Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 4 Правильні многокутники

§ 19 Довжина кола і дуги кола

У молодших класах довжину кола визначають за допомогою нитки (згадайте, як це робиться). Але нитка — не геометричне поняття, до того ж вимірювання довжини кола ниткою дає лише наближені результати. Тому розглянемо це питання з погляду геометрії.

Уявімо, що в коло вписано правильний 10-кутник, потім — правильний 20-кутник, 40-кутник і т. д. Їх периметри Р10, Р20, Р40, ... дедалі менше і менше відрізняються від довжини даного кола С. Якщо кількість сторін многокутника (n) необмежено збільшується, то Рn наближається до С. Можна сказати так: довжина кола — це число, до якого наближається числове значення периметра вписаного в це коло правильного n-кутника при необмеженому збільшенні кількості його сторін.

Виведемо формулу, що виражає довжину кола через його радіус. Нехай маємо два довільні кола (мал. 209). Позначимо їх радіуси буквами R і R', а довжини — буквами С і С'. У кожне з цих кіл впишемо правильний n-кутник з однаковим числом сторін. Якщо аn і а'n — сторони цих многокутників, а Рn і P'n — їх периметри, то

Звідки

Мал. 209

Ця пропорція правильна при кожному значенні n. Тому якщо значення п необмежено збільшувати, то периметри Рn і Р'n прямуватимуть до довжин кіл С і С', а відношення периметрів — до відношення . Отже,

Оскільки 2R — діаметр кола радіуса R, то відношення довжини кола до його діаметра одне й те саме для кожного кола.

Це стале відношення прийнято позначати грецькою буквою  (читається «пі»). Число п ірраціональне, його наближене значення з точністю до сотих   3,14. Наприкінці минулого століття за допомогою спеціального програмного забезпечення на комп’ютері було знайдено мільйон цифр цього числа.

Отже, якщо С — довжина кола радіуса R, то   = , звідки С = 2R.

Це формула довжини кола.

Наприклад, якщо радіус кола R = 150 см, то його довжина С  2 · 3,14 · 150 = 942 (см).

Виведемо формулу для обчислення довжини дуги кола (його частини).

Довжина дуги пропорційна до міри відповідного центрального кута. Дуга, що відповідає центральному 1° має довжину         = .

Тоді центральному куту n° відповідає дуга довжиною  (мал. 210).

Отже, довжина  дуги кола радіуса R, градусна міра якої становить n°, обчислюється за формулою:

Мал. 210

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Довжину кола та його частин (з певним рівнем точності) уміли визначати ще 2000 років до н. е. у Стародавніх Єгипті та Вавилоні. Пізніше у Стародавній Греції Архімед, прийнявши діаметр кола за одиницю, вписував у коло і описував навколо кола правильні многокутники. Знайшовши периметри вписаного і описаного 96-кутника, він встановив, що довжина кола діаметром 1 знаходиться у таких межах:

Оскільки   3,142857, то як наближене значення числа  для розв’язування багатьох практичних задач брали число 3,14.

Досі йшлося про довжини кіл і їх частин. Крім них існує безліч інших кривих ліній: параболи, еліпси, спіралі (мал. 211) тощо. Як визначати довжини таких кривих або їх частин? З історії математики відомо, що це була дуже складна задача, яка мала назву «спрямлення кривої». Визначити довжину дуги кривої, крім кола, вдалося лише у XVII столітті. Нині довжини кривих визначають методами математичного аналізу.

На практиці довжини таких ліній визначають наближено. Довжину кривої, яка не є частиною кола, наближено можна визначити, крокуючи по ній циркулем відомого розхилу (мал. 212).

Мал. 211

Мал. 212

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Як позначається відношення довжини кола до його діаметра?

2. Чому дорівнює наближене значення числа  з точністю до сотих?

3. За якою формулою знаходять довжину кола?

4. За якою формулою знаходять довжину дуги кола?

Виконаємо разом

1. Знайдіть діагональ квадрата, описаного навколо кола, довжина якого дорівнює .

• Позначимо радіус розглядуваного кола буквою r.

Тоді  = 2r, звідки r = . Сторона описаного квадрата дорівнює діаметру кола (мал. 213).

АВ = КР = 2 · r = . Шукана довжина діагоналі

Мал. 213

2. Знайдіть радіус кола, довжина якого дорівнює третині довжини кола радіуса 30 см.

• Довжина меншого кола дорівнює   · 2 · 30 або 20. Якщо шуканий радіус r, то 2 r = 20, звідки r = 10 (см).

Задачі і вправи

Виконайте усно

657. Знайдіть наближене значення 10; 2.

658. Чому дорівнює довжина кола радіуса 1 см; 1 м?

659. Діаметр кола дорівнює 2 м. Чому дорівнює довжина кола?

660. Чому дорівнює радіус кола завдовжки 2 см; 10 дм; 2m см?

661. Більше чи менше 5 м дорівнює довжина кола радіуса 1 м?

662. Знайдіть довжину кола, описаного навколо прямокутного трикутника з гіпотенузою 10 м.

663. Чому дорівнює довжина дуги АВ кола з центром у точці О і радіусом 3 см, якщо АОВ = 120° ?

664. Знайдіть довжину кола радіуса:

а) 30 см;

б) 12 см;

в) 25 см.

665.  Знайдіть радіус кола, довжина якого:

а) 12 см;

б) 6,28 см;

в) 40 см.

666. Як збільшиться довжина кола, якщо його радіус збільшити в разів?

667. Знайдіть довжину кола, описаного навколо квадрата зі стороною 8 см, і довжину кола, вписаного в цей квадрат.

668. Діагональ квадрата дорівнює d. Знайдіть довжину вписаного кола.

669. Знайдіть довжину кола, описаного навколо прямокутника, сторони якого дорівнюють 33 см і 56 см.

670. Сторона правильного шестикутника дорівнює 9 см. Обчисліть довжину кола, описаного навколо цього шестикутника, і кола, вписаного в нього.

671. Сторона правильного трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть довжину кола: а) вписаного в трикутник; б) описаного навколо трикутника.

672. Знайдіть довжину дуги кола, радіус якого 6 см, а відповідний центральний кут:

а) 30°;

б) 60°;

в) 90°;

г) 120°.

673. Навколо рівностороннього трикутника ABC зі стороною 6 см описано коло. Знайдіть довжини дуг AB, BC і AC.

674. Точки М і ділять коло діаметра 20 см на частини, пропорційні числам 2 і 3. Знайдіть довжини утворених дуг.

675. Точки і ділять коло радіуса 4 см на дві дуги так, що різниця їх довжин дорівнює 1,4 см. Знайдіть довжину більшої дуги.

676. На стороні AC, що дорівнює 6 см, рівностороннього трикутника ABC, як на діаметрі, побудовано півколо. Знайдіть довжини дуг, на які це півколо ділять сторони AB і BC.

677. Хорда кола дорівнює його радіусу. Знайдіть довжини дуг, на які ця хорда розбиває коло, якщо діаметр кола 36 см.

678. Дано правильний многокутник ABC...K (мал. 214), сторона якого дорівнює 18 см.

BK — дуга кола з центром у точці і радіуса AB. Установіть відповідність між мірою кута А (1-4) та довжиною дуги BK (А-Д).

1

 60°

А

14

2

108°

Б

10,8

3

140°

В

6

4

156°

Г

15

   

Д

15,6

Мал. 214

679. На котушці діаметра 0,6 м є 30 витків дроту. Знайдіть довжину дроту.

680. Знайдіть довжину орбіти штучного супутника Землі, якщо він рухається по колу на відстані 320 км від поверхні Землі. Радіус Землі дорівнює приблизно 6370 км.

681. Уявіть, що кулю радіуса 6370 км оперезано по екватору обручем. Якщо довжину цього обруча збільшити на 1 м, він відійде від поверхні кулі (скрізь однаково) на якусь відстань. Знайдіть її.

682. Діаметр колеса тепловоза 0,8 м. Скільки обертів за хвилину робить це колесо, коли тепловоз їде зі швидкістю 60 км/год?

683. Катет прямокутного трикутника дорівнює а, а прилеглий гострий кут р. Знайдіть довжину описаного кола.

684. Як відносяться довжини двох кіл, одне з яких описане навколо правильного трикутника, а друге вписане в нього?

685. Знайдіть довжини ліній, які обмежують фігури, зображені на малюнку 215.

Мал. 215

686. Сторона ромба дорівнює 15 см, а кут — 30°. Знайдіть довжину вписаного кола.

687. Знайдіть довжину кола, описаного навколо трапеції зі сторонами а, а, а і 2а.

688. Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, дорівнює  і служить для одного з кіл стороною правильного вписаного трикутника, а для другого — стороною вписаного квадрата. Знайдіть довжини цих кіл.

689. Знайдіть довжину кола, яке довше від свого діаметра на 21,4 см.

690. Коло радіуса 3 см розігнуте в дугу радіуса 9 см. Знайдіть градусну міру утвореної дуги і міру відповідного їй центрального кута.

691. Навколо трикутника, кути якого пропорційні числам 3, 4 і 5, описано коло радіуса 6 см. Знайдіть довжини його дуг АВ, ВС і СА.

692. Знайдіть довжини дуг, на які коло довжиною 20 см ділить хорда, проведена на відстані 5 см від центра кола.

693. Довжина кола 24 см. Знайдіть довжини дуг, на які це коло ділить хорда довжиною 12 см.

694. З точки А кола з центром О проведено хорди АВ і АС так, що АС=6см, ВОС = 120°. Знайдіть довжини дуг АВ, АС і ВС, якщо довжина кола 12 см. Скільки розв’язків має задача?

695. Хорда стягує дугу кола завдовжки , градусна міра якої n°. Знайдіть довжину хорди.

696. Знайдіть довжину приводного паса, який сполучає два шківи, якщо їх радіуси дорівнюють 10 см і 30 см, а відстань між центрами ОО1 = 1 м (мал. 216).

Мал. 216

Практичне завдання

697. а) У декартовій системі координат, у якій одиничний відрізок має довжину 1 см, на проміжку [-2; 3] побудуйте графік функції у = х2. За допомогою циркуля і лінійки знайдіть наближену довжину цього графіка.

б) Аналогічно знайдіть наближену довжину частини золотої спіралі, зображеної на малюнку 217. Який розхил циркуля доцільно взяти у цьому випадку? Дізнайтеся більше про цю спіраль.

Чому її так називають?

Мал. 217

Задачі для повторення

698. Знайдіть суму відстаней від центра кола діаметра d до сторін правильного трикутника, вписаного в це коло.

699. Знайдіть периметр шестикутника, вписаного в коло радіуса R.

700. У коло радіуса 3 см впишіть правильний 12-кутник.

701. Сторона ромба дорівнює а, а гострий кут а. Знайдіть діагоналі ромба, площу і радіус вписаного кола.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Золота спіраль у природі






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.