Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 5 Геометричні перетворення

§ 21 Переміщення та його властивості

Розглянемо, як утворюють орнаменти, які використовують для оздоблення шпалер, килимів, одягу, прикрас та інших предметів побуту. Спочатку обирають базовий елемент орнаменту (мотив) — частину візерунка, що багаторазово повторюється (мал. 238). Найпростіший стрічковий орнамент можна отримати, якщо змістити мотив у вибраному напрямі та повторити цю операцію декілька разів (мал. 239).

Мал. 238

Мал. 239

Зміщуючи мотив орнаменту в різних напрямах, можна отримати багато різних орнаментів за допомогою одного і того самого мотиву (мал. 240).

Мал. 240

Якщо точки фігури F змістити яким-небудь способом, то дістанемо нову фігуру F1. Якщо при цьому різні точки фігури F переходять (відображаються) в різні точки фігури F1, то говорять про геометричне перетворення фігури F у фігуру F1. При цьому фігуру F1 називають образом фігури F, а фігуру F — прообразом фігури F1.

На малюнках 241-245 зображено приклади геометричних перетворень фігур F у фігури F1. Зверніть увагу, що в результаті чотирьох перших перетворень (мал. 241-244) відстані між відповідними точками зберігаються: АВ = А1В1. У п’ятому випадку (мал. 245) відстані між точками фігури F і відповідними точками фігури F1 не зберігаються: АВ А1В1.

Мал. 241

Мал. 242

Мал. 243

Мал. 244

Мал. 245

Геометричні перетворення, при яких зберігаються відстані між точками, називають переміщеннями (або рухами).

Далі ми розглянемо окремі види переміщень: симетрію відносно точки (мал. 241), симетрію відносно прямої (мал. 242), поворот (мал. 243) і паралельне перенесення (мал. 244). Спочатку звернемо увагу на загальні властивості переміщень. Пригадаємо, що точка В лежить між точками А і С тоді і тільки тоді, коли В — внутрішня точка відрізка АС, тобто коли виконується рівність АВ + ВС = АС.

ТЕОРЕМА 12

Якщо точка В лежить між точками А і С, а переміщення відображає їх відповідно на точки В1, А1 і С1, то В1 лежить між А1 і С1.

ДОВЕДЕННЯ.

Якщо точка В лежить між точками А і С, то АВ + ВС = АС (мал. 246). При переміщенні відстані між точками зберігаються: АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = А1С1. Підставивши ці значення в рівність АВ + ВС = АС, дістанемо: А1В1 + В1С1 =  А1С1. А це й означає, що точка В1 лежить між точками А1 і С1.

Мал. 246

ТЕОРЕМА 13

Переміщення відображає відрізок на рівний йому відрізок.

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай АС — відрізок, а В — його довільна внутрішня точка (мал. 247). Розглянемо довільне переміщення. Згідно з теоремою 12 кожне переміщення відображає точки А, С і В на такі точки А1, С1 і В1, що точка В1 лежить між точками А1 і С1. Отже, це переміщення кожну точку відрізка АС відображає на деяку точку відрізкаА1С1.

Мал. 247

Розглянемо ще довільну точку Х1 відрізка А1С1. Відкладемо на АС відрізок АХ, який дорівнює А1Х1. Оскільки при переміщенні відстані між точками зберігаються, то точка Х відрізка АС відображається на точку Хвідрізка А1С1.

Отже, кожна точка відрізка АС при переміщенні відображається на деяку точку відрізка А1С1, і при цьому переміщенні кожну точку відрізка А1С1 одержано з деякої точки відрізка АС. Це й означає, що переміщення відображає відрізок АС на відрізок А1С1. При цьому А1С1 = АС.

Із двох попередніх теорем випливає, що переміщення відображає: пряму — на пряму, промінь — на промінь, кут — на рівний йому кут, трикутник — на рівний йому трикутник.

Користуючись поняттям переміщення, можна ввести загальне поняття рівності довільних геометричних фігур.

Дві фігури називають рівними, якщо вони переміщенням переводяться одна в одну.

Із цього означення випливає:

1) якщо фігура F дорівнює F1, то і F1 дорівнює F;

2) якщо фігура F дорівнює F1, а F1 дорівнює F2, то F дорівнює F2.

Відомі вам із попередніх класів означення рівності відрізків, кутів і трикутників не суперечать новому загальному означенню рівності фігур.

Із попередніх міркувань випливають такі твердження:

1) кожне переміщення відображає будь-яку фігуру на рівну їй фігуру;

2) якщо дві геометричні фігури рівні, то існує переміщення, яке відображає одну з них на другу.

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Уявіть, що кожну точку кола w спроектували на пряму а (мал. 248). У результаті утвориться відрізок АВ. Чи можна таке відображення кола на відрізок АВ вважати геометричним перетворенням даного кола? Ні, бо при такому відображенні дві різні точки К і Р кола відобразилися на одну точку Т відрізка.

Геометричним перетворенням фігури F у F1 називають таке відображення, при якому:

1) кожній точці фігури F відповідає єдина точка фігури F1;

2) кожна точка фігури F1 є образом деякої точки фігури F;

3) різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F1.

Переміщення фігури на площині можна уявити як зміну положення цієї фігури на площині, а краще — у вигляді зміщення всієї площини разом з фігурою на ній.

Мал. 248

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Які геометричні перетворення називають переміщеннями?

2. На яку фігуру переміщення відображає:

а) відрізок; б) пряму; в) кут; г) трикутник?

3. Сформулюйте загальне означення рівності двох фігур.

4. Які властивості мають рівні фігури?

Виконаємо разом

Доведіть, що переміщення відображає кут на рівний йому кут.

Нехай дано кут АВС (мал. 249). Сполучимо відрізком довільні точки А і С його сторін, одержимо АВС. Цей трикутник переміщенням відображається на А1В1С1, що дорівнює АВС (бо АВ = А1В1, АС = А1С1, ВС = В1С1), а даний кут АВС — на кут А1В1С1.

Оскільки відповідні кути рівних трикутників рівні, то А1В1С1 = АВС.

А це й треба було довести.

Мал. 249

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

745. Чи правильно виражає співвідношення між переміщеннями і геометричними перетвореннями діаграма, зображена на малюнку 250?

746. Скільки існує точок, які лежать між точками А і В?

747. Чи правильно, що кожне геометричне перетворення відображає відрізок на відрізок?

748. Чи правильно, що кожне переміщення відображає відрізок на відрізок?

749. Чи може геометричне перетворення відобразити відрізок завдовжки 2 см на відрізок завдовжки 3 см?

750. Чи може переміщення відобразити відрізок на нерівний йому відрізок?

751. Чи може переміщення відобразити коло на круг? А круг — на коло?

752. Чи може переміщення відобразити рівнобедрений трикутник на різносторонній трикутник?

Мал. 250

753. Чи існує переміщення, яке відображає трикутник на чотирикутник? А чотирикутник — на трикутник?

754. Чи рівні фігури, зображені на малюнку 251?

Мал. 251

755. Дано відрізки АВ = 3 см, СР = 5 см і КМ = 5 см. Доведіть, що існує переміщення, яке відображає відрізок КМ на СР, і не існує переміщення, яке відображає СР на АВ.

756. Трикутник АВС — рівносторонній. Чи існує переміщення, яке відображає відрізок АВ на відрізок АС, кут А на кут В? Відповідь обґрунтуйте.

757. Доведіть, що переміщення відображає трикутник на рівний йому трикутник.

758. Знайдіть кути трикутника, якщо існує переміщення, яке відображає трикутник, один із кутів якого дорівнює 30°, на трикутник, один із кутів якого — 50°.

759. В одному трикутнику є кут 100°, а в другому — кут 120°. Чи існує переміщення, яке відображає один трикутник на другий? Чи можуть бути рівними ці трикутники?

760. Установіть вид трикутника, якщо існує переміщення, яке кожну сторону трикутника відображає на іншу його сторону.

761. Дано рівнобедрений прямокутний трикутник. Доведіть, що існує переміщення, яке відображає катет на другий катет. Чи існує переміщення, яке відображає катет на гіпотенузу?

762. Установіть вид чотирикутника, якщо існує переміщення, яке кожну його сторону відображає на іншу сторону.

763. Градусні міри двох дуг рівні. Чи можуть бути нерівними їх довжини? Чи завжди існує переміщення, яке відображає одну з цих дуг на іншу? Зробіть відповідні малюнки.

764. Периметр квадрата дорівнює 28 см. Чи існує переміщення, яке відображає даний квадрат на:

а) квадрат площею 49 см;

б) прямокутник периметра 28 см;

в) квадрат, описаний навколо кола радіуса 3,5 см;

г) ромб з діагоналями 4 см і 2 см?

765. Переміщення відображає ламану АВС на ламану КРТ (мал. 252). Побудуйте точки, на які відображаються цим переміщенням точки X, Y.

Мал. 252

766. Доведіть, що переміщення відображає коло на коло.

767. Доведіть, що переміщення відображає паралельні прямі на паралельні прямі.

768. Переміщення відображає АВС на KPT. Доведіть, що це переміщення відображає:

а) медіани першого трикутника на медіани другого;

б) бісектриси першого трикутника на бісектриси другого;

в) висоти першого трикутника на висоти другого.

769. При переміщенні точка відображається на точку O1(-4; 5). Запишіть рівняння кола з центром у точці O1якщо

 (х - 2)2 + (y + 3)2 = 17 — рівняння кола з центром у точці O.

770. Відкрита задача. Переміщення відображає коло ... на коло з центром у точці ... . Знайдіть ... .

771. Дано точки А(-3; 2), В(1; 4), С(-5; -1), D(-1; -3). Доведіть, що:

а) існує переміщення, яке відображає відрізок АВ на відрізок CD;

б) не існує переміщення, яке відображає відрізок АС на відрізок BD.

772. Ромб ABCD з периметром 20 см і кутом 60° при деякому переміщенні відображається на чотирикутник MNPK. Знайдіть діагоналі й площу цього чотирикутника.

773. При переміщенні АВС (= 90°) з катетами 5 см і 12 см відображається на ∆KMN. Знайдіть синуси кутів ∆KMN.

774. Якщо діагоналі одного ромба дорівнюють відповідно діагоналям другого ромба, то такі ромби рівні. Доведіть.

775. Якщо діагональ і сторона одного прямокутника дорівнюють відповідно діагоналі і стороні другого, то такі прямокутники рівні. Доведіть.

776. Сформулюйте і доведіть яку-небудь ознаку рівності паралелограмів.

Практичне завдання

777. а) Перемалюйте в зошит малюнок 253 і побудуйте фігуру, на яку відображається дане коло переміщенням, що переводить ABC в КРТ.

б) Перемалюйте в зошит малюнок 254. Зобразіть фігуру, у яку переходить коло внаслідок переміщення, яке відображає ламану ABC на ламану КРТ.

Мал. 253

Мал. 254

Задачі для повторення

778. Синус одного з кутів прямокутного трикутника дорівнює 0,4. Знайдіть синуси двох інших кутів трикутника.

779. Через кінець діаметра кола проведено хорду, вдвічі коротшу від діаметра. Знайдіть кут між ними.

780. Прямі а і cперетинаються під кутом а. Під яким кутом перетинаються прямі х і у, якщо:

а) а͡x і c͡͡у;

б) а  х і c у ?

781. Знайдіть кути трикутника, якщо два його зовнішні кути дорівнюють 100° і 120°.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Такі різні переміщення






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.