Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 Вектори на площині

§ 12 Застосування векторів

Якщо розв’язують задачу, використовуючи властивості векторів, то це — векторний метод розв’язування задачі. При цьому часто використовують таке твердження.

ТЕОРЕМА 5

Якщо X — довільна точка, а М — середина відрізка АВ або точка перетину медіан трикутника АВС, то відповідно =(+) або   =( + +).

ДОВЕДЕННЯ.

Завжди істинні рівності:+ = + = + = .

Додавши дві перші з цих рівностей і врахувавши, що  +  = (мал. 119), дістанемо: 2 =  + , звідки ХМ = ( + ).

Мал. 119

Мал. 120

Якщо додамо всі три рівності і врахуємо, що  +  (див. мал. 104 і задачу на с. 83), дістанемо: 3 =  +  + , звідки (+ + ) (мал. 120).

Для прикладу розв’яжемо векторним методом задачу, яку раніше було розв’язано координатним методом (див. с. 26).

Мал. 121

Задача 1. Доведіть, що середини відрізків, які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника, збігаються.

Розв’язання. Якщо М і М1 — середини відрізків ЕF і КР (мал. 121), а X — довільна точка (її тільки уявляємо), то

Праві частини цих рівностей рівні, тому  = 1.

А це можливо тільки тоді, коли точки М і М1 збігаються.

Багатьом властивостям геометричних фігур відповідають ті чи інші векторні рівності.

1.  =  — точки А і В збігаються;

2.  = к — прямі АВ і CD паралельні;

3.  = k — точки А, В, С лежать на одній прямій;

4.  = 0 — пряміАВ і СD перпендикулярні;

5.  = , а числа m і n додатні — точка М ділить відрізок АВ у відношенні АМ : МВ = m : n;

6.  = || ||соs — один із кутів, утворених прямими, на яких лежать вектори  і , дорівнює .

Користуючись цими співвідношеннями, можна розв’язувати багато геометричних задач та доводити теореми.

Вектори часто застосовують у фізиці. Але здебільшого — прикладені вектори, які визначаються не тільки довжиною і напрямом, а й точкою прикладання.

Задача 2. Вантаж вагою Pперебуває на похилій площині, нахиленій до горизонту під кутом а (мал. 122). Яку треба прикласти силу Fспрямовану в напрямі найбільшого підйому площини, щоб вантаж не скочувався вниз?

Розв’язання. Силу тяжіння Pрозкладемо за двома взаємно перпендикулярними напрямами: Сила перпендикулярна до площини і не спричиняє переміщення вантажу. Його скочування викликає сила , модуль якої дорівнює P sinа. Її утримує протилежна їй сила . Отже, P sin а.

Мал. 122

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Першу частину теореми 5 можна узагальнити (мал. 123).

Мал. 123

ТЕОРЕМА 6

Якщо точка М ділить відрізок АВ у відношенні АМ : МВ = m : m, а X — будь-яка точка площини, то =  + .

ДОВЕДЕННЯ.

Оскільки  + = + = , то n + n = nmm = m.      

Якщо додати почленно ці вектори і рівності і врахувати, що n + m = , то дістанемо (m + n = n + n, звідки

 = +.

Якщо m = nто  =  ( + ).

Вектори можна застосовувати не тільки в геометрії, а й при розв’язуванні алгебраїчних задач. Особливо зручно це робити при доведенні нерівностей і знаходженні найбільшого і найменшого значень функції або виразу.

Наприклад, знайдемо найбільше значення функції у  + . Її область визначення D(y= [0; 2].

Введемо вектори  = (1; 1) і = (;). Тоді дану функцію можна записати у вигляді у = адже 1 ∙+ 1∙. Оскільки || = + 1  = l| = + 2 - x = , то у = = ||∙|l cos = cos = 2 cos.

Найбільше значення cos дорівнює 1. Тому найбільше значення функції y= 2.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Що називають векторним методом розв’язування задач?

2. Які векторні формули вам відомі?

3. Як мовою векторів записати, що: а) прямі паралельні; б) прямі перпендикулярні; в) точки збігаються; г) точки лежать на одній прямій?

4. Чи можна застосовувати векторний метод до задач, умови яких не містять векторів? Наведіть приклади.

Виконаємо разом

Напишіть рівняння прямої, яка проходить через точку M(-2; 3)перпендикулярно до прямої ABякщо A(1; 2), B(-4; 5) (мал. 124).

Нехай N(xу) — довільна точка шуканої прямої MN i MNABТоді = 0. Оскільки = (-5; 3), = ( x+ 2; у - 3),

то = -5 (x+ 2) + 3 (у - 3). Тоді -5(x+ 2) +  3(у - 3) = 0, звідки -5x+ 3у  - 17 = 0 або 5x- 3у + 19 = 0. Отже, рівняння шуканої прямої матиме вигляд: 5x- 3у + 19 = 0.

Мал. 124

Знайдіть площу трикутника ABCякщо A(1; 2), B(4; 1), C(3; 3).

 Знайдемо || , || і cos A= (3;-1), тому || =  = (2;1), тому ||= .

Якщо cos A = , то sin A = - cosA = . Знайдемо площу трикутника:

Задачі і вправи

Виконайте усно

378. Що можна сказати про відрізки АВ і СВ, якщо  = 2 ?

379. Встановіть взаємне розміщення точок А, В, С, якщо:

а)  = ;         

б)  = -3.

380. Чи лежать точки А, В, С на одній прямій, якщо:

а)  = 2;         

б)  = -;         

в) || = ||?

381. Встановіть вид чотирикутника АВСD, якщо:

а)  ;           

б)  = 0,3.

382. Встановіть вид трикутника АВС, якщо  = (-2; 3),  = (3; 2).

383. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках М(-4; -2), N(-6; 2), Р(4; 7), К(6; 3) — прямокутник.

384. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(-1; -2), В(-8; 4), С(1; 6), D(8; 0) — ромб.

385. Доведіть, що точки М(1; 3), N(-2; 7), К(-8; 15) лежать на одній прямій. Яка з точок лежить між двома іншими? У якому відношенні вона ділить відрізок?

386. У якому відношенні вісь ОХ ділить відрізок АВ, якщо А(1; 6), В(7; -12)?

387. АМ — медіана трикутника АВС. Знайдіть координати вектора  та його модуль, якщо А(-3; 2), В(1; 1), С(3; 5).

388. Знайдіть координати точки перетину медіан трикутника АВС, якщо А(-7; 12), В(-3; -2), С(4; 5).

389  Напишіть рівняння висот трикутника АВС, якщо А(-1; 2), В(3; 5), С(7; -3).

390. Напишіть рівняння прямої, що дотикається до кола з центром Р(-4; 2) в точці А(1; 4).

391. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо А(2; 1), В(8; 7), С(6; 2).

392. Діагоналі чотирикутника перпендикулярні. Доведіть, що суми квадратів протилежних сторін цього чотирикутника рівні.

393. Нехай К, Р, Т, L — середини сторін АВ, ВС, СDDА довільного чотирикутника. Доведіть, що точки перетину медіан трикутників АРТ і СКL збігаються.

394. Доведіть теорему про середню лінію трапеції.

395. Доведіть, що медіани трикутника перетинаються в одній точці.

396. Доведіть, що коли а, b, с — сторони трикутника, а mс — медіана,проведена до сторони c, то mс.

397. Доведіть, що чотирикутник, у якого діагоналі в точці перетину діляться навпіл, — паралелограм.

398. Відкрита задача. Доведіть теорему ... , використовуючи векторний метод.

399. У трикутнику АВС RС = 90°, А(1; -3), В(-4; -8). Знайдіть координати точки С, якщо відомо, що вони рівні.

400. Напишіть рівняння дотичних, проведених з точки А(1; 1) до кола (х - 4)2 + (у - 2)2 = 5.

401. Знайдіть координати одиничного вектора, колінеарного з бісектрисою кута В трикутника АВС, якщо А(2; 7), В(4; 3), С(8; 1).

402. Дано прямокутник АВСD. Доведіть, що для будь-якої точки М виконується рівність: АМ2 + СМ2 = ВМ2 + DМ2.

403. Доведіть, що пряма, яка проходить через середини основ трапеції, проходить і через точку перетину її діагоналей.

404. АВСD і АВ1С1D1 — паралелограми, точки К,Р, Т — середини відрізків ВВ1, СС1 і DD1.Доведіть, що АК = РТ і АТ = КР (мал. 125).

405. На сторонах АВ, ВС, СА трикутника АВС позначено точки А1, В1, С1, такі, що АА1 = к ∙ АВ, ВВ1 = к ∙ ВС, СС1 = к ∙ СА. Доведіть, що точки перетину медіан трикутників АВС і А1В1С1 збігаються.

406.Знайдіть найбільше значення виразу 3х + 4 і вкажіть х, при якому це значення досягається.

407. Доведіть нерівність  + 2, де р = а + b.

Мал. 125

Практичне завдання

408. Для точок М(-3; 2) і N(5; 4) задайте формулою та зобразіть на координатній площині множину точок О(х; у), які задовольняють умову:

а) МG∙ MN = 0;

б) GМ ∙ GN = 0.

Задачі для повторення

409. Знайдіть скалярний добуток векторів  = 2 -  і  =  + 3, якщо  і  — одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

410. Знайдіть модуль вектора , якщо  = 3 + , де || = || = 2, а кут між ними 60°.

411. Діагоналі трапеції перпендикулярні, і одна з них дорівнює 15 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її висота дорівнює 12 см.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Вектори у фізичних явищах






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.