Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 3 Розв'язування трикутників

§ 16 Формули для знаходження площі трикутника

Як ви вже знаєте, площу S трикутника з основою а і висотою h знаходять за формулою: S = ah.

Користуючись тригонометричними функціями, можна вивести кілька інших формул для обчислення площі трикутника. Нехай у трикутнику ABC основа BC a, AC b, = у, AH — висота (мал. 169). З прямокутного трикутника ACH маємо: b sin у. Отже,

Мал. 169

Формула площі трикутника ab sin у правильна й тоді, коли кут у прямий або тупий (доведіть це самостійно). Отже, площа трикутника дорівнює півдобутку будь-яких двох його сторін на синус кута між ними.

За теоремою синусів 2R , де — радіус описаного кола. Тому sin у = . Отже,

Площа трикутника дорівнює добутку трьох його сторін, поділеному на почетверений радіус описаного кола.

Існує ще одна формула, яку часто використовують для визначення площі трикутника.

Якщо р — півпериметр трикутника зі сторонами а, b, с, то:

Це — формула Герона. Доведемо її. За теоремою косинусів c2 a2b22ab cos у, звідки cos y = .

Тому

Тоді

Підставивши це значення sin у у формулу = ab sin у і позначивши півпериметр трикутника буквою р, дістанемо:

Використовуючи малюнок 170, доведіть самостійно наступне твердження. Площа трикутника дорівнює добутку радіуса кола, вписаного у трикутник, на півпериметр цього трикутника, тобто S = рr.

Мал. 170

Мал. 171

Отже, площу трикутника можна знаходити, користуючись будь-якою з формул:

Якщо у трикутнику ABC відомі сторони a, b і с, то з формул pr і  можна знайти радіуси вписаного (r) і описаного (R) кіл:

r = , R = .

Використовуючи формулу = ab sin у, можна довести, що формула площі паралелограма зі сторонами і та кутом у між ними має вигляд:

ab sin у.

Адже якщо ABCD — паралелограм, то його площа удвічі більша за площу трикутника ABD (мал. 171). Тому

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Виведемо ще формулу площі опуклого чотирикутника з діагоналями d1і d2та кутом а між ними.

Нехай діагоналі AC і BD опуклого чотирикутника перетинаються в точці (мал. 172).

Якщо один з чотирьох кутів при вершині дорівнює а, то і вертикальний до нього кут дорівнює а, а два інші — по (180° - а).

Оскільки sin (180° - а) = sin а, то синуси кожного з кутів AOB, BOC, COD, AOD дорівнюють sin а.

Позначимо частини діагоналей чотирикутника буквами x, y, z, t, як на малюнку 172. Площа всього чотирикутника ABCD дорівнює сумі площ чотирьох утворених трикутників.

Тому SABCDSOABSOBCSOCD + SODA = (xy sin a + yz sin a+ zt sin a + xt sin a)=  (xy + yz + zt + xt) sin а =  (у (x+z )+ t (z+x ))sin а= (x+z) · (y + t )sin а=  d1d2 sin a.

Мал. 172

Отже, якщо діагоналі чотирикутника завдовжки d1і d2перетинаються під кутом а, то площа чотирикутника обчислюється за формулою:

 d1d2 sin а.

Спробуйте вивести цю формулу, описавши навколо даного чотирикутника паралелограм, сторони якого паралельні діагоналям чотирикутника (мал. 173). Чи правильна ця формула для неопуклого чотирикутника? Спробуйте її довести.

Мал. 173

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Як знайти площу трикутника за стороною і проведеною до неї висотою?

2. Як знайти площу трикутника за двома сторонами і кутом між ними?

3. Як знайти площу трикутника за сторонами і радіусом описаного кола?

4. Як знайти площу трикутника за його периметром і радіусом вписаного кола?

5. Сформулюйте формулу Герона.

6. Як знайти радіус кола, описаного навколо трикутника?

7. Як знайти радіус кола, вписаного у трикутник?

8. Як знайти площу паралелограма?

Виконаємо разом

Доведіть, що висоти трикутника обернено пропорційні до відповідних сторін.

Нехай а і b — дві сторони трикутника АВС, а проведені до них висоти — hаh(мал. 174). Виразимо площу трикутника двома способами: S =  аhаS = bhb.

Отже, аhа = bhb, звідки hа : hb = b : а. А це й треба було довести.

Такий спосіб розв’язання задач, коли прирівнюють площі рівних фігур, коротко називають методом площ.

Мал. 174

Доведіть, що медіана трикутника розбиває його на два рівновеликих трикутники.

Нехай ВМ = m, АМ = МС = n (мал. 175).

Тоді

Отже S∆ABM = S∆BMC.

Розв’яжіть задачу іншим способом.

Виведіть формулу площі трикутника за його стороною і прилеглими кутами.

Нехай дано ∆ABC, у якого CB = a, B = BC =  (мал. 176). A = 180° - (B + у), тому sin A = sin ( + у). За теоремою синусів  = ,  звідки b = .

Площа трикутника:

Отже, шукана площа трикутника

Мал. 175

Мал. 176

Задачі і вправи

Виконайте усно

530. Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 2 і 3, а кут між ними 30°.

531. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого b = 6 см, а кут при вершині: а) 45°; б) 60°; в) 120°.

532. Знайдіть площу рівностороннього трикутника, сторона якого: а) 8 см; б) 1 дм; в)  м.

533. Як змінюватиметься площа трикутника, якщо довжини двох його сторін а і b залишатимуться незмінними, а кут у між ними збільшувати від 0° до 180°?

534. Яку найбільшу площу може мати трикутник, дві сторони якого дорівнюють 2 см і 3 см?

535. Площа трикутника 15 см2, а його сторони 10 см і 6 см. Знайдіть кут між ними.

536. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 10 см. Чи може його площа дорівнювати 12 см2, 15 см2, 18 см2?

537. Користуючись малюнком 177, знайдіть площу трикутника АВС.

Мал. 177

538.  Знайдіть площу трикутника АВС, якщо:

а) ВС = 4 см, АС = 8 см, С = 45°;

б) АВ = 12 см, ВС = 7 см, В = 150°.

539.  Доведіть, що площа рівностороннього трикутника зі стороною а визначається за формулою

S = .

540. Знайдіть площу, радіуси вписаного і описаного кіл для рівностороннього трикутника зі стороною 6 см.

541. Площа рівностороннього трикутника дорівнює 16 см2. Знайдіть периметр трикутника.

542. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 8 см, а кут при основі — 15°. Знайдіть площу трикутника.

543. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, площа якого дорівнює 25 см2, а кут при вершині 120°.

544. Одна зі сторін трикутника на 3 см більша за іншу. Знайдіть ці сторони, якщо кут між ними 30°, а площа трикутника дорівнює 22 см2.

545. Дві сторони трикутника пропорційні числам 7 і 8, а кут між ними — 120°. Знайдіть периметр трикутника, якщо його площа 56 см2.

546. Дві сторони трикутника дорівнюють 16 см і 18 см, а кут між ними 60°. Знайдіть висоти, проведені до цих сторін.

547. Медіана трикутника і сторона, до якої вона проведена, дорівнюють відповідно 10 см та 26 см і утворюють кут 60°. Знайдіть площу трикутника.

548. Медіана трикутника і сторона, до якої вона проведена, дорівнюють відповідно 6 см і 16 см. Знайдіть кут між ними, якщо площа трикутника 24 см2.

549. Сторони трикутника 10 см, 10 см і 12 см. Знайдіть радіуси вписаного і описаного кіл.

550. Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 25 см і 29 см. Знайдіть його площу та радіуси вписаного і описаного кіл.

551. Знайдіть найбільшу висоту трикутника зі сторонами 6 см, 10 см і 14 см.

552. Три кола радіусів 8 см, 9 см і 17 см попарно дотикаються одне до одного зовні (мал. 178). Знайдіть площу трикутника з вершинами в центрах кіл.

553. Бісектриса AM паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки BM = 10 см, MC = 8 см. Знайдіть площу паралелограма, якщо = 30°.

554. Знайдіть площу ромба, сторона якого 8 см, а кути пропорційні числам 1 і 3.

555. Знайдіть кути ромба, якщо його площа 8 см2, а периметр — 16 см.

556. Знайдіть площу паралелограма ABCD, якщо AB a, AC d, BAC = а.

Мал. 178

557. Медіани АМ і СN трикутника АВС дорівнюють 9 см та 12 см і перетинаються в точці О. Знайдіть площу трикутника АОС і чотирикутника ВМОN, якщо АОС = 120°.

558. ВL — бісектриса трикутника АВС. Знайдіть його площу, якщо АL = 15 см, LС = 24 см, ВС = 40 см.

559. Відрізки АВ і СD перетинаються в точці О так, що АО = 4 см, ВО = 6 см, СО = 10 см, DО = 8 см. Знайдіть площі АОС і ВОD, якщо сума їх площ дорівнює 22 см2.

560.  Основи трапеції АВСD дорівнюють 7 см і 14 см, а діагоналі 9 см і 15 см. Знайдіть площі трикутників АОВ, ВОС, СОD, АОD, де О — точка перетину діагоналей.

561. На сторонах АВ і ВС трикутника АВС взято точки М і N так, що АМ = 7 см, ВМ = 8 см, BN = 3 см, NC = 11 см. Знайдіть площу чотирикутника AMNC, якщо площа трикутника MBN дорівнює 4 см2.

562. Доведіть, що три медіани трикутника ділять його на 6 рівновеликих трикутників (мал. 179).

563. Центр кола, вписаного у трикутник зі сторонами 6 см, 25 см і 29 см, сполучено з вершинами трикутника. Знайдіть площі утворених трикутників.

564. Висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника, дорівнює 16 см, а бічна сторона — 20 см. Знайдіть відстань між центрами описаного і вписаного кіл.

565. Сторони трикутника дорівнюють 40 см, 40 см і 48 см. Знайдіть відстані від центра описаного кола до сторін трикутника.

566. Сторони трикутника дорівнюють 15 см, 15 см і 24 см. Знайдіть відстані від центра вписаного кола до вершин трикутника.

567. Знайдіть площу АВС, якщо АС = а, А = а, В = .

568. Три кола радіусів 6 см, 7 см і 14 см попарно дотикаються одне до одного зовні. Знайдіть радіус кола, на якому лежать центри даних кіл.

569. У трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см вписано коло, до якого проведено дотичну, паралельну середній стороні. Знайдіть площі частин, на які ця дотична розбиває трикутник.

570. Використовуючи малюнок 180, доведіть, що площу кожного трикутника можна обчислити за формулою

де а = ВС, r — радіус кола, вписаного в АВС.

Мал. 179

571. Знайдіть площу паралелограма, діагоналі якого дорівнюють 8 см і 11 см, а кут між ними — 30°.

572. Знайдіть діагоналі паралелограма площею 96 см2, якщо одна з них на 8 см довша за другу, а кут між ними — 45°.

573. Діагоналі паралелограма дорівнюють 30 см і 74 см, а одна зі сторін — 26 см. Знайдіть площу паралелограма.

574. Знайдіть площу паралелограма АВСD, якщо ВD = dАBD = а, АDВ = .

Мал. 180

Практичне завдання

575. Користуючись аркушем паперу в клітинку (мал. 181), накресліть трикутник з основою АВ і площею, удвічі більшою за площу трикутника АВС. Скільки таких трикутників існує? Яким найбільшим може бути косинус кута, протилежного стороні АВ?

Мал. 181

Задачі для повторення

576. Сторони трикутника дорівнюють 5 см, 6 см і 10 см. Знайдіть кути трикутника.

577. Доведіть, що трикутник зі сторонами 7 см, 24 см і 25 см прямокутний.

578. Знайдіть площу прямокутника, якщо перпендикуляр, проведений з вершини прямого кута, ділить діагональ на відрізки 2 см і 8 см.

579. Запишіть рівняння кола, описаного навколо чотирикутника АBCD та вписаного в нього, якщо: А(-3; -3), В(-5; 3), С(1; 5), D(3; -1).

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Трикутники на суші і на морі






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.