Розділ 4 Правильні многокутники

Головне в розділі 4

Правильним многокутником називається опуклий многокутник, у якого всі сторони рівні і всі кути рівні. Якщо многокутник правильний, то навколо нього можна описати коло і в нього можна вписати коло. Центрами цих кіл є одна й та сама точка — центр правильного многокутника. Перпендикуляр, опущений з центра правильного многокутника на його сторону, — апофема даного многокутника.

Для обчислення кутів, що стосуються правильного n-кутника, використовують формули:

Внутрішній кут	Зовнішній кут	Центральний кут

Щоб побудувати правильний n-кутник, можна поділити коло на n рівних частин і послідовні точки поділу сполучити відрізками.

Сторона аn правильного n-кутника через радіус R описаного кола і радіус r вписаного кола виражається формулами:

Зокрема,

і

Сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола. Для правильного n-кутника зі стороною а радіус описаного кола (R) та радіус вписаного кола (r) обчислюються за формулами:

Зокрема, при n = 3, 4, 6 ці та інші величини обчислюються за формулами:

	n = 3	n = 4	n = 6
R			а
r
Р	3а	4а	6а
S		а2

Відношення довжини кола до його діаметра дорівнює сталому числу  ≈ 3,14. Тому довжину С кола радіуса R можна визначати за формулою С = 2R. Довжину  дуги кола радіуса R, яка має n градусів, можна визначити за формулою

.

Частина площини, обмежена колом, — круг. Центром, радіусом, діаметром, хордою круга називають відповідно центр, радіус, діаметр, хорду кола, яке обмежує даний круг.

Площу S круга радіуса R знаходять за формулою

S = R².

Частину круга, обмежену двома його радіусами, називають сектором, а частину круга, обмежену його хордою і дугою, — сегментом. Сегмент може бути меншим від півкруга або більшим.

Якщо сектор круга радіуса R має n градусів, то його площу обчислюють за формулою S_сек =  .

Щоб знайти площу сегмента АМВ, треба від площі відповідного сектора відняти площу трикутника ОАВ, якщо кут сектора а < 180°, або додати площу трикутника ОАВ, якщо а > 180°. Сектор з кутом 180° — півкруг, його площа дорівнює половині площі відповідного круга.

Частиною круга є також кільце, обмежене двома концентричними колами. Якщо радіуси кіл, які обмежують кільце, дорівнюють R і r, то площа кільця

Геометрична модель, з точки зору наочності, дуже повчальна і цікава. Конструктивна робота математика, який уперше відкрив теорему, принаймні така ж цінна, як і дедуктивна робота того, хто першим її довів.

ФЕЛІКС ХРИСТИЯН КЛЕЙН(1849-1925)

Відомий німецький математик, історик математики і педагог. Основні роботи стосуються геометрії, теорії алгебраїчних рівнянь, теорії груп, теорії функцій, топології. Його «Ерлангенська програма», у якій подавалася класифікація різних геометрій на основі груп перетворень, мала значний вплив на математиків, суттєво змінила їх погляди на геометрію і подальший розвиток математики. Перший голова Міжнародної комісії з математичної освіти, реформатор шкільної математичної освіти.

Одностороння поверхня «Пляшка Клейна»