Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 Вектори на площині

§ 11 Скалярний добуток векторів

Досі ми множили вектори на число. Виявляється, можна множити і вектор на вектор. Оскільки розглядають таке множення, при якому добуток двох векторів дорівнює числу (скаляру), то його називають скалярним добутком. Для введення цього поняття пояснимо спочатку, що розуміють під кутом між двома ненульовими векторами.

Кутом між двома ненульовими векторами називають кут між відповідними їм напрямленими відрізками, які виходять з однієї точки. Кут між протилежно напрямленими векторами дорівнює 180°, а між співнапрямленими — 0°.

Наприклад, якщо ABC— рівносторонній трикутник (мал. 115), то кут між векторами ABі ACдорівнює 60°, а між AB і BC— 120°, бо кут між векторами ABі BCдорівнює куту між векторами BD і BC.

Скалярним добутком двох ненульових векторів називають добуток модулів цих векторів на косинус кута між ними.

Якщо кут між векторами  і дорівнює , то їх скалярний добутокl∙ ll cos.

Якщо хоч один із двох векторів нульовий, їх добуток дорівнює нулю.

Мал. 115

ТЕОРЕМА 4

Скалярний добуток векторів = (х1; у1) і = (х2; у2) дорівнює x1x2y1y2.

Приклад 1. Якщо = (2; -1) і = (1;0), то = 2 ∙1 + (-1)∙ 0 = 2.

Ця теорема дуже важлива. Її застосовують для розв’язування багатьох абстрактних і прикладних задач.

Розглянемо основні властивості скалярного добутку.

Якими б не були вектори  = (х1; у1) , = (x2; у2) і  = (x3; у3), завжди:

Справедливість цих властивостей випливає з тотожностей:

Доведені властивості дають можливість порівняно легко виконувати перетворення векторних виразів — за тими самими правилами, за якими виконують тотожні перетворення алгебраїчних виразів.

Знаючи скалярний добуток двох векторів та їх довжини, можна легко обчислити косинус кута між ними:

cos= ∙lll.

Якщо скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю, то cos = 0 і  = 90°, тобто вектори і  перпендикулярні. І навпаки, якщо два ненульові вектори перпендикулярні, тобто  = 90°, то cos = 0. За цієї умови скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю.

Отже, маємо умову перпендикулярності двох векторів.

Два ненульові вектори перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Якщо вектори задані координатами, то умова перпендикулярності двох векторів формулюється так:

Ненульові вектори = (x1; у1) і = (х2y2) перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли х1х2 + у1у2 = 0.

Скалярний добуток позначають 2 і називають скалярним квадратом вектора .

За означенням скалярного добутку = || ∙ || ∙ cos 0° = ||2. Отже, 2 = ||2, тобто скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля. Звідси випливає, що || = 2.

Розглянемо приклад.

Приклад 2. Знайдемо | l, якщо || = 2, |l= 3, () = 30°.

Оскільки

Отже, ll = 7.

Приклад застосування скалярного добутку векторів відомий з фізики. Механічна робота Aяку виконує стала сила при переміщенні (мал. 116), дорівнює скалярному добутку даних векторів:

= ll ∙ ll ∙ cos.

Скалярний добуток векторів використовується і в алгебрі, зокрема для доведення нерівностей, визначення найменшого чи найбільшого значення функції (див. с. 96).

Мал. 116

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Кут між ненульовими векторами  і  позначають символом (). Тому означення скалярного добутку таких векторів записують у вигляді формули

 = | |∙ cos().

Чому говорять «скалярний добуток векторів», а не «добуток векторів»? Бо у вищій математиці розглядається ще векторний, косий та інші добутки.

Косим добутком векторів  і  називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів і синуса орієнтованого кута між першим і другим векторами. Косий добуток векторів  і  позначають символом °.

Векторним добутком векторів  і , кут між якими дорівнює , називають такий вектор , що його напрям перпендикулярний до напрямів векторів  і , орієнтація трійки векторів  збігається з орієнтацією базисної трійки векторів і || = | |∙ sin . Тому, взагалі кажучи, для таких добутків переставний закон не справджується. Векторний добуток векторів і  позначають символом  х .

Мішаним добутком  трьох векторів називають їх векторно-скалярний добуток:

 = (x).

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте означення скалярного добутку двох векторів.

2. Сформулюйте означення кута між двома векторами.

3. Чому дорівнює скалярний добуток векторів = (х1; у1) і  = (x2; у2)?

4. Чому дорівнює скалярний добуток векторів, якщо принаймні один із них нульовий?

5. Яка умова перпендикулярності двох векторів?

6. Як знайти довжину вектора ?

Виконаємо разом

Знайдіть косинус кута між векторами = (1; - 2) і = (-4;2).

 Нехай () = . За означенням = ||||cos. Тому

Отже, cos = -  .

Знайдіть ( + 2 )(3 - ), якщо || = || = 2, ( ) = 60°.

Задачі і вправи

Виконайте усно

351. АВСD — ромб зі стороною l і кутом А = 60° (мал. 117). Знайдіть:

а) кути між векторами:  і і ; і і  і  і і  і і ;

б) скалярні добутки векторів .

Мал. 117

352. Знайдіть кут між двома одиничними векторами, якщо їх скалярний добуток дорівнює: ; 0; 1; -0,5; - .

353. Знайдіть скалярний добуток векторів  і , якщо:

а)  = (0; 1), = (-3; 0);    

б)  = (1; 1),  = (2; 3);

в)  = (6; 0), = (-2; - 5);

г)  = (4; 2),  = (4; - 2).

354. У трикутнику АВС А= 50°, АС = 90°. Знайдіть кути між векторами: а)  і б)  і ; в)  і .

355. Знайдіть скалярний добуток векторів:

а)  = (1; 2) і  = (-8; 2);

б)  = (-3; -2) і  = (2;3 );

в)  = (-3; - 7) і = (-2; - 5);

г)  = (4; -2) і  = (2; 3).

356. Дано вектори = (1; -5) і  = (3; 1). Знайдіть скалярний добуток векторів: а)  =  +  та  =  - ;

б)  =  + 2 та  = 3 - .

357. Знайдіть косинус кута між векторами і , якщо:

а)  = (1; 2),  = (3; 1);      

б)  = (2; 6),  = (3; 0);

в)  = (-4; - 8),  = (-3; 3);

г)  = (-3; - 4),  = (3; -1).

358. Знайдіть кут між векторами:

а)  = (-2; 2) і  = (0; 4);    

б)  = (1; 1) і  = (0; -1);

в) = (3; -1) і  = (2; 1);

г)  = (0;2) і = (;).

359. Доведіть, що:

а) трикутник з вершинами в точках A(2; 1), B(0; 5), С(8; 4) — прямокутний;

б) чотирикутник з вершинами в точках A(-3; 1), В(-1; 4), С(5; 0), D(3; -3) — прямокутник.

360. Знайдіть скалярний добуток векторів  і , якщо:

а) || = 5, || = 12, () = 60°;  

б) || = 3, || = 3л/2, () = 45°;

в) || = 1, || = 7, () = 120°;  

г) || = || = 4, () = 150°.

361. Трикутник AВС — рівносторонній, АВ = 12.

Знайдіть: а) ; б) .

362. При якому значенні х вектори  і  перпендикулярні, якщо:

а)  = (0; 1),  = (-3; х);          

б)  = (1; 1),  = (х; 3);

в)  = (6; х),  = (-2; - 5);

г)  = (х; 2),  = (4; - 2) ?

363. Знайдіть косинуси кутів трикутника АВС, якщо:

а) А(-4; 1), В(4; 2), С(-2; -2);

б) А(-1; 5), В(1; 1), С(5; 3).

364. Дано точки А(-4; 0) і В(3; 3). Під яким кутом відрізок АВ видно з початку координат?

365. Дано точки: А(1; 1), В(1; 2), С(-2; 2), В(-3; 1). Знайдіть кут між векторами  і .

366. Дано три точки: А(-5; 2), В(1; 4), С(-1; 1). Знайдіть координати точки такої, щоб виконувалася умова , якщо точка D лежить: а) на осі ОХ; б) на осі ОY.

367. Дано вектори = (3; 4) і = (-1; 2). Знайдіть число , при якому вектор  +  перпендикулярний до вектора .

368. При якому значенні m скалярний добуток   дорівнює 6, якщо:

а)  = (2; 3)  = (; 4);

б)  = (m; 1)  = (; -3)

в)  = (2m; -11),  = ().

369. Доведіть: а) якщо довжини ненульових векторів  і  рівні, то вектори  +  і  -  перпендикулярні; б) якщо вектори  +  і  -  перпендикулярні, то довжини ненульових векторів  і  рівні.

370. Дано || = || = 1, () = 60°. Знайдіть скалярний добуток векторів:

а) 2∙ ( + );                  

б) ( + ) ( - 2);

в) ( + 3)( - );

г) (2 +  ) (3 - ).

371. Обчисліть кут між векторами  =  - 2 і  =  + 3, де  і  — одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

372. Обчисліть | + | та |-|, якщо:

а) || = || = 1, ;       

б) || = 2, || = 5, ;

в) || = || = 1, () = 60°;

г) || = 3, || = 4, ( ) = 120°.

373. Обчисліть  |-|  якщо || = 13, || = 19, | + |= 24.

Практичне завдання

374. Перемалюйте у зошит малюнок 118. Знайдіть кути мі ж векторами  і  і  і  і  двома способами:

а) безпосереднім вимірюванням, відклавши попарно ці вектори від початку координат;

б) за допомогою формули, визначивши попередньо координати кожного вектора.

Мал. 118

Задачі для повторення

375. Від точки A(2; -5) відкладено вектори  і . Знайдіть координати:

а) точки B, якщо  = (1; 3);

б) точки C, якщо = (-3; 4);

в)одиничного вектора, співнапрямленого з вектором .

376. Старовинна німецька задача. Драбина завдовжки 13 футів приставлена до стіни так, що нижня її частина віддалена від стіни на 5 футів. На скільки спуститься вона по стіні, якщо її основу відсунути ще на 7 футів.

Дослідіть, як змінюватиметься положення верху драбини, якщо нижню частину драбини відсовувати від заданого положення на а футів.

377. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить медіану, проведену до основи, на відрізки 10 см і 8 см. Обчисліть периметр і площу трикутника.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.