Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік
Розділ 2 Вектори на площині
§ 10 Множення вектора на число
Добутком вектора
= ( х; у) на число п називають вектор n
= ( nх; nу). Наприклад, якщо
= (4; 3), то 5
= (20; 15), -2
= (-8; - 6), 0
= (0;0). Із наведеного означення випливає, що:
1) для будь-яких векторів
,
і числа n: n (
+
) = n
+ n
;
2) для будь-яких чисел n, m і вектора
: (n + m)
= n
+ m
;
3) для будь-яких чисел n, m і вектора
: n (m
) = (nm)
.
Доведемо перше твердження. Нехай
= (х
1; у
1) і
= (x
2; у
2).
Тоді
+
= (x
1 + х
2; у
1 + у
2); n(
+
) = (nх
1 + nх
2; nу
1 + nу
2); (1)
n
+ n
= (nх
1; nу
1) + (nх
2; nу
2) = (nх
1 + nх
2; nу
1 + nу
2). (2)
Праві частини рівностей (1) і (2) рівні, тому й ліві частини теж рівні:
n(
+
) = n
+ n
.
Подібним способом можна довести й інші твердження. Якщо число n натуральне, то
Наприклад, 3
=
+
+
. Довжина вектора 3
в 3 рази більша за довжину вектора
(якщо
≠ 0). Напрями векторів 3
і -3
протилежні (мал. 101).
Взагалі добутком n
є вектор, довжина якого дорівнює |n
| = |n|-|
|, а напрям збігається з напрямом вектора
, якщо n> 0, і протилежний йому, якщо n< 0.
Якщо n =
або
=
, то n
= 0. Тому, щоб побудувати вектор n
, потрібно:
1) відкласти вектор, колінеарний вектору
, довжина якого дорівнює |n| ∙ |
|;
2) вибрати такий напрям, як і у вектора
, якщо n > 0, і протилежний до нього, якщо n < 0.
Мал. 101
Мал. 102
Наприклад, на малюнку 102 зображено вектори, отримані при множенні вектора
на числа 2; -3; 0,5.
При множенні вектора
на число отримуємо вектор, колінеарний даному. Тобто якщо
= n
, то
і
колінеарні. І навпаки, якщо вектори
і
колінеарні, то, позначивши відношення їх довжин через |n|, отримаємо, що
= n
. Тому має місце така ознака колінеарності двох ненульових векторів.
Вектори
і
колінеарні тоді й тільки тоді, коли існує таке число n, що
= n
.
Якщо вектори задані координатами, тобто
= (с
1; у
1) і
= (c
2; у
2), то вони колінеарні тоді й тільки тоді, коли їх відповідні координати пропорційні:
=
.
ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ
Вектори
1= (1; 0) і
2= (0; 1) називають ортами, або координатними векторами. Будь-який вектор
= (х; у) можна подати у вигляді
= х
1+ у
2.
Справдi,
= (х; у) = (х; 0) + (0; у) = х(1; 0) + у(0; 1) = х
1+ у
2.
Таке представлення вектора а називають розкладанням даного вектора за координатними векторами.
Його геометричний зміст зрозумілий з малюнка 103. Будь-який вектор можна розкласти за координатними векторами, і тільки одним способом.
Часто виникає потреба розкласти даний вектор
за двома даними неколінеарними векторами
і
, тобто знайти такі числа m і n, щоб виконувалась рівність
= m
+ n
Нехай, наприклад, вектор
= (1; 4) треба розкласти за векторами
= (2; -3) і
= (-1; 2).
Знайдемо числа m і n такі, щоб виконувалась рівність
= m
+ n
.
m
= (2m; -3m); n
= (-n; 2n),
m
+ n
= (2m - n; - 3m + 2n).
Шукані числа m і n знайдемо із системи рівнянь:
Отже,
= 6
+ 11
.
Мал. 103
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Що називають добутком вектора на число?
2. Сформулюйте властивості множення вектора на число.
3. Чи зміниться напрям вектора, якщо його помножити на: а) додатне число; б) від’ємне число; в) нуль?
4. Сформулюйте ознаку колінеарності двох ненульових векторів.
5. Як, знаючи вектор
, побудувати вектор n
?
Виконаємо разом
Дано вектори
= (-2;3) і
= (4; 1). Знайдіть |
|, якщо
= 3
- 2
.
Знайдемо координати векторів З
і 2
: 3
= 3 (-2; 3) = (-6;9) ; 2
= = 2(4; 1) = (8; 2). Тоді
= (-6; 9) - (8; 2) = (-14; 7), звідки
|
| =
=
=
= 7
.
Отже, |
|= 7
.
М — точка перетину медіан трикутника АВС. Доведіть, що
+
+
=
.
Медіани АА
1, ВВ
1, СС
1 трикутника АВС точкою перетину М діляться у відношенні 1 : 2. Відкладемо вектор
= 2 ∙
1 (мал. 104). Вектори
і
мають рівні довжини і протилежно напрямлені, тому
+
=
. Чотирикутник ВМСК — паралелограм, тому за прав илом паралелограма
+
=
. Отже,
+
+
=
+
=
..
Мал. 104
Задачі і вправи
Виконайте усно
319. Спростіть вирази: а)
+
+
+
;
б) 3
+ 5
;
в) 2(3
+ 4
) - 6
.
320. Помножте вектор
= (-3; 5): на 2; на 3; на -7; на 1,2; на
.
321. Знайдіть довжини векторів 2
і -2
, якщо
= (3; 4).
322. Вектори, зображені на малюнку 105, отримали при множенні вектора
на деяке число. Знайдіть це число.
Мал. 105
323. Чи колінеарні вектори:
а)
= (4; 6) і
= (2; 3);
б)
= (1; 5) і
= (5; 1);
в)
= (-1; 1) і
= (-1; 1);
г)
= (2; - 5) і
= (-1; 2,5) ?
324. АВСD— паралелограм (мал. 106). Знайдіть число k таке, щоб виконувалась рівність:
= к
;
= к
;
= k
;
= к
;
= к
;
= к
;
= k
.
Мал. 106
325. Дано вектори
= (2; - 3) і
= (-6; 1). Знайдіть координати вектора
, якщо:
а)
= 2
+ 3
;
б)
=
+
;
в)
= 5
+ 7
;
г)
=
+
.
326. Спростіть вирази:
а) 2
+ 3
+ 5
- 4
+
;
б) 2(
- 3
) - 3 (2
+
);
в) 2(
+ 2
) -3(
- 4
)-(2
+
-5
);
г) 1,2
- 0,3 (4
- 2
+ 3
) - 0,1
.
327. Для векторів, зображених на малюнку 107, побудуйте вектори:
328. Знайдіть модуль вектора
, якщо
= (-4; 2),
= (6; - 6) і:
Мал. 107
329. Знайдіть число k та координати вектора
, якщо
= k
, |
| = 10,
= (3; 4).
330. Вектор
= (2; 0) задає швидкість течії річки. Власна швидкість човна у 2 рази більша. Зобразіть вектори, що задають: а) швидкість човна за течією; б) швидкість човна проти течії. Знайдіть швидкості, з якими човен рухався за течією і проти течії.
331. Дано точки А(-1; 3), B(-2; 7), С(2; 5), D(4; 1). Чи колінеарні вектори
і
? А вектори
і
?
332. При якому значенні m вектори
і
колінеарні:
а)
= (2; m),
= (3; 12);
б)
= (m; - 4),
= (1; 3);
в)
= (m; 12),
= (3; m);
г)
= (m +1; 2),
= (4; m - 1) ?
333. Точки М, М, Р ділять відрізок АВ на чотири рівні частини (мал. 108).
=
. Виразіть через
вектори
,
,
,
,
,
.
Мал. 108
Мал. 109
334. АВСD — паралелограм (мал. 109), М — середина ВС. Виразіть через вектори
=
і
=
вектори
,
,
,
.
335. Дано вектор
= (-2; 7) і точку М(1; -4). Знайдіть координати точки М, для якої:
а)
= 2
;
б)
=
.
336. Для векторів, зображених на малюнку 110, побудуйте вектори
= 2
+
;
= -
+ 3
;
=
+ 2
; n = 2 (
-
);
=
(3
+ 2
)
Мал. 110
337. Знайдіть координати векторів
і
, якщо
= (2;3).
338. АВСD — прямокутник (мал. 111),
=
=
,
=
=
.
Виразіть через вектори
і
вектори
,
,
,
,
,
,
, де М і N — середини сторін ВС і СВ.
Мал. 111
Мал. 112
339. Відкрита задача. АВСD — прямокутник (мал. 112). О — точка перетину його діагоналей. Точки М і N — середини сторін АD і СD. Виразіть вектори … через вектори
=
і
=
.
340. Знайдіть координати одиничного вектора, колінеарного вектору
= (-5; 12).
341. Знайдіть координати вектора
, співнапрямленого з вектором
= (6; - 8), якщо |
| = 5.
342. Установіть відповідність між зображеними на малюнку 113 векторами (1-4) і колінеарними до них векторами з координатами (А-Д).
1 |
|
А |
(-3; 3) |
2 |
|
Б |
(-3; -4) |
3 |
|
В |
(0; 3) |
|
4 |
|
Г |
(3; 0) |
Д |
(-3; -3) |
Мал. 113
343. Знайдіть довжини векторів:
= 3
1 + 4
2,
= 5
1 + 5
2,
= 2
1 - 4
2,
= -2
1 -4
2.
344. Дано вектори
= (2; - 3),
= (5;9) і
= (5;7). Знайдіть такі числа
і
, щоб виконувалась рівність
=
+
.
345. Розкладіть вектор
= (2; 5) за векторами:
а)
= (1; - 3) і
= (-2;5);
б)
= (-2;3) і
= (3; - 6).
Практичне завдання
346. Перемалюйте малюнок 114 в зошит і відкладіть на ньому:
а) точку X таку, що:
=
+
;
б) точку Y таку, що:
=
-
;
в) точку Z таку, що:
= 2
. Встановіть вид чотирикутників МРNY і ХYZМ.
Мал. 114
Задачі для повторення
347. Чи рівні вектори
і
якщо А(2;5), В(1; -3), М(-7,5; 1,2), N(-8
; 3
)?
348. Спростіть вираз
+
-
+ (
-
) +
.
349. Дано вектори
= (-2; 4) і
= (4; - 4). На скільки модуль різниці цих векторів більший за модуль їх суми?
350. Задача Архімеда. Якщо з точки, що лежить поза колом, провести дві січні так, що одна з них проходить через центр кола, а зовнішній відрізок іншої дорівнює радіусу кола, то кут між січними дорівнюватиме третині більшої з дуг, що знаходиться між його сторонами. Доведіть.
ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС
Орнаменти і вектори