Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 4 Правильні многокутники

§ 17 Правильні многокутники та їх властивості

Опуклий многокутник називається правильним, якщо всі його сторони рівні і всі кути рівні.

Рівносторонній трикутник і квадрат — приклади правильних многокутників. На малюнку 183 зображено правильний п’ятикутник і правильний шестикутник.

Мал. 183

Якщо правильний многокутник має n сторін, то сума всіх його кутів (внутрішніх) дорівнює 180°(п - 2), а один з них — у n разів менший, тобто дорівнює

.

Чим більше число n, тим більший кут правильного n-кутника.

ТЕОРЕМА 11

Якщо многокутник правильний, то навколо нього можна описати коло і в нього можна вписати коло.

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай АВCDЕ... К — правильний n-кутник (мал. 184). Бісектриси його кутів А і В перетинаються в деякій точці О. Трикутник АОВ рівнобедрений, бо ОАВ = ОВА = , де а — кут даного многокутника. Сполучимо точку О відрізками з усіма вершинами многокутника. Трикутники ОВС і ОВА рівні, бо в них сторона ОВ спільна, ВС = ВА і ОВС = ОВА. Подібним способом переконуємось, що ОАВ = ∆ОВС =ОСD =ОDE ...

Мал. 184

Отже, OA OB OC OD = ... = OK, тобто всі вершини даного правильного многокутника ABCDE...K рівновіддалені від точки O. Тому коло радіуса OA — описане навколо даного многокутника. Першу частину теореми доведено.

Оскільки трикутники OAB, OBC, OCD, ODE, ..., OKA рівні, то рівні і їх відповідні висоти, тобто перпендикуляри, опущені з точки на всі сторони даного правильного многокутника. Отже, коло з центром O, яке дотикається до сторони AB, дотикається і до всіх сторін многокутника ABCDE...K. Це коло — вписане в даний многокутник. Другу частину теореми також доведено.

Як випливає з попередніх міркувань, центром кола, вписаного в правильний многокутник, і кола, описаного навколо нього, є одна й та сама точка О. Її називають центром правильного многокутника.

Кут, під яким з центра правильного многокутника видно його сторону, називають центральним кутом многокутника. Перпендикуляр, опущений з центра правильного многокутника на його сторону, — апофема правильного многокутника. На малюнку 184 AОВ — центральний кут правильного многокутника AВ...К, а ОН — його апофема. Міра центрального кута правильного n-кутника дорівнює  . Чому?

У вершинах правильних многокутників звичайно знаходяться центри кульок у підшипниках, центри отворів на фланцях, кінці зубів круглих пилок (мал. 185) тощо.

Мал. 185

Плитки і плити для покриття підлоги в будинках, площ і вулиць, аеродромів здебільшого виготовляють у формі правильних многокутників.

Мал. 186

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Чи можна з означення правильного многокутника вилучити словосполучення «сторони рівні» або «кути рівні»? Ні, бо опуклий многокутник, усі кути якого рівні або всі сторони рівні, може бути й неправильним (мал. 187).

Мал. 187

Приклади неопуклих многокутників, усі сторони яких рівні, наведено на малюнку 188. Їх не вважають правильними многокутниками.

Мал. 188

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте означення правильного многокутника.

2. Як інакше називають правильний трикутник? А правильний чотирикутник?

3. Чому дорівнює сума кутів правильного многокутника?

4. Чому дорівнює міра внутрішнього кута правильного n-кутника?

5. Чому дорівнює міра центрального кута правильного n-кутника?

6. Чи можна навколо кожного правильного многокутника описати коло?

7. Чи можна у кожний правильний многокутник вписати коло?

8. Що називають центром правильного многокутника?

9. Що називають апофемою правильного многокутника?

10. Наведіть приклади предметів з оточуючого середовища, які мають форму правильних многокутників.

Виконаємо разом

1. Скільки діагоналей має правильний n-кутник? Із кожної вершини правильного n-кутника виходить n - 3 діагоналі (мал. 189). Усього вершин n. Маємо добуток n(n - 3). Але кожна діагональ виходить із двох різних вершин. Тому n(n - 3) — подвоєна кількість діагоналей. Отже, кожний правильний n-кутник (як і кожний опуклий многокутник) має 0,5n(n - 3) діагоналей. Трикутник діагоналей не має.

Мал. 189

2.  Доведіть, що сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, дорівнює радіусу цього кола.

• На малюнку 190 зображено правильний шестикутник АВСDЕF, вписаний у коло з центром у точці О. Доведемо, що АВ = ОА. Розглянемо трикутник АОВ. Оскільки АО ВО, як радіуси одного кола, то трикутник АОВ — рівнобедрений. АОВ =  = 60° як центральний кут правильного шестикутника. Тоді ОАВ = ОВА = (180° - 60°): 2 = 60° = АОВ. Отже,  АОВ — рівносторонній, а тому АВ = ОА.

Мал. 190

Задачі і вправи

Виконайте усно

580. Як інакше називають правильний трикутник і правильний чотирикутник?

581. Сторона правильного n-кутника дорівнює а. Знайдіть його периметр.

582. Периметр правильного n-кутника дорівнює 2р. Знайдіть довжину його сторони.

583. Знайдіть сторону правильного п’ятикутника, якщо вона менша від периметра на 20 см.

584. Чому дорівнює сума кутів правильного: а) трикутника; б) чотирикутника; в) п’ятикутника; г) шестикутника?

585. Скільки діагоналей має правильний: а) трикутник; б) чотирикутник; в) п’ятикутник; г) шестикутник?

586. Чому дорівнює сума зовнішніх кутів квадрата, взятих по одному при кожній його вершині? А правильного трикутника?

587. Скільки діагоналей має правильний n-кутник, якщо:

а) n = 5;

б) n = 7;

в) n = 12;

г) n = 100?

588. Знайдіть суму кутів правильного n-кутника, якщо:

а) n = 5;

б) n = 8;

в) n = 10;

г) n = 18.

589. Знайдіть кут правильного n-кутника, якщо:

а) n = 5;

б) n = 10;

в) n = 15;

г) n = 20.

590. Знайдіть зовнішній і центральний кути правильного n-кутника, якщо:

а) n = 3;

б) n = 6;

в) n = 12;

г) n = 100.

591. Сума зовнішніх кутів правильного n-кутника, взятих по одному при кожній його вершині, дорівнює 360°. Доведіть.

592. Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із кутів якого дорівнює 108°, 120°, 135°, 140°, 144°, 150°?

593. Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із зовнішніх кутів якого дорівнює: а) 24°; б) 30°; в) 36°; г) 18°?

594. Сторона квадрата дорівнює 10 см. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл.

595. Проведіть у колі два перпендикулярні діаметри і сполучіть їх кінці. Доведіть, що утворений чотирикутник правильний.

596. Установіть відповідність між мірами центральних кутів правильних многокутників (1-4) та мірами їх внутрішніх кутів (А-Д).

1

36°

А

150°

2

45°

Б

135°

3

30°

В

145°

4

24°

Г

144°

   

Д

156°

597. Сторона правильного многокутника дорівнює а, а радіус описаного навколо нього кола R. Знайдіть радіус вписаного кола.

598. Сторона правильного многокутника дорівнює а, а радіус вписаного в нього кола r. Знайдіть радіус описаного навколо нього кола.

599. R і r — радіуси описаного навколо правильного многокутника і вписаного в нього кіл. Знайдіть сторону многокутника.

600. На малюнку 191 зображено гайковий ключ і 4 гайки. Які з гайок можна відкрутити цим ключем?

Мал. 191

601. Доведіть, що в правильному шестикутнику протилежні сторони паралельні.

602. Знайдіть діагоналі правильного шестикутника, сторона якого дорівнює а.

603. Відстань між паралельними сторонами правильного шестикутника дорівнює . Знайдіть сторону шестикутника.

604. У правильному восьмикутнику зі стороною 6 см сполучено середини чотирьох сторін, взятих через одну. Доведіть, що утворений чотирикутник — квадрат, і знайдіть його сторону.

605. У правильному дванадцятикутнику зі стороною 8 см сполучено середини сторін, взятих через одну. Доведіть, що утворений шестикутник — правильний, і знайдіть його периметр.

606. Доведіть, що середини сторін правильного n-кутника є вершинами іншого правильного n-кутника.

607. Зрізуючи кути правильного трикутника зі стороною m, отримали правильний шестикутник (мал. 192). Знайдіть його сторону.

608. Зрізуючи кути квадрата, отримали правильний восьмикутник. Знайдіть його сторону, якщо сторона квадрата дорівнює а.

609. Доведіть, що в правильному п’ятикутнику:

а) всі діагоналі рівні;

б) кожна діагональ паралельна одній із його сторін;

в) дві діагоналі, що виходять з однієї вершини, утворюють 3 рівнобедрені трикутники.

610. У якому відношенні діагональ правильного п’ятикутника ділить кут, із вершини якого вона виходить?

611. Під яким кутом перетинаються дві діагоналі правильного п’ятикутника, проведені з різних вершин?

612. Чому плити для покриття площ, вулиць, аеродромів не виготовляють у формі правильних п’ятикутників?

613. Задача Каталана. Розбийте даний правильний шестикутник на 7 правильних шестикутників і 12 рівносторонніх трикутників.

Мал. 192

Практичне завдання

614. 1) Виріжте з цупкого паперу такі три рівні ромби, щоб із них можна було скласти правильний шестикутник. Знайдіть: а) кути кожного ромба та утвореного шестикутника; б) відношення периметрів шестикутника і ромба.

2) Виріжте з цупкого паперу десять рівних правильних трикутників і складіть із них правильний трикутник і правильний шестикутник. Знайдіть відношення: а) периметрів утворених фігур; б) площ утворених фігур.

Задачі для повторення

615. Із правильних многокутників (трикутників, чотирикутників і п’ятикутників) складаються розгортки правильних многогранників. За поданими нижче розгортками спробуйте виготовити моделі правильних многогранників (врахуйте допуски на склеювання). Установіть відповідність між розгортками правильних многогранників (1-5) і відповідними многогранниками (А-Д).

616. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого на 3 см менша за основу, а менша висота дорівнює 12 см.

617. Знайдіть висоти паралелограма, якщо його сторони 5 см і 12 см, а кут між ними 60°.

618. Знайдіть радіус кола, якщо хорда довжиною 24 см віддалена від центра на 5 см.

619. Знайдіть кути рівнобічної трапеції, периметр якої дорівнює 48 см, а радіус вписаного кола 3 см.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Многокутники у ландшафтному дизайні






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.