Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 4 Правильні многокутники

§ 18 Правильні многокутники та кола

Встановимо співвідношення між стороною правильного n-кутника аn і радіусами Rn і rn описаного і вписаного в нього кіл.

Нехай АВС...К — правильний n-кутник з центром О і стороною АВ = аn (мал. 193).

Тоді ОА = ОВ = R, ОН = r. Центральний кут АОВ, який спирається на сторону АВ правильного n-кутника, дорівнює . Тоді АОН = АН = аn, бо висота ОН рівнобедреного ∆AОB є одночасно і бісектрисою, і медіаною.

Мал. 193

Із прямокутного АОН маємо:

1)

або

звідки

і

2)

або

звідки

і

Ці формули дають можливість виражати сторони правильного n-кутника через радіуси описаного або вписаного кіл і, навпаки, можна знаходити радіуси описаного або вписаного кіл, знаючи сторону правильного n-кутника.

Наприклад, підставивши у формули an 2Rn sin  і an2rn tg  замість n числа 3, 4 і 6, отримаємо вираження довжин сторін правильних трикутників, чотирикутників і шестикутників через радіус описаного кола і радіус r вписаного кола.

Кількість сторін правильного n-кутника

= 3

= 4

= 6

Сторона правильного n-кутника

а3 = R

а4 = R

а6 = R

а3 = 2r

а4 = 2r

а6

Якщо у формули

i

замість n підставити числа 3, 4 і 6, то отримаємо вираження радіуса R описаного кола і радіуса r вписаного кола через сторону правильних трикутника, чотирикутника і шестикутника зі стороною аn.

Кількість сторін правильного n-кутника

n = 3

n = 4

n = 6

Радіус описаного кола

R3 = 

R4 = 

R6 = а

Радіус вписаного кола

r3 = 

r4 = 

r6 = 

Зверніть увагу!

Сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола. Отже, щоб поділити коло на 6 рівних частин, досить послідовно відкласти 6 хорд, що дорівнюють радіусу кола (мал. 194). Якщо точки поділу з’єднати через одну, то отримаємо правильний трикутник (мал. 195). Якщо ж кожну з утворених 6 дуг поділити навпіл і точки поділу послідовно сполучити, то утвориться правильний дванадцятикутник (мал. 196) і т. д. Отже, якщо коло поділено на n рівних частин, то це коло неважко поділити на 2n рівних частин.

Мал. 194

Мал. 195

Мал. 196

Щоб побудувати правильний чотирикутник (квадрат), у колі проводять два перпендикулярні діаметри, наприклад АС і BD (мал. 197) і послідовно сполучають їх кінці. Утворений у такий спосіб чотирикутник АBСD — квадрат.

Використовуючи малюнок 197, спробуйте самостійно побудувати правильний восьмикутник.

Ви вже знаєте, як будувати правильні трикутник, чотирикутник і шестикутник. А як побудувати правильний п’ятикутник чи будь-який n-кутник?

Якщо коло поділити на n рівних частин і одержані точки поділу послідовно сполучити відрізками, то утвориться правильний n-кутник. Отже, задача про побудову правильного n-кутника зводиться до поділу кола на n рівних частин. Центральний кут АОB, який спирається на сторону правильного n-кутника, вписаного в коло, дорівнює . Тому, якщо потрібно поділити коло, наприклад, на 9 рівних частин, ми спочатку обчислюємо відповідний центральний кут (360° : 9 = 40°) і за допомогою транспортира будуємо такий центральний кут — AОВ = 40° (мал. 198).

Мал. 197

Мал. 198

Мал. 199

А далі розхилом циркуля, що дорівнює AВ, «обходимо» все коло. Якщо точки поділу послідовно сполучити відрізками, то утвориться правильний дев’ятикутник. Він правильний, бо його сторони рівні (як хорди, що стягують рівні дуги) і кути рівні (як вписані кути, що спираються на рівні дуги).

Можна будувати правильні многокутники і без використання кола. Побудуємо, наприклад, правильний восьмикутник зі стороною 1 см. Оскільки кут правильного восьмикутника дорівнює 135°, то за допомогою транспортира будуємо спочатку A = 135° (мал. 199) і на його сторонах відкладаємо відрізки AМ = AВ = 1 см. А далі послідовно добудовуємо кути 135° і відкладаємо на них відрізки довжиною 1 см. Отриманий восьмикутник буде правильним, бо його кути і сторони рівні за побудовою. Однак побудований у такий спосіб восьмикутник практично може дуже відрізнятися від правильного восьмикутника, бо неминучі креслярські похибки додаються і в результаті можуть бути надто великими. У класичних побудовах дозволяється користуватися лише циркулем і лінійкою, а не транспортиром.

Як можна знайти площу правильного n-кутника? Як відомо, площу будь-якого многокутника з периметром 2р, описаного навколо кола радіуса r, можна знайти за формулою S= рr. Ця формула справедлива і для правильного n-кутника.

Якщо його сторона а, то р =  nа, тоді nаr.

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Вище йшлося про побудову довільного правильного n-кутника. А як побудувати правильний n-кутник із заданою довжиною сторони (або радіуса чи кола, вписаного в цей многокутник чи описаного навколо нього)? Такі побудови виконують, користуючись методом подібності. Наприклад, щоб побудувати правильний п’ятикутник зі стороною а5 = 2 см, спочатку будують довільний правильний п’ятикутник ABCDE (мал. 200) і проводять промені OA, OB, OC, OD, OE. На промені AB відкладають відрізок AK = а5 = 2 см і проводять KM ^ OA. Якщо KM перетинає промінь OB у точці В1 то далі проводять B1A1^BA, B1C^BC, C1D1^CD і т. д. П’ятикутник A1B1C1D1E1 — той, який треба було побудувати.

Мал. 200

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Як виражається через радіус описаного кола сторона правильного:

а) n-кутника;

б) трикутника;

в) чотирикутника;

г) шестикутника?

2. Як виражається через радіус вписаного кола сторона правильного:

а) n-кутника;

б) трикутника;

в) чотирикутника;

г) шестикутника?

3. Як виражається радіус описаного кола через сторону правильного:

а) n-кутника;

б) трикутника;

в) чотирикутника;

г) шестикутника?

4. Як виражається радіус вписаного кола через сторону правильного:

а) n-кутника;

б) трикутника;

в) чотирикутника;

г) шестикутника?

5. Як знайти площу правильного n-кутника?

6. Як побудувати правильний n-кутник?

7. Як побудувати правильний n-кутник за його стороною?

Виконаємо разом

1. Сторона правильного шестикутника, описаного навколо кола, дорівнює 4 см. Знайдіть сторону правильного трикутника, вписаного в це коло.

Нехай радіус кола r (мал. 201). Тоді для шестикутника це буде радіус вписаного кола, а для трикутника — радіус описаного кола. Отже,

Оскільки r6R3то

Мал. 201

2. Доведіть, що площу правильного n-кутника, вписаного в коло радіуса R, можна визначити за формулою

На малюнку 202 зображено правильний n-кутник АВС...К, вписаний у коло радіуса R. Розглянемо АОВ:

а тому

Оскільки АВС...К — правильний n-кутник, то його площа S у n разів більша за площу трикутника АОВ.

Отже,

Мал. 202

Зверніть увагу на формули, за допомогою яких можна знайти площу правильних трикутника, чотирикутника і шестикутника зі стороною а.

Кількість сторін правильного n-кутника

= 3

= 4

= 6

Площа правильного n-кутника

= 

= а2

S =

Задачі і вправи

Виконайте усно

620. Сторона правильного чотирикутника дорівнює а. Чому дорівнює: а) його периметр; б) довжина діагоналі; в) кут між діагоналями; г) радіус описаного кола; ґ) радіус вписаного кола; д) площа чотирикутника?

621. Діагональ правильного чотирикутника дорівнює d. Чому дорівнює: а) сторона чотирикутника; б) його периметр; в) радіус описаного кола; г) радіус вписаного кола; ґ) площа чотирикутника?

622. Сторона правильного шестикутника дорівнює а (мал. 203). Знайдіть: а) його периметр; б) радіус описаного кола; в) радіус вписаного кола; г) відстань між найвіддаленішими точками шестикутника; ґ) площу шестикутника.

623. Сторона квадрата, описаного навколо кола, дорівнює а. Знайдіть сторону правильного шестикутника, вписаного в це коло.

Мал. 203

624. Побудуйте правильний n-кутник, якщо:

а) n = 3;

б) n = 6;

в) n = 8;

г) n = 12.

625. Побудуйте правильний n-кутник зі стороною 2 см, якщо:

а) n = 5;

б) n = 6;

в) n = 9;

г) n = 12.

626. Побудуйте правильний трикутник за даним радіусом R описаного кола, якщо h = 3 см.

627. Побудуйте правильний шестикутник за: а) даним радіусом описаного кола; б) даною стороною; в) даним периметром.

628. Радіус кола дорівнює 8 см. Знайдіть сторону вписаного в це коло правильного n-кутника, якщо:

а) n = 3;

б) n = 4;

в) n = 6;

г) n = 12.

629. Радіус кола дорівнює 8  см. Знайдіть сторону описаного навколо нього правильного n-кутника, якщо:

а) n = 3;

б) n = 4;

в) n = 6;

г) n = 18.

630. Сторона правильного n-кутника дорівнює 4. Знайдіть радіус кола, описаного навколо нього, якщо:

а) n = 3;

б) n = 4;

в) n = 6;

г) n = 12.

631. Сторона правильного n-кутника дорівнює 3 см. Знайдіть радіус вписаного в нього кола, якщо:

а) n = 3;

б) n = 4;

в) n = 6;

г) n = 18.

632. Сторона правильного многокутника, вписаного в коло, дорівнює 12 см. Знайдіть периметр і площу цього многокутника, якщо:

а) n = 3;

б) n = 4;

в) n = 5;

г) n = 6.

633. Знайдіть площу правильного n-кутника, якщо радіус кола, описаного навколо нього, дорівнює 6 см. Розгляньте випадки:

а) n = 3;

б) n = 4;

в) n = 5;

г) n = 6;

ґ) n = 12.

634. У коло вписано правильний шестикутник, периметр якого 24 см. Знайдіть периметр і площу вписаного в це коло правильного:

а) трикутника;

б) чотирикутника.

635. Знайдіть площу правильного n-кутника, якщо радіус вписаного в нього кола дорівнює 4 см і:

а) n = 3;

б) n = 4;

в) n = 6;

г) n = 12.

636. У скільки разів площа квадрата, описаного навколо кола, більша за площу квадрата, вписаного в це коло?

637. Периметри квадрата, рівностороннього трикутника і правильного шестикутника дорівнюють 36 см. Яка з цих фігур має найменшу площу, а яка — найбільшу?

638. Дано правильний трикутник АВС. Побудуйте правильний шестикутник АКВРСТ. Як відносяться їх периметри і площі?

639. Дано квадрат. Побудуйте правильний восьмикутник, чотири вершини якого збігалися б із вершинами даного квадрата. Як відносяться їхні периметри і площі?

640. Користуючись малюнками 204-206, знайдіть невідомі сторони х і у правильних многокутників.

Мал. 204

Мал. 205

Мал. 206

641. Знайдіть довжини діагоналей правильного восьмикутника: а) за радіусом описаного кола R; б) за стороною а.

642. Знайдіть довжини діагоналей правильного дванадцятикутника: а) за радіусом описаного кола Я; б) за стороною а.

643. У коло радіуса 12 см вписано правильний n-кутник і послідовно сполучено середини його сторін. Визначте сторону утвореного многокутника і радіус описаного навколо нього кола, якщо:

а) n = 4;

б) n = 6.

644. У коло, радіус якого дорівнює R, вписано правильний трикутник, а на його стороні побудовано квадрат. Знайдіть радіус кола, описаного навколо квадрата.

645. У коло з радіусом R вписано правильний трикутник, у трикутник вписано коло, у яке вписано квадрат. Знайдіть сторону квадрата.

646. У коло вписано правильний шестикутник зі стороною а, а навколо кола описано правильний трикутник. Він є також вписаним у деяке коло. Знайдіть відношення радіусів цих кіл.

647. Відкрита задача. У коло з радіусом R вписано правильний трикутник. У трикутник вписано ... , а в нього вписано ... . Знайдіть сторону ... .

648. Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, дорівнює  і служить для одного з кіл стороною правильного вписаного трикутника, а для другого — стороною вписаного квадрата (мал. 207). Знайдіть відстань між центрами кіл. Розгляньте інший випадок.

649. Сторона правильного шестикутника дорівнює 10 см. Знайдіть сторону рівновеликого йому правильного трикутника.

650. Площа правильного шестикутника, описаного навколо кола, дорівнює 72 см2. Знайдіть площу правильного трикутника, описаного навколо цього кола.

651. Площа правильного восьмикутника, вписаного в коло, дорівнює 162 м2. Установіть відповідність між правильними многокутниками (1-4), вписаними в це коло, та значеннями їх площ (А-Д).

Мал. 207

1

Трикутник

А

2

Чотирикутник

Б

243

3

Шестикутник

4

Дванадцятикутник

В

Г

162

Д

Практичне завдання

652. Великий інтерес до геометричних побудов виявили всесвітньо відомі художники Леонардо да Вінчі, Альбрехт Дюрер, Сальвадор Далі, Мауріц Ешер. За допомогою правильних геометричних побудов вони досягали досконалості в зображенні простору.

Розгляньте ескіз Леонардо да Вінчі до його «Таємної вечері» (мал. 208), на якому, крім іншого, зображено побудову правильного восьмикутника, вписаного в коло, за його стороною.

а) Доведіть, що така побудова забезпечує правильне визначення центра кола, описаного навколо правильного восьмикутника із заданою стороною.

б) Побудуйте в такий спосіб правильний восьмикутник, сторона якого дорівнює 2 см.

Мал. 208

Задачі для повторення

653. Скільки діагоналей має правильний 75-кутник?

654. Знайдіть кути правильного 30-кутника.

655. У якому відношенні ділять кут діагоналі правильного шестикутника, які виходять з вершини цього кута?

656. Діагоналі ромба пропорційні числам 3 і 4, а площа дорівнює 12 см2. Знайдіть периметр ромба.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.