Розділ 2 Вектори на площині

§ 10 Множення вектора на число

Добутком вектора  = ( х; у) на число п називають вектор n  = ( nх; nу). Наприклад, якщо  = (4; 3), то 5= (20; 15), -2= (-8; - 6), 0 = (0;0). Із наведеного означення випливає, що:

1) для будь-яких векторів ,  і числа n: n (+ ) = n+ n;

2) для будь-яких чисел n, m і вектора : (n + m)  = n+ m;

3) для будь-яких чисел n, m і вектора : n (m) = (nm) .

Доведемо перше твердження. Нехай  = (х₁; у₁) і  = (x₂; у₂).

Тоді  +  = (x₁ + х₂; у₁ + у₂); n(+ ) = (nх₁ + nх₂; nу₁ + nу₂);                                                                                (1)

n+ n = (nх₁; nу₁) + (nх₂; nу₂) = (nх₁ + nх₂; nу₁ + nу₂).                 (2)

Праві частини рівностей (1) і (2) рівні, тому й ліві частини теж рівні:

n(+ ) = n+ n.

Подібним способом можна довести й інші твердження. Якщо число n натуральне, то

Наприклад, 3= + + . Довжина вектора 3в 3 рази більша за довжину вектора  (якщо ≠ 0). Напрями векторів 3і -3 протилежні (мал. 101).

Взагалі добутком n є вектор, довжина якого дорівнює |n| = |n|-||, а напрям збігається з напрямом вектора , якщо n> 0, і протилежний йому, якщо n< 0.

Якщо n = або  = , то n= 0. Тому, щоб побудувати вектор n, потрібно:

1) відкласти вектор, колінеарний вектору , довжина якого дорівнює |n| ∙ ||;

2) вибрати такий напрям, як і у вектора , якщо n > 0, і протилежний до нього, якщо n < 0.

Мал. 101

Мал. 102

Наприклад, на малюнку 102 зображено вектори, отримані при множенні вектора  на числа 2; -3; 0,5.

При множенні вектора  на число отримуємо вектор, колінеарний даному. Тобто якщо  = n, то і  колінеарні. І навпаки, якщо вектори  і  колінеарні, то, позначивши відношення їх довжин через |n|, отримаємо, що  = n. Тому має місце така ознака колінеарності двох ненульових векторів.

Вектори і  колінеарні тоді й тільки тоді, коли існує таке число n, що  = n.

Якщо вектори задані координатами, тобто  = (с₁; у₁) і  = (c₂; у₂), то вони колінеарні тоді й тільки тоді, коли їх відповідні координати пропорційні: = .

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Вектори ₁= (1; 0) і ₂= (0; 1) називають ортами, або координатними векторами. Будь-який вектор  = (х; у) можна подати у вигляді

 = х₁+ у₂.

Справдi, = (х; у) = (х; 0) + (0; у) = х(1; 0) + у(0; 1) = х₁+ у₂.

Таке представлення вектора а називають розкладанням даного вектора за координатними векторами.

Його геометричний зміст зрозумілий з малюнка 103. Будь-який вектор можна розкласти за координатними векторами, і тільки одним способом.

Часто виникає потреба розкласти даний вектор  за двома даними неколінеарними векторами  і , тобто знайти такі числа m і n, щоб виконувалась рівність  = m + n Нехай, наприклад, вектор  = (1; 4) треба розкласти за векторами

  = (2; -3) і  = (-1; 2).

Знайдемо числа m і n такі, щоб виконувалась рівність  = m + n.

m= (2m; -3m); n = (-n; 2n),

m + n= (2m - n; - 3m + 2n).

Шукані числа m і n знайдемо із системи рівнянь:

Отже,  = 6 + 11.

Мал. 103

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Що називають добутком вектора на число?

2. Сформулюйте властивості множення вектора на число.

3. Чи зміниться напрям вектора, якщо його помножити на: а) додатне число; б) від’ємне число; в) нуль?

4. Сформулюйте ознаку колінеарності двох ненульових векторів.

5. Як, знаючи вектор , побудувати вектор n ?

Виконаємо разом

Дано вектори = (-2;3) і = (4; 1). Знайдіть ||, якщо  = 3- 2.

Знайдемо координати векторів З і 2: 3 = 3 (-2; 3) = (-6;9) ; 2= = 2(4; 1) = (8; 2). Тоді  = (-6; 9) - (8; 2) = (-14; 7), звідки

|| = = =  = 7.

Отже, ||= 7.

М — точка перетину медіан трикутника АВС. Доведіть, що  +  +  = .

Медіани АА₁, ВВ₁, СС₁ трикутника АВС точкою перетину М діляться у відношенні 1 : 2. Відкладемо вектор  = 2 ∙₁ (мал. 104). Вектори  і  мають рівні довжини і протилежно напрямлені, тому  +  = . Чотирикутник ВМСК — паралелограм, тому за прав илом паралелограма  +  = . Отже,  +  +  =  +  = ..

Мал. 104

Задачі і вправи

Виконайте усно

319. Спростіть вирази: а)  +  +  + ;

б) 3 + 5;

в) 2(3 + 4) - 6.

320. Помножте вектор  = (-3; 5): на 2; на 3; на -7; на 1,2; на .

321. Знайдіть довжини векторів 2 і -2, якщо  = (3; 4).

322. Вектори, зображені на малюнку 105, отримали при множенні вектора  на деяке число. Знайдіть це число.

Мал. 105

323. Чи колінеарні вектори:

а) = (4; 6) і  = (2; 3);

б) = (1; 5) і  = (5; 1);

в)  = (-1; 1) і  = (-1; 1);

г) = (2; - 5) і  = (-1; 2,5) ?

324. АВСD— паралелограм (мал. 106). Знайдіть число k таке, щоб виконувалась рівність:

 = к;  = к; = k; = к;  = к; = к; = k.

Мал. 106

325. Дано вектори  = (2; - 3) і  = (-6; 1). Знайдіть координати вектора , якщо:

а)  = 2+ 3;

б)  =  + ;

в)  = 5 + 7;

г)  =  + .

326.  Спростіть вирази:

а) 2+ 3 + 5- 4 + ;           

б) 2( - 3) - 3 (2+ );

в) 2( + 2) -3( - 4)-(2 +  -5);

г) 1,2 - 0,3 (4 - 2 + 3) - 0,1.

327. Для векторів, зображених на малюнку 107, побудуйте вектори:

328. Знайдіть модуль вектора , якщо  = (-4; 2),  = (6; - 6) і:

Мал. 107

329. Знайдіть число k та координати вектора , якщо = k, || = 10,  = (3; 4).

330. Вектор  = (2; 0) задає швидкість течії річки. Власна швидкість човна у 2 рази більша. Зобразіть вектори, що задають: а) швидкість човна за течією; б) швидкість човна проти течії. Знайдіть швидкості, з якими човен рухався за течією і проти течії.

331. Дано точки А(-1; 3), B(-2; 7), С(2; 5), D(4; 1). Чи колінеарні вектори  і  ? А вектори  і  ?

332. При якому значенні m вектори   і  колінеарні:

а)   = (2; m),  = (3; 12);  

б)   = (m; - 4),  = (1; 3);

в)   = (m; 12),  = (3; m);

г)   = (m +1; 2),  = (4; m - 1) ?

333. Точки М, М, Р ділять відрізок АВ на чотири рівні частини (мал. 108).  =  . Виразіть через   вектори , , , , , .

Мал. 108

Мал. 109

334. АВСD — паралелограм (мал. 109), М — середина ВС. Виразіть через вектори  =  і  =  вектори , , , .

335. Дано вектор   = (-2; 7) і точку М(1; -4). Знайдіть координати точки М, для якої:

а)  = 2;

б)  =.

336. Для векторів, зображених на малюнку 110, побудуйте вектори  = 2 + ; = - + 3;  = + 2; n = 2 (- );

  = (3 + 2)

Мал. 110

337. Знайдіть координати векторів  і , якщо  = (2;3).

338. АВСD — прямокутник (мал. 111),  =  =,  =  = .

Виразіть через вектори  і  вектори , , , , , , , де М і N — середини сторін ВС і СВ.

Мал. 111

Мал. 112

339. Відкрита задача. АВСD — прямокутник (мал. 112). О — точка перетину його діагоналей. Точки М і N — середини сторін АD і СD. Виразіть вектори ... через вектори  =  і  = .

340. Знайдіть координати одиничного вектора, колінеарного вектору  = (-5; 12).

341. Знайдіть координати вектора , співнапрямленого з вектором = (6; - 8), якщо || = 5.

342. Установіть відповідність між зображеними на малюнку 113 векторами (1-4) і колінеарними до них векторами з координатами (А-Д).

1		А	(-3; 3)
2		Б	(-3; -4)
3		В	(0; 3)
4		Г	(3; 0)
		Д	(-3; -3)

Мал. 113

343. Знайдіть довжини векторів:  = 3₁ + 4₂, = 5₁ + 5₂,  = 2₁ - 4₂,  = -2₁ -4₂.

344. Дано вектори  = (2; - 3),  = (5;9) і  = (5;7). Знайдіть такі числа  і , щоб виконувалась рівність  = + .

345. Розкладіть вектор  = (2; 5) за векторами:

а)  = (1; - 3) і  = (-2;5);  

б)  = (-2;3) і  = (3; - 6).

Практичне завдання

346. Перемалюйте малюнок 114 в зошит і відкладіть на ньому:

а) точку X таку, що:  =  + ;

б) точку Y таку, що:  =  - ;

в) точку Z таку, що:  = 2. Встановіть вид чотирикутників МРNY і ХYZМ.

Мал. 114

Задачі для повторення

347. Чи рівні вектори  і якщо А(2;5), В(1; -3), М(-7,5; 1,2), N(-8; 3)?

348. Спростіть вираз  + -  + ( - ) + .

349. Дано вектори  = (-2; 4) і  = (4; - 4). На скільки модуль різниці цих векторів більший за модуль їх суми?

350. Задача Архімеда. Якщо з точки, що лежить поза колом, провести дві січні так, що одна з них проходить через центр кола, а зовнішній відрізок іншої дорівнює радіусу кола, то кут між січними дорівнюватиме третині більшої з дуг, що знаходиться між його сторонами. Доведіть.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Орнаменти і вектори