Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 Вектори на площині

Головне в розділі 2

Векторні величини — ті, які визначаються не тільки числовими значеннями, а й напрямами. Значення векторних величин — вектори. Геометрично вектори (ненульові) зображуються напрямленими відрізками. Напрямлений відрізок має початок і кінець. Відстань між ними — модуль (або довжина) вектора.

Два вектори називають колінеарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки розміщені на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарні вектори бувають співнапрямленими або протилежно напрямленими. Два вектори рівні, якщо вони співнапрямлені і мають рівні модулі. Два вектори називають протилежними, якщо вони мають рівні модулі і протилежно напрямлені.

Координатами вектора з початком А(х1; у1) і кінцем В(х2; у2) називають числа х = х2 - х1 і у = у2 - у1. Записують такий вектор у вигляді  = (х; у), або  = (х; у), або  = (х2 - х1; у2 – у1).

Модуль вектора  = (х; у) позначають символом ||, він дорівнює.

Сумою двох векторів = (х1; у1) і  = (х2; у2) називають вектор  +  = (x1 + х2; у1 + у2). При додаванні векторів справджуються переставний і сполучний закони. Геометрично додавати вектори можна за правилом трикутника (мал. 126, а) або паралелограма (мал. 126, б).

Мал. 126

Завжди правильні векторні рівності +  = + +  = .

Якщо АВСD — паралелограм, то  +  = .

Різницею векторів  = (х1; у1) і  = (х2; у2) називають вектор  -  = (х1 - х2; у1 - у2). Щоб відняти від одного вектора другий, треба до першого додати вектор, протилежний до другого, тобто  -  =  + (-).

Які б не були вектори  і , завжди  -  =  (мал. 127).

Мал. 127

Добутком вектора  = (xy) на число nназивають вектор n= (nxny). Завжди правильні рівності: (nm = n + m і n ( +  ) = n + n.

Скалярним добутком двох ненульових векторів називають добуток модулів цих векторів на косинус кута між ними:

= || ∙|cos .

Косинус кута між векторами і bвизначають за формулою

cos=.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля 2= || або|| =  .

 = к — умова колінеарності векторів  і ;

 = 0 — умова їх перпендикулярності.

У координатній формі:

Якщо = (х1; у1) і  = (х2; у2), то  = х1х2 + у1у2.

Ненульові вектори  = (х1; у1) і  = (х2; у2) перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли х1х2 + у1у2 = 0.

Вектори  = (х1; у1) і  = (х2; у2) колінеарні тоді й тільки тоді, коли їх відповідні координати пропорційні:  = .

Якщо X — довільна точка, а М — середина відрізка АВ або точка перетину медіан трикутника АВС, то відповідно

 = (+) або  = (++).

Багатьом властивостям геометричних фігур відповідають ті чи інші векторні рівності.

1. =  — точки А і В збігаються.

2. = к — прямі АВ і СD паралельні.

3. = к — точки А, В, С лежать на одній прямій.

4. = 0 — прямі АВ і СD перпендикулярні.

5.  = , а числа m і n додатні — точка М ділить відрізок АВ у відношенні АМ : МВ = m : n.

6.  = || ||сов — кут між прямими, на яких лежать вектори  і , дорівнює .

Саме математика передусім захищає нас від обману чуттів і вчить, що одна справа — як насправді побудовані предмети, що сприймаються чуттями, інша — якими вони здаються.

ЛЕОНАРД ЕЙЛЕР(1707-1783)

Видатний швейцарський, російський і німецький математик, фізик, астроном, інженер тощо. Один із найвидатніших математиків XVIII ст.

• У математиці його фундаментальні відкриття стосуються елементарної математики, тригонометрії, теорії чисел, математичного аналізу, диференціальної геометрії, топології.

• Розробив значну частину сучасної термінології.

• Майже в усіх галузях математики та її застосувань є терміни, пов’язані з його ім’ям.

Вплив Ейлера на математику описує висловлювання П. Лапласа: «Читайте Ейлера, читайте Ейлера, він є метром усіх нас».

Пряма Ейлера






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.