Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 3 Розв'язування трикутників

§ 14 Теорема синусів

ТЕОРЕМА 9

Діаметр кола, описаного навколо трикутника, дорівнює відношенню сторони трикутника до синуса протилежного кута.

ДОВЕДЕННЯ.

1) Нехай дано гострокутний трикутник ABC, у якого відомі сторона BC = а і протилежний їй кут (мал. 139). Проведемо діаметр BK кола, описаного навколо трикутника, і відрізок КС.

Кут BCK — прямий, бо вписаний і спирається на діаметр; кути К і — рівні, бо вписані і спираються на одну й ту саму дугу BC. Трикутник BCK прямокутний з гіпотенузою BK 2R. Тому BC BK sin К, звідки BC 2R sin K 2R sin A, тобто а = 2R sin A.

2) Якщо кут тупий (мал. 140), то = 180°A. Синуси таких двох кутів рівні: sin (180°- ) = sin A. Тому і в цьому випадку BC BK sin K BK sin (180° - A) = BK sin A, a = 2R sin A.

Мал. 139

Мал. 140

Мал. 141

3) Якщо кут прямий, то він спирається на діаметр (мал. 141), тобто а = 2R 2R sin A, бо синус прямого кута дорівнює 1.

Отже, завжди а = 2R sin A, звідки 2R . Це й треба було довести.

Зверніть увагу!

Використовуючи цю теорему, можна знаходити радіус кола, описаного навколо довільного трикутника, за формулою

R = .

ТЕОРЕМА 10

(Синусів). Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

ДОВЕДЕННЯ.

З попередньої теореми випливає, що

Отже,

А це й означає, що сторони трикутника а, b, с пропорційні синусам протилежних кутів А, В і С.

Теорему синусів використовують для знаходження невідомих сторін трикутника за відомою стороною і двома кутами, а також для знаходження кутів трикутника, якщо відомі дві сторони і кут, який лежить проти однієї з них.

Приклад. Відома сторона трикутника і два кути: а = 27,3 см, В = 43°, С = 75°. Знайдіть дві інші його сторони.

Розв’язання. А = 180°- 43°-75° = 62°.   =,

звідки

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Мал. 142

Теорему синусів можна довести інакше. Наприклад, виразити висоту CH трикутника ABC двома різними способами (мал. 142):

CH b sin A і CH a sin B, звідки

b sin A = a sin B,  =   і т. д.

 Ті, кому відома формула площі трикутника = ab sin C, можуть визначити площу того самого трикутника трьома різними способами:

 ab sin C  bc sin A =  ac sin B,

і кожну частину рівності поділити на 0,5abc. Спробуйте самостійно закінчити кожне з цих доведень.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте теорему синусів.

2. Які задачі можна розв’язувати за теоремою синусів?

3. Чому дорівнює відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута?

4. Чому дорівнює радіус кола, описаного навколо трикутника?

5. Як знайти сторону трикутника, знаючи радіус описаного кола і протилежний кут?

ВИКОНАЄМО РАЗОМ

Знайдіть сторону BC трикутника ABC, якщо AB = 12, = а, = у (мал. 143).

За теоремою синусів для ∆ABC маємо:  =  звідки BC .

Мал. 143

Знайдіть радіус кола, описаного навколо рівнобічної трапеції АВСD, висота якої ВН дорівнює 24 см і ділить більшу основу на відрізки 10 см і 18 см.

Нехай АВСD — рівнобічна трапеція, у якої ВН = 24 см, АН = 10 см і НD = 18 см (мал. 144). Коло, описане навколо трапеції АВСD, описане й навколо  АВD. Тому знайдемо радіус кола, описаного навколо трикутника. Для цього скористаємося формулою:

.

За теоремою Піфагора з АВН:

АВ = = 26 (см).

Отже, sin A =  =  = .

За теоремою Піфагора з BHD: BD  = 30 (см).

Тоді   = 16,25 (см).

Мал. 144

Задачі і вправи

Виконайте усно

459. Розгляньте малюнок 145. Замініть * виразом так, щоб утворилась правильна рівність:

Мал. 145

460. Користуючись малюнком 145, вкажіть хибну рівність:

461. Чи існує трикутник, у якого:

а) sin A = 0,4; sin B = 0,8; sin C = 0,3;

б) sin A = ; sin B = ; sin C =  ;

в) sin A = 0,4; sin B = 0,6; sin C = 0,2?

462. Чому дорівнює радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника зі стороною а?

463. Чому дорівнює радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника з основою а і кутом при вершині 120°?

464. Знайдіть радіус кола, описаного навколо рівнобічної трапеції з діагоналлю 10 см і гострим кутом 45°.

Мал. 146

465. Виразіть за теоремою синусів кожну сторону трикутника ЕВК (мал. 146).

466. Користуючись малюнком 146 і теоремою синусів, виразіть синуси кутів Е, F і К трикутника ЕFК.

467. Знайдіть сторону АВ трикутника АВС, якщо:

а) ВС = 8 см, А = 30°, С = 45°;

б) АС = 9 см, В = 60°, С = 45°;

в) ВС = 16 см, А = 45°, В = 105°.

468. Знайдіть сторону АС трикутника АВС, якщо:

а) АВ = 20 см, В = 30°, С = 45°;

б) ВС = 15 см, А = 60°, В = 45°;

в) АВ = 18 см, А = 105°, С = 30°.

469.  Знайдіть гострий кут С трикутника АВС, якщо:

а) АВ = 6 см, ВС = 6 см, А = 30°;

б) АС = 18 см, АВ = 9 см, В = 45°;

в) АС = 9 см, АВ = 3 см, В = 120°.

470.  Знайдіть гострий кут А трикутника АВС, якщо:

а) АВ = 6 см, ВС = 3 см, С = 45°;

б) АС = 12 см, ВС = 4 см, В = 60°.

471.  Щоб визначити відстань від точки А до недоступної точки В (мал. 147), виміряли відстань АС = 40 м і кути: ВАС = 57°, АСВ = 63°. Знайдіть відстань АВ.

472. Діагональ паралелограма дорівнює d і утворює зі сторонами кути а і . Знайдіть сторони паралелограма.

473. Використовуючи дані малюнка 148, установіть відповідність між відрізками (1-4), зображеними на цьому малюнку, і їхніми довжинами (А-Д).

1

AB

А  33

2

BD

Б  18

3

CD

В  39

4

BC

Г  23

   

Д  41

Мал. 147

Мал. 148

474. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 6 см, а кут при вершині дорівнює 150°. Знайдіть радіус описаного кола.

475. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см, а кут при основі дорівнює 30°. Знайдіть радіус описаного кола.

476. Знайдіть радіус кола, описаного навколо рівнобічної трапеції з діагоналлю 10 см і гострим кутом 45°.

477. Знайдіть А і В трикутника АВС, якщо АВ = 12 см, ВС = 6 см, С = 45°. Скільки розв’язків має задача?

478. У трикутнику MNК МN = 3 см, МК =  см, N = 30°. Знайдіть невідомі кути. Скільки розв’язків має задача?

479. Чи існує трикутник АВС, у якого АВ = 15 см, ВС = 8 см, sin А = 0,6?

480. За даними малюнка 149 обчисліть висоту струменя води фонтану СО, якщо АВ = 0,5 м, А = 87°, В = 84°.

Мал. 149

481. На катеті ВС трикутника АВС (С = 90°) взято точку К так, що ВК = а, КАВ = а, АКВ = R. Знайдіть сторони трикутника АВС.

482. На продовженні катета АС за точку А у трикутнику АВС (С = 90°) взято точку М так, що АМ = mСАВ = а, СМВ = . Знайдіть сторони трикутника АВС.

483. Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює d й утворює з більшою основою кут а, а з бічною стороною — кут . Знайдіть сторони трапеції.

484. Кути трикутника дорівнюють а,  і . Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює Р.

485. У рівнобедреному трикутнику АВС (АВ = ВС) через середину висоти ВН проведено пряму, яка перетинає сторони АВ і ВС у точках М і N відповідно. Знайдіть ВН, якщо MN = mАВС = а, BMN = .

486. Основи трапеції дорівнюють а і b (а > b), а гострі кути при основі — а і . Знайдіть бічні сторони трапеції.

487. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює b, а кут при вершині — а. Знайдіть радіус описаного кола.

488. Кути трикутника дорівнюють а і . Знайдіть висоту, проведену з вершини третього кута, якщо радіус описаного кола дорівнює R.

489. Знайдіть кути трикутника, дві сторони якого дорівнюють 6 см і 2 см, якщо радіус описаного кола дорівнює 2. Скільки розв’язків має задача?

490. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції, основи якої дорівнюють 5 см і 13 см, а висота — 12 см.

491. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції, бічна сторона якої дорівнює 15 см, а радіус вписаного кола — 6 см.

492. Щоб дістатися поглядом верхівки дерева від підніжжя будинку, потрібно дивитися вгору під кутом 22°. А щоб побачити верхівку дерева з балкона, що розташований на відстані 50 метрів над поверхнею землі, слід дивитися вниз під кутом 50° (мал. 150). Знайдіть: а) висоту дерева; б) відстань від дерева до будинку.

493. Доведіть теорему 9, користуючись малюнком 151.

Мал. 150

Мал. 151

Практичне завдання

494. Літак має летіти на схід від одного міста до іншого зі швидкістю 400 км/год. Однак постійно дме північно-східний вітер зі швидкістю 50 км/год. У якому напрямі повинен рухатися літак і з якою швидкістю, щоб вчасно прибути у пункт призначення?

495. На малюнку 152 зображено три кола, у кожне з яких вписано трикутник. Виміряйте довжини сторін і міри кутів кожного трикутника. Перевірте правильність твердження: радіус кола, описаного навколо будь-якого трикутника, виражається формулою:

Мал. 150

Задачі для повторення

496. Знайдіть:

а) косинус найбільшого кута трикутника зі сторонами 3 см, 5 см і 6 см. Вкажіть вид даного трикутника;

б) сторону ВС трикутника АВС, якщо АВ = 10 см, АС = 14 см, В = 60°. Встановіть вид даного трикутника.

497. Задача Брахмагупти. Добуток довжин двох сторін трикутника, поділений на довжину перпендикуляра, опущеного на третю сторону з протилежної вершини трикутника, дорівнює довжині діаметра описаного кола. Доведіть.

498. Знайдіть висоти паралелограма, якщо його сторони дорівнюють 6 см і 9 см та утворюють кут 30°.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.