Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік
Розділ 4 Правильні многокутники
Головне в розділі 4
Правильним многокутником називається опуклий многокутник, у якого всі сторони рівні і всі кути рівні. Якщо многокутник правильний, то навколо нього можна описати коло і в нього можна вписати коло. Центрами цих кіл є одна й та сама точка — центр правильного многокутника. Перпендикуляр, опущений з центра правильного многокутника на його сторону, — апофема даного многокутника.
Для обчислення кутів, що стосуються правильного n-кутника, використовують формули:
|
Внутрішній кут |
Зовнішній кут |
Центральний кут |
|
|
|
|
Щоб побудувати правильний n-кутник, можна поділити коло на n рівних частин і послідовні точки поділу сполучити відрізками.
Сторона аn правильного n-кутника через радіус R описаного кола і радіус r вписаного кола виражається формулами:
Зокрема,
і
Сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола. Для правильного n-кутника зі стороною а радіус описаного кола (R) та радіус вписаного кола (r) обчислюються за формулами:
Зокрема, при n = 3, 4, 6 ці та інші величини обчислюються за формулами:
|
n = 3 |
n = 4 |
n = 6 |
|
|
R |
|
|
а |
|
r |
|
|
|
|
Р |
3а |
4а |
6а |
|
S |
|
а2 |
|
Відношення довжини кола до його діаметра дорівнює сталому числу 
≈ 3,14. Тому довжину С кола радіуса R можна визначати за формулою С = 2R. Довжину 
дуги кола радіуса R, яка має n градусів, можна визначити за формулою
.
Частина площини, обмежена колом, — круг. Центром, радіусом, діаметром, хордою круга називають відповідно центр, радіус, діаметр, хорду кола, яке обмежує даний круг.
Площу S круга радіуса R знаходять за формулою
S = R2.
Частину круга, обмежену двома його радіусами, називають сектором, а частину круга, обмежену його хордою і дугою, — сегментом. Сегмент може бути меншим від півкруга або більшим.
Якщо сектор круга радіуса R має n градусів, то його площу обчислюють за формулою Sсек = 
.
Щоб знайти площу сегмента АМВ, треба від площі відповідного сектора відняти площу трикутника ОАВ, якщо кут сектора а < 180°, або додати площу трикутника ОАВ, якщо а > 180°. Сектор з кутом 180° — півкруг, його площа дорівнює половині площі відповідного круга.
Частиною круга є також кільце, обмежене двома концентричними колами. Якщо радіуси кіл, які обмежують кільце, дорівнюють R і r, то площа кільця
Геометрична модель, з точки зору наочності, дуже повчальна і цікава. Конструктивна робота математика, який уперше відкрив теорему, принаймні така ж цінна, як і дедуктивна робота того, хто першим її довів.
ФЕЛІКС ХРИСТИЯН КЛЕЙН(1849-1925)
Відомий німецький математик, історик математики і педагог. Основні роботи стосуються геометрії, теорії алгебраїчних рівнянь, теорії груп, теорії функцій, топології. Його «Ерлангенська програма», у якій подавалася класифікація різних геометрій на основі груп перетворень, мала значний вплив на математиків, суттєво змінила їх погляди на геометрію і подальший розвиток математики. Перший голова Міжнародної комісії з математичної освіти, реформатор шкільної математичної освіти.
Одностороння поверхня «Пляшка Клейна»