Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 4 Правильні многокутники

§ 20 Площа круга та його частин

Кругом називається частина площини, обмежена колом. Центром, радіусом, діаметром, хордою круга називають відповідно центр, радіус, діаметр, хорду кола, яке обмежує даний круг. Многокутником, вписаним у круг, називають многокутник, вписаний у коло даного круга.

Частина круга, обмежена двома його радіусами, називається сектором (мал. 218, б). Хорда круга розбиває його на два сегменти (мал. 218, в). На малюнку 218 зображено круг, два сектори і два сегменти.

Мал. 218

Що таке площа круга? Відповісти на це запитання нелегко, бо строга теорія площ фігур, обмежених кривими лініями, досить складна; ми її не розглядатимемо. Зауважимо лише, що кожний круг має площу і що площа вписаного в круг правильного n-кутника при необмеженому збільшенні числа n прямує до площі круга. На основі цих тверджень виведемо формулу для обчислення площі круга.

Нехай дано круг довільного радіуса R. Впишемо в нього правильний n-кутник АВСD...(мал. 219).

Якщо ОН — висота трикутника ОАВ, то

і

Многокутник AВСD...F складається з n таких трикутників, тому його площа

де Р — периметр даного многокутника.

Мал. 219

Якщо число n нескінченно збільшувати, то периметр Р наближатиметься до довжини кола 2R, кут  — до 0°, а його косинус — до 1. Тому

Площу круга радіуса R знаходять за формулою

S = R2.

Виведемо формули для обчислення площі сектора та сегмента.

Площа сектора, що відповідає центральному куту 1°, дорівнює  .

Тоді центральному куту n° відповідає сектор, площа якого дорівнює .

Отже, площа сектора круга радіуса R, градусна міра якого становить n°, обчислюється за формулою

Наприклад, якщо радіус сектора ОА = 9 см, а АОB = 120° (мал. 220), то площа цього сектора

Мал. 220

Щоб знайти площу сегмента АМB (мал. 221), треба від площі відповідного сектора відняти площу трикутника ОАB, якщо кут сектора а < 180° (мал. 221, а), або додати площу трикутника ОАB, якщо а > 180° (мал. 221, б). Сектор з кутом 180° — півкруг, його площа дорівнює половині площі відповідного круга.

Мал. 221

Мал. 222

Частиною круга є також кільце, обмежене двома концентричними колами (мал. 222). Якщо радіуси кіл, які обмежують кільце, дорівнюють R і r, то площа кільця

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Цікаві з погляду геометрії частини круга, обмежені дугами двох кіл, — лінзи (мал. 223) і серпики (мал. 224). Подумайте, як можна визначати площі таких фігур, знаючи, наприклад, радіуси кіл, які їх обмежують, і відстань між їх центрами.

Для прикладу розглянемо такий серпик, обмежений півколом радіуса r і чвертю кола радіуса r (мал. 225). Його площа

S =  - ((r)2 - r2 ) = r2.

Площа серпика АКВР дорівнює площі квадрата АOO1Н. Існують серпики, квадратура яких можлива! Це довів ще в V ст. до н. е. Гіппократ Хіоський. (Не плутайте з давньогрецьким лікарем, автором «Клятви Гіппократа», який жив у ІІІ ст. до н. е.)

Квадратура фігури — це обчислення її площі. Раніше говорили, що квадратура фігури можлива, якщо можна побудувати (циркулем і лінійкою!) квадрат, рівновеликий даній фігурі.

Мал. 223

Мал. 224

Мал. 225

Запитання для самоконтролю

1. Що називається кругом?

2. За якою формулою знаходять площу круга?

3. Що називається сектором?

4. За якою формулою знаходять площу сектора?

5. Що називається сегментом?

6. За якою формулою знаходять площу сегмента?

7. Що називається кільцем? За якою формулою знаходять площу кільця?

Виконаємо разом

1. У правильний трикутник вписано коло радіуса r і навколо нього описано коло. Знайдіть площу кільця, обмеженого цими колами.

Задачі відповідає малюнок 226, на якому ОН = r, ОС = R. Оскільки у правильному трикутнику R = 2r, то площа кільця

S = R2 - r2 =  (R2 - r2) =   (4r2 - r2) = Зr2.

Мал. 226

2. Три кола радіуса r попарно мають зовнішній дотик. Обчисліть площу «криволінійного трикутника», обмеженого дугами цих кіл.

• Центри даних кіл утворюють рівносторонній трикутник OO1O2 зі стороною 2r (мал. 227). Його площа

Оскільки O2OO1 = 60°, то площа кожного з утворених секторів дорівнює .

Тоді площа шуканої фігури

Мал. 227

Задачі і вправи

Виконайте усно

702. Знайдіть площу круга радіуса 1 м; 2 дм; 5 см.

703. Знайдіть площу круга діаметра 2 дм; 6 см; 3 м.

704. Знайдіть площу півкруга радіуса 6 см.

705. Площа круга дорівнює З м2. Чому дорівнює його радіус?

706. Знайдіть площу круга, описаного навколо квадрата з діагоналлю d.

707. Знайдіть площу круга, вписаного в квадрат зі стороною а.

708. Як зміниться площа круга, якщо його радіус збільшити у 2 рази?

709. Як зміниться площа круга, якщо його діаметр зменшити у 3 рази?

710. Розв’яжіть ребус за малюнком 228.

Мал. 228

711. Обчисліть площу круга, радіус якого дорівнює 8 см; 10 см; 5 см.

712. Обчисліть площу круга, діаметр якого дорівнює 6 см; 18 см; 22 см.

713. Площа круга дорівнює S. Знайдіть довжину кола, яке обмежує його, якщо 5 дорівнює:

а) 12,56 см2;

б) 16 см2;

в) 1,44 см2.

714. Знайдіть площу циркової арени, довжина кола якої 41 м.

715. Побудуйте круг, площа якого дорівнює 4 см2, впишіть у нього квадрат. Знайдіть площу круга, вписаного в цей квадрат.

716. Площі двох кругів відносяться як 4 : 9. Знайдіть відношення довжин їх кіл.

717. Знайдіть площу круга, якщо сторони вписаного в нього прямокутника дорівнюють 12 см і 16 см.

718. Знайдіть відношення площ кругів: а) вписаного у правильний трикутник; б) описаного навколо того самого трикутника.

719. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть площу: а) круга, вписаного в трикутник; б) круга, описаного навколо трикутника.

720. Знайдіть площу кільця, обмеженого концентричними колами радіусів 2 см і 5 см.

721. Площа кільця, обмеженого двома концентричними колами, дорівнює 63 см2. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо:

а) один з них на 3 см більший за другий;

б) вони пропорційні числам 3 і 4;

в) їх сума дорівнює 21 см.

722. Знайдіть площу сектора круга радіуса 12 см, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює:

а) 40°;

б) 60°;

в) 120°;

г) 270°.

723. Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює 6 см, а дуга містить:

а) 60°;

б) 90°;

в) 120°;

г) 150°.

724. Із квадратного листа жерсті вирізали круг найбільшої площі. Скільки відсотків листа становлять відходи?

725. Знайдіть площі зафарбованих фігур (мал. 229-231).

Мал. 229

Мал. 230

Мал. 231

726. Сума катетів прямокутного трикутника на 10 см більша від гіпотенузи. Знайдіть площу круга, вписаного в цей трикутник.

727. На сторонах прямокутного трикутника, як на діаметрах, побудовано три півкруги. Доведіть, що площа найбільшого з них дорівнює сумі площ двох інших.

728. Сторона правильного шестикутника дорівнює 3 см. Знайдіть площі кругів: вписаного в цей шестикутник і описаного навколо нього.

729. Площа круга, описаного навколо рівнобедреного трикутника, дорівнює 100 см2. Знайдіть площу круга, вписаного в цей трикутник, якщо висота, проведена до основи, дорівнює 18 см.

730. Площа круга, вписаного в прямокутну трапецію, дорівнює 144 см2. Знайдіть площу трапеції, якщо її більша основа 36 см.

731. Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть площу кільця, утвореного вписаним і описаним навколо трикутника колами.

732. Навколо правильного n-кутника зі стороною а описано коло і в нього вписано коло. Доведіть, що площа кільця, обмеженого цими колами, не залежить від числа .

733. Установіть відповідність між зафарбованими фігурами (1-4), зображеними на малюнку 232, та їх площами (А-Д).

Мал. 232

А

Б

В

Г

Д

36

27

25

16

9

734. У круговий сектор з кутом 60° вписано круг (мал. 233). Знайдіть відношення площі сектора до площі вписаного круга.

735. Знайдіть площу круга, вписаного в сегмент круга радіуса R, дуга якого 120° (мал. 234).

Мал. 233

Мал. 234

736. Знайдіть радіус круга, якщо площа сектора цього круга дорівнює 20 см2, а відповідний центральний кут дорівнює 72°.

737. Хорда довжиною 9 см ділить круг діаметра 18 см на два сегменти. Знайдіть площі цих сегментів.

738. У крузі радіуса R проведено дві паралельні хорди, кожна з яких стягує дугу 60°. Знайдіть площу частини круга, що міститься між хордами.

739. Знайдіть площу спільної частини круга діаметра АВ і трикутника АВС, якщо АВ = ВС = СА = а.

Практичне завдання

740. Накресліть два концентричні кола радіусів R і r та хорду АВ більшого з них, яка дотикається до меншого (мал. 235). Порівняйте площу кільця, обмеженого цими колами, з площею круга діаметра АВ. Дослідіть, чи завжди ці площі рівні.

Мал. 235

Задачі для повторення

741. Знайдіть довжину кола, описаного навколо рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом а.

742. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 10 см і 26 см. Знайдіть довжину кола, вписаного в трикутник.

743. Основи рівнобічної трапеції пропорційні числам 4 і 9, а периметр дорівнює 52 см. Знайдіть довжину кола, вписаного в трапецію.

744. Знайдіть найбільший кут трикутника зі сторонами 9 см, 15 см, 21 см.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Круг у побуті та мистецтві






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.