ₁ трикутника АВС точкою перетину М діляться у відношенні 1 : 2. Відкладемо вектор = 2 ∙ ₁ (мал. 104). Вектори і мають рівні довжини і протилежно напрямлені, тому + = . Чотирикутник ВМСК — паралелограм, тому за прав илом паралелограма + = . Отже, + + = + = ..

Мал. 104

Задачі і вправи

Виконайте усно

319. Спростіть вирази: а) + + + ;

б) 3 + 5 ;

в) 2(3 + 4 ) - 6 .

320. Помножте вектор = (-3; 5): на 2; на 3; на -7; на 1,2; на .

321. Знайдіть довжини векторів 2 і -2 , якщо = (3; 4).

322. Вектори, зображені на малюнку 105, отримали при множенні вектора на деяке число. Знайдіть це число.

Мал. 105

323. Чи колінеарні вектори:

а) = (4; 6) і = (2; 3);

б) = (1; 5) і = (5; 1);

в) = (-1; 1) і = (-1; 1);

г) = (2; - 5) і = (-1; 2,5) ?

324. АВСD— паралелограм (мал. 106). Знайдіть число k таке, щоб виконувалась рівність:

= к ; = к ; = k ; = к ; = к ; = к ; = k .

Мал. 106

325. Дано вектори = (2; - 3) і = (-6; 1). Знайдіть координати вектора , якщо:

а) = 2 + 3 ;

б) = + ;

в) = 5 + 7 ;

г) = + .

326. Спростіть вирази:

а) 2 + 3 + 5 - 4 + ;

б) 2( - 3 ) - 3 (2 + );

в) 2( + 2 ) -3( - 4 )-(2 + -5 );

г) 1,2 - 0,3 (4 - 2 + 3 ) - 0,1 .

327. Для векторів, зображених на малюнку 107, побудуйте вектори:

328. Знайдіть модуль вектора , якщо = (-4; 2), = (6; - 6) і:

Мал. 107

329. Знайдіть число k та координати вектора , якщо = k , | | = 10, = (3; 4).

330. Вектор = (2; 0) задає швидкість течії річки. Власна швидкість човна у 2 рази більша. Зобразіть вектори, що задають: а) швидкість човна за течією; б) швидкість човна проти течії. Знайдіть швидкості, з якими човен рухався за течією і проти течії.

331. Дано точки А(-1; 3), B(-2; 7), С(2; 5), D(4; 1). Чи колінеарні вектори і ? А вектори і ?

332. При якому значенні m вектори і колінеарні:

а) = (2; m), = (3; 12);

б) = (m; - 4), = (1; 3);

в) = (m; 12), = (3; m);

г) = (m +1; 2), = (4; m - 1) ?

333. Точки М, М, Р ділять відрізок АВ на чотири рівні частини (мал. 108). = . Виразіть через вектори , , , , , .

Мал. 108

Мал. 109

334. АВСD — паралелограм (мал. 109), М — середина ВС. Виразіть через вектори = і = вектори , , , .

335. Дано вектор = (-2; 7) і точку М(1; -4). Знайдіть координати точки М, для якої:

а) = 2 ;

б) = .

336. Для векторів, зображених на малюнку 110, побудуйте вектори = 2 + ; = - + 3 ; = + 2 ; n = 2 ( - );

= (3 + 2 )

Мал. 110

337. Знайдіть координати векторів і , якщо = (2;3).

338. АВСD — прямокутник (мал. 111), = = , = = .

Виразіть через вектори і вектори , , , , , , , де М і N — середини сторін ВС і СВ.

Мал. 111

Мал. 112

339. Відкрита задача. АВСD — прямокутник (мал. 112). О — точка перетину його діагоналей. Точки М і N — середини сторін АD і СD. Виразіть вектори … через вектори = і = .

340. Знайдіть координати одиничного вектора, колінеарного вектору = (-5; 12).

341. Знайдіть координати вектора , співнапрямленого з вектором = (6; - 8), якщо | | = 5.

342. Установіть відповідність між зображеними на малюнку 113 векторами (1-4) і колінеарними до них векторами з координатами (А-Д).

Мал. 113

343. Знайдіть довжини векторів: = 3 ₁ + 4 ₂, = 5 ₁ + 5 ₂, = 2 ₁ - 4 ₂, = -2 ₁ -4 ₂.

344. Дано вектори = (2; - 3), = (5;9) і = (5;7). Знайдіть такі числа і , щоб виконувалась рівність = + .

345. Розкладіть вектор = (2; 5) за векторами:

а) = (1; - 3) і = (-2;5);

б) = (-2;3) і = (3; - 6).

Практичне завдання

346. Перемалюйте малюнок 114 в зошит і відкладіть на ньому:

а) точку X таку, що: = + ;

б) точку Y таку, що: = - ;

в) точку Z таку, що: = 2 . Встановіть вид чотирикутників МРNY і ХYZМ.

Мал. 114

Задачі для повторення

347. Чи рівні вектори і якщо А(2;5), В(1; -3), М(-7,5; 1,2), N(-8 ; 3 )?

348. Спростіть вираз + - + ( - ) + .

349. Дано вектори = (-2; 4) і = (4; - 4). На скільки модуль різниці цих векторів більший за модуль їх суми?

350. Задача Архімеда. Якщо з точки, що лежить поза колом, провести дві січні так, що одна з них проходить через центр кола, а зовнішній відрізок іншої дорівнює радіусу кола, то кут між січними дорівнюватиме третині більшої з дуг, що знаходиться між його сторонами. Доведіть.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Орнаменти і вектори

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити