Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 3 Розв'язування трикутників

§ 13 Теорема косинусів

Щоб розв’язувати не тільки прямокутні, а й будь-які трикутники, треба знати теореми косинусів і синусів. Для кращого їх розуміння домовимося, що сторони трикутника — це їх довжини, а кути — їх градусні міри. Переважно позначатимемо сторони латинськими буквами а, b і с, а протилежні їм кути (при вершинах А, В, С) — грецькими літерами а,  і .

ТЕОРЕМА

(Косинусів). Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай ABC— довільний трикутник (мал. 128), ABcACbBC= а і A= а. Доведемо, що а2 = bc2- 2bc cos а.

Проведемо висоту BHданого трикутника і знайдемо квадрат сторони а за теоремою Піфагора з ∆BHC.

1)  Якщо а < 90°, то BH c sin а, AH c cos а, CHAC AHbc cos а.

Тоді а2 = BH2CH2= (c sin а)2 + (c cos а)2 = c2sin2а + b- 2bc cos а +  ccos2а = c2(sin a  + cos a) + b2 - 2bc cos а = = c2 + b2 - 2bc cos а. Випадок, коли C — тупий, розгляньте самостійно.

2) Якщо а > 90° (мал. 129), то BHc sin(180° - а) = c sinа, AHc cos(180° - а) = -c cos а,HCACAHb(-c cosа) = c cos а.

Як і в першому випадку: а2 = BH2CH2(c sin а)2 + (c cos а)2 =  c2b2bc cos а.

3) Якщо а = 90° (мал. 130), то ABC прямокутний і cos а = 0. За теоремою Піфагора а2 = b2c2b2+ с2 - 2bc cos а.

Отже, яким би не був кут а трикутника ABC завжди

abc2bc cos а.

Мал. 128

Мал. 129

Мал. 130

Зверніть увагу!

Теорема Піфагора — окремий випадок теореми косинусів. За теоремою косинусів с2 = а2 + b2 - 2ab cos у.

 Якщо ж у = 90°, то cos у = 0 і с2 = а2 + b2.

З формули а2 = b+ с2 - 2bc cos а випливає:

сos а =.

Ця формула дає можливість за даними сторонами трикутника обчислювати його кути. Взагалі теорема косинусів пов’язує чотири елементи трикутника: три сторони трикутника і кут. Тому за цією теоремою завжди можна знайти один із невідомих елементів, якщо відомі інші три.

Використовуючи теорему косинусів, доведемо таку теорему.

ТЕОРЕМА 8

(Властивість діагоналей паралелограма). Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай сторони паралелограма ababа діагоналі — і n(мал. 131). За теоремою косинусів з ∆ABD і ∆ABC відповідно маємо:

m2ab- 2ab cos A,

n2 = a2 + b2 - 2ab cos B.

Оскільки B = 180° - A, а косинуси таких кутів відрізняються тільки знаками, то cos B = -cos A.

Тому m2n2 = 2a2 + 2b2 - 2ab cos A +  2ab cos A = 2a2 + 2b2.

А це й треба було довести.

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Використовуючи теорему косинусів, можна встановити вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний), не обчислюючи його кути. Відомо, що прямий чи тупий кут трикутника лежить проти найбільшої його сторони. Нехай у АВС сторони а, bі найбільша з них — а. У цьому випадку кути В і С гострі, а кут А може бути гострим, прямим або тупим. Щоб це з’ясувати, скористаємося формулою

cos А =.

Якщо b2c2> а2, то cos А > 0, з чого випливає, що A— гострий. Якщо b2c2= а2, то cos А = 0 і A— прямий.

Якщо ж bc2< а2, то cos А < 0 і A, якщо: буде тупим. Отже

b2c2> а2, то A— гострий;

b2c2= а2, то A— прямий;

b2c2< а2, то A— тупий.

Мал. 131

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте теорему косинусів.

2. Покажіть, що теорема Піфагора — наслідок теореми косинусів.

3. Як знайти кути трикутника за відомими його сторонами?

4. Чому дорівнює сума квадратів діагоналей паралелограма?

Виконаємо разом

Знайдіть косинус найменшого кута трикутника, сторони якого 3, 5 і 6. Вкажіть наближене значення міри цього кута.

Найменший кут а лежить проти найменшої сторони. За теоремою косинусів а2 = b2 + c2 - 2bc cos а маємо:

32= 52 + 62 - 2 ∙ 5 ∙ 6 ∙ cos а,

звідси

60 cos а = 52 + 62 - 32 = 52, cos а=  =≈ 0,8667.

За таблицею на форзаці знаходимо: а ≈ 30°.

Знайдіть довжину медіани трикутника зі сторонами 12 см, 14 см і 22 см, проведену до найбільшої сторони.

Мал. 132

Задачі і вправи

Виконайте усно

Нехай у ∆АВС АВ = 12 см, ВС = 14 см, АС = 22 см, ВМ — медіана (мал. 132).

Продовжимо медіану за точку М на відстань МD = ВМ і сполучимо точку D з точками А і С. Чотирикутник АВСD — паралелограм, бо його діагоналі в точці перетину діляться навпіл.

Тоді АС2 + ВD2 = 2(АВ2 + ВС2), тобто 222 + ВD2 = 2(122 + 142), маємо: 484 + ВD2 = 2(144 + 196), звідки ВD2 = 2 ∙ 340 - 484 = 196.

Отже, ВD = 14 см, тоді ВМ = 7 см.

412. Якою буде рівність а2 = b2c2bc cos а, якщо а = 90°?

413. Чому дорівнює кут  в трикутнику ABCякщо:

а) b2= а2 + c2;

б) а = bc?

414. Дві сторони трикутника сталі, а кут між ними збільшується. Доведіть, що при цьому третя сторона збільшується.

Мал. 133

415. Користуючись малюнком 133, виразіть за теоремою косинусів кожну сторону трикутника MNK.

416. Виразіть косинус кожного кута трикутника MNK (мал. 133).

417. Знайдіть суму квадратів діагоналей ромба зі стороною а.

418. Знайдіть суму квадратів діагоналей прямокутника зі сторонами а і b.

419. Знайдіть невідому сторону трикутника АВС, якщо:

а) АВ = 5 см, АС = 8 см, А = 60°; б) АВ = 4 см, ВС = 10 см, В = 120°.

420. Знайдіть невідому сторону трикутника MNK, якщо:

а) MN = 4 см, NК = 2 см, N = 60°;

б) MN = 3 см, MК = 2 см, M = 135°;

в) NК = 2 см, MК = 2 см, К = 30°;

г) MК = 7 см, MN = 8 см, M = 120°.

421. Знайдіть В трикутника АВС, якщо:

а) АВ = 5 дм, ВС = 8 дм, АС = 7 дм;

б) АВ = 8 км, ВС = 7 км, АС = 13 км.

422. Знайдіть косинуси кутів трикутника зі сторонами: а) 5 см, 6 см і 7 см; б) 2 см, 4 см і 5 см.

423. Футбольні ворота АВ мають ширину 8 ярдів (мал. 134). Гравець X забив гол, коли знаходився на відстані 25 ярдів від однієї стійки воріт і 28 ярдів від іншої. Під яким кутом гравець бачить ворота з цього місця?

424. Гострокутним чи тупокутним є трикутник зі сторонами:

а) 3 см, 5 см і 7 см;

б) 5 см, 7 см і 8 см?

425. Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 14 см і 16 см. Знайдіть середній за мірою кут.

426. Знайдіть найбільший кут трикутника зі сторонами 6 см, 10 см і 14 см.

427. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо його сторони дорівнюють 7 см і 3 см, а гострий кут 45°.

428. Діагоналі паралелограма дорівнюють 8см і 16 см, а кут між ними 30°. Знайдіть сторони паралелограма.

429. Сторони паралелограма дорівнюють 13 см і 15 см, а одна з діагоналей дорівнює 14 см. Знайдіть довжину другої діагоналі.

Мал. 134

430. Діагоналі паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а його периметр 26 см. Знайдіть сторони паралелограма.

431. Сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 7 см, а діагоналі пропорційні числам 11 і 7. Знайдіть довжини діагоналей.

432. Сторони трикутника дорівнюють 11 см, 12 см і 13 см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до найбільшої сторони.

433. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 8 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює  см. Знайдіть третю сторону трикутника.

434. У АВС АВ = 6 см, АС = 14 см,В = 120°. Знайдіть ВС.

435. Сторони АС і ВС трикутника АВС відповідно дорівнюють 9 см і 21 см, а А = 60°. Знайдіть АВ.

436. Дві сторони трикутника пропорційні числам 3 і 8 та утворюють кут 60°. Знайдіть периметр трикутника, якщо третя сторона дорівнює 35 см.

437. Сума двох сторін трикутника дорівнює 32 см, а кут між ними — 120°. Знайдіть ці сторони, якщо третя сторона дорівнює 28 см.

438. Довжина хвилинної стрілки годинника дорівнює 6 см, а годинної — 5,2 см. Годинник показує полудень (мал. 135). Через яку найменшу кількість хвилин відстань між кінцями стрілок дорівнюватиме 3,2 см? А 11,2 см?

439. На малюнку 135 зображено непрацюючий годинник, який показує полудень. Довжина хвилинної стрілки цього годинника дорівнює 20 см, а годинної — 17 см. Дитина, граючись, повертає лише хвилинну стрілку. Установіть відповідність між кількістю хвилин (1-4), яку показує за цих умов хвилинна стрілка, і відстанню між кінцями стрілок годинника (А-Д).

Мал. 135

1

10 хв

А  23 см

2

15 хв

Б  19 см

3

25 хв

В  36 см

4

7,5 хв

Г  26 см

   

Д  14 см

440. Один із кутів рівнобедреного трикутника з основою 2 см дорівнює 120°. Знайдіть медіани трикутника.

441. ВМ — медіана трикутника АВС. Знайдіть АВ, якщо АС = 16 см, ВС = 13 см, ВМС = 120°.

442. Медіана, проведена до сторони трикутника завдовжки 32 см, дорівнює 14 см і утворює з цією стороною кут 60°. Знайдіть інші сторони трикутника.

443. У трикутнику медіана і сторона, до якої вона проведена, дорівнюють відповідно 10 см і 30 см. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 64 см.

444. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 10 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює   см. Знайдіть:

а) третю сторону трикутника;

б) найбільший кут трикутника.

445. Сторони трикутника — а, b і с. Доведіть, що медіана, проведена до сторони а, дорівнює

m.

446. У паралелограмі АВСD АD = 8 см, А = 60°, а висота ВН = 2. Знайдіть діагоналі паралелограма.

447. Дві сторони трикутника дорівнюють 4 см і 5 см, а синус кута між ними дорівнює 0,6. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

448. У трапеції АВСD (ВС || АD) АD = 11 см, ВС = 3 см, АС = 6 см, ВD = 10 см. Знайдіть:

а) кут між діагоналями трапеції;

б) косинуси кутів, які утворюють діагоналі з основами трапеції.

449. Відкрита задача. Вийшовши з автобуса, Тетяна і Михайло поспішили додому. Кожен з них рухався прямолінійно, але під кутом один до одного: Тетяна зі швидкістю 6 км/год, а Михайло зі швидкістю 8 км/год. Знайдіть відстань між їх будинками, якщо ... .

450. У прямокутному паралелепіпеді АВСА1В1С1D1 АВ = 12, ВС = 18, ВВ1 = 6.

Знайдіть косинус найбільшого кута трикутника А1ВС1(мал. 136).

451. Доведіть, що в паралелограмі проти більшого кута лежить більша діагональ. Чи правильне обернене твердження?

452. Дві сторони трикутника дорівнюють а і b, а кут між ними а. Знайдіть довжину бісектриси, проведеної з вершини цього кута.

453. ВL — бісектриса трикутника АВС. Знайдіть косинус АВL, якщо АВ = а, ВС b, ВL = .

Мал. 136

Практичне завдання

454. Знайдіть невідомі сторони і кути трикутників, зображених на малюнку 137, використовуючи програму Excel і зразок, поданий на малюнку 138.

Мал. 137

Мал. 138

Задачі для повторення

455. Обчисліть:

а) 2sin 120° + cos 90° · sin 135° - tg 60°;

б) cos 120° - ctg 60° + sin 90° cos 135°.

456. Спростіть вираз:

а) (sin a + cos a)2 + (sin a - cos a)2;

б) sin4 a + cos4 a + 2sin2 a cos2 a - 1.

457. Дано вектори  = (1; - 3) і = (7; 2). Знайдіть скалярний добуток векторів:

а) (і ( - );

б) (2 - )( + 3).

458. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника зі сторонами 25 см, 25 см і 14 см.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.