Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 3 Розв'язування трикутників

§ 15 Розв'язування трикутників

Розв’язати трикутник — це означає знайти невідомі його сторони і кути за кількома відомими сторонами і кутами. Пригадаємо, як розв’язувати прямокутні трикутники.

Задача. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10, а один із гострих кутів — 40°. Знайдіть інші сторони і кути трикутника.

Розв’язання. Нехай у АВС С = 90°, А = 40°, АВ = 10 (мал. 153).

Тоді В = 90° - 40° = 50°; ВС = 10 sin 40°  10 · 0,643 ≈ 6,43; АС = 10 соs 40°  10 · 0,766  7,66.

Відповідь. В = 50°, ВС  6,43, АС  7,66.

Мал. 153

Теореми синусів і косинусів дають можливість розв’язати будь-який трикутник (мал. 154) за трьома його даними елементами (крім трьох кутів). Існують чотири види основних задач на розв’язування трикутників:

1) за двома сторонами і кутом між ними;

2) за стороною і двома прилеглими кутами;

3) за трьома сторонами;

4) за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них.

Мал. 154

Розглянемо кожен з цих випадків.

1. Якщо дано дві сторони і кут між ними, то за теоремою косинусів знаходять третю сторону, а за теоремою синусів — невідомі кути.

Дано: a, b, . Потрібно знайти с, а і  (мал. 155).

Розв’язання. Сторону с знаходимо за теоремою косинусів: с2 = a2b22ab cos .

Один з невідомих кутів (не той, що лежить проти більшої сторони) зручніше визначати за теоремою синусів: sin а=  ,

тоді  = 180° - (а + ).

Якщо ж потрібно першим визначити найбільший кут трикутника, то краще користуватися не теоремою синусів, а теоремою косинусів, бо знак косинуса відразу вкаже на те, тупий кут чи гострий, а за значенням синуса цього зробити не можна.

2. Якщо дано сторону і прилеглі до неї кути, то спочатку знаходять третій кут трикутника, а потім за теоремою синусів — сторони.

Мал. 155

Дано: с, а і . Потрібно знайти , а,  (мал. 156) Розв’язання.  = 180° - (а + ).

Сторони знаходимо за теоремою синусів:  = звідки a = .

 Аналогічно b = .

Мал. 156

3. Якщо дано три сторони, то один із кутів (краще найбільший) знаходять за теоремою косинусів, другий — за теоремою синусів або теоремою косинусів.

Дано: а, b, с (а ≤ b ≤ с). Потрібно знайти а,  і  (мал. 157).

Розв’язання. Один із кутів визначаємо за теоремою косинусів (краще першим визначати найбільший кут, щоб знати, тупий він чи гострий):

Мал. 157

Другий із кутів визначаємо за теоремою синусів або косинусів:

Тоді  = 180° - (а + ).

4. Якщо дано дві сторони і кут навпроти однієї з них, то за теоремою синусів знаходять спочатку кут, протилежний другій даній стороні. Таких кутів може бути два (якщо один а, то другий 180° - а).

Дано: а, b, а. Потрібно знайти с,  і  (мал. 158).

Розв’язання. За теоремою синусів знаходимо кут :

Мал. 158

Потрібно пам’ятати, що даному значенню sin  будуть відповідати два кути:  і 180° - . Тому задача може мати два розв’язки, і потрібно розглядати два випадки: коли кут  — гострий і коли він тупий.

Далі знаходимо кут  = 180° - (a ).

За теоремою синусів знаходимо c: c .

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Іноді розв’язування трикутників розуміють ширше: серед даних можуть бути не тільки сторони і кути трикутника, а й деякі інші його елементи — медіани, бісектриси, висоти тощо.

Задача. Дві сторони і медіана трикутника, які виходять з однієї вершини, дорівнюють відповідно 10, 24 і 13. Знайдіть третю сторону і кути трикутника.

Розв’язання. Нехай ВМ — медіана трикутника АBC (мал. 159). Відкладемо на прямій ВМ відрізок МD так, щоб МD = ВМ, і сполучимо точку й з точками C і А. Оскільки АМ=МC (за умовою) і ВМ=МD (за побудовою), то АВCD — паралелограм. Тоді за властивістю діагоналей паралелограма АС2 + ВD2 = 2(АВ2 + ВC2). Можемо знайти АC.

АС2 = 2(102+242) - 262 = 2 · 676 - 676=676, звідки АC= 26.

За теоремою косинусів з трикутника АВC:

АC2 = ВC2 + АВ2 - 2В· АВ сов , звідки

Отже, = 90°.

Тоді сов А =  =  ≈ 0,385. А = 68°. С = 90° - 68° = 22°.

Мал. 159

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте теорему синусів.

2. Сформулюйте теорему косинусів.

3. Як розв’язують трикутники за двома сторонами і кутом між ними?

4. Як розв’язують трикутники за стороною і двома кутами?

5. Як розв’язують трикутники за трьома сторонами?

6. Як розв’язують трикутники за двома сторонами і кутом проти однієї з них? Скільки розв’язків може мати ця задача?

Виконаємо разом

Розв’яжіть трикутник за двома даними сторонами а = 39,7, b = 73,2 і кутом між ними  = 46,5° (мал. 160).

За теоремою косинусів

За теоремою синусів  , звідки sin a =  ≈ 0,531.

Тоді а  32,1°, B = 180° - 46,5° - 32,1°  101,4°.

Отже, с  54,2, а  32,1°, B ≈ 101,4°.

Мал. 160

Діагональ паралелограма дорівнює 10 і утворює зі сторонами кути 26° і 34°. Знайдіть сторони паралелограма.

Нехай ABCD — паралелограм (мал. 161), у якого AC = 10, BAC = 26°, BCA = 34°.

Тоді = 180°-(26° + 34°) = 120°. За теоремою синусів з ∆ABC знайдемо сторони AB і BC.

 .

Звідси AB =  ≈ 6,5.

 =  .

Звідси BC =  =  ≈ 5,1.

Отже, AB = 6,5, BC = 5,1.

Мал. 161

Задачі і вправи

Виконайте усно

499. Користуючись малюнком 162, розкажіть, як знайти невідомі елементи трикутника для кожного випадку: а), б) і в).

Мал. 162

500. Як знайти кути ромба, сторона якого дорівнює а, а менша діагональ d?

501. Розв’яжіть трикутник за двома даними сторонами і кутом між ними:

а) b = 22, с = 26, а = 78°;      

б) а = 10, b = 5, у = 102°;

в) а = 0,8, с = 0,6,  = 50°;

г) а = 49,3, b = 26,4, у = 47,3°.

502. Розв’яжіть трикутник за даною стороною і прилеглими кутами:

а) а = 32, в = 36°, у = 42°;    

б) b = 20, а = 31°, у = 124°;

в) с =  17,4, а = 64°,  = 44°;

г) а = 7,3, в = 28°, у = 109°.

503. Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами:

а) а = 15, b = 18, с = 25;    

б) а = 41, b = 19, с = 40;

в) а = 3, b = 6, с = 3;

г) а = 91,2, b = 125,3, с = 176,2.

504. У паралелограмі АВСВ АВ = 4 см, АD = 5 см, А = 45°. Знайдіть довжину діагоналі ВD.

505. Сторона ромба дорівнює 38 см, а його кут 58°. Знайдіть діагоналі.

506. У просторі на променях ОА, ОВ, ОС, кожний з яких перпендикулярний до двох інших, на відстанях 12, 13 і 15 одиниць довжини від точки О взято точки А, В, С (мал. 163). Знайдіть косинус найбільшого кута трикутника АВС.

507. На яку висоту піднялося дно корзини повітряної кулі, якщо в деякий момент часу вдалося зафіксувати таке її положення відносно точок А і В, як зображено на малюнку 164?

Знайдіть відстань, яка була на той час, між кулею і кожною з точок А і В.

508. Розв’яжіть трикутник за двома даними сторонами і кутом, що лежить проти однієї з них:

а) а = 4,2, b = 3,5, а = 70°;

б) с = 1,5, b = 2,4, у = 28,5°;

в) а = 4,5, с = 3,2, у = 85°.

509. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 8 см, а гострий кут — 48°. Знайдіть більшу діагональ паралелограма і кути, які вона утворює зі сторонами.

510. Діагоналі паралелограма дорівнюють 12 см і 20 см, а кут між ними — 37°. Знайдіть сторони паралелограма.

511. Знайдіть сторони паралелограма, діагональ якого дорівнює 9 см і утворює з його сторонами кути 24° і 57°.

Мал. 163

Мал. 164

512. Знайдіть сторони рівнобічної трапеції, якщо її діагональ дорівнює 16 см й утворює з бічною стороною і основою відповідно кути 53° і 48°.

513. Основи трапеції дорівнюють 14 м і 18 м, а бічні сторони — 7 м і 10 м. Знайдіть кути трапеції.

514. У трикутнику АВС сторона АС = 16 м, САВ = 122°. АL = 10 м — бісектриса даного трикутника. Знайдіть довжини сторін АВ і ВС.

515. Використовуючи теорему синусів, доведіть, що бісектриса кута трикутника ділить його сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.

516. ВМ — медіана трикутника АВС. Знайдіть АВ і ВС, якщо ВМ = 5 см, АС = 12 см, АВМ = 56°.

517. Медіани АМ і СN трикутника АВС перетинаються у точці О. Знайдіть сторони трикутника, якщо АМ = 9 см, СN = 12 см, АОМ = 35°.

518. У трикутнику АВС АВ = 8 см, АС = 20 см, А = 68°. Знайдіть медіани трикутника.

519. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 18 см, а один з кутів — 100°. Знайдіть бісектриси трикутника.

520. Щоб визначити висоту телевізійної вежі (мал. 165), виміряли відстань АВ = 12 м і кути а = 35°,  = 49°. Знайдіть висоту вежі.

521. Щоб знайти відстань між пунктами А і В (мал. 166), виміряли відстань СD і кути а, , у,  (дельта). Як знайти АВ?

Мал. 165

Мал. 166

Мал. 167

522. Як, знаючи відстань АВ =  і кути а, , у, , показані на малюнку 166, визначити відстань ОD?

523. Із двох пунктів А і В на березі моря спостерігають за катером, який рухається рівномірно і прямолінійно. О 10.00 катер було видно з пункту А під кутом 100° до напряму АВ, а з пункту В — під кутом 51° до напряму ВА. О 10.10 кути змінилися і стали дорівнювати відповідно 84° і 74°. Знайдіть швидкість катера, якщо АВ = 2,5 км.

524. У трикутній піраміді РАВС бічні ребра РА, РВ, РС дорівнюють відповідно 3 дм, 4 дм і 5 дм, а кут між кожними двома з них — 60°. Знайдіть периметр трикутника АВС (мал. 167).

Практичне завдання

525.  Використовуючи малюнок 168, зробіть екліметр (найпростіший прилад для вимірювання кутів у вертикальній площині). Обґрунтуйте принцип його використання. За його допомогою спробуйте виміряти кути, під якими видно багатоповерхівку (церкву, телевізійну вежу тощо) з різних відстаней.

Мал. 168

Задачі для повторення

526. Знайдіть кут між діагоналями паралелограма АВСD, якщо АВ = 7 см, АС = 16 см і ВD = 6 см.

527. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 30°. Знайдіть відношення сторін трикутника.

528. Периметр ромба дорівнює 40 см, а одна з діагоналей — 10 см. Знайдіть кути ромба і другу діагональ.

529. Діагональ прямокутника дорівнює d і утворює з меншою стороною кут а. Знайдіть площу прямокутника.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Трикутники і чотирикутники в архітектурі






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.