Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 5 Геометричні перетворення

§ 22 Симетрія відносно точки

Точки Х і Х1 називаються симетричними відносно точки О, якщо О — середина відрізка ХХ1 (мал. 255). Якщо відносно О кожна точка фігури симетрична деякій точці фігури F1і навпаки, то фігури F і F1 симетричні відносно точки О (мал. 256). Таке відображення фігури F на F1 називають перетворенням симетрії відносно точки О.

Мал. 255

Мал. 256

ТЕОРЕМА 14

Симетрія відносно точки — переміщення.

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай симетрія відносно точки Oвідображає довільні точки і фігури Fна точки Aі Bфігури F1(мал. 257). Доведемо, що ABA1B1.

Точка O— середина відрізків AAі BB1, тому OAOAі OBOB1.

Якщо точки Aі не лежать на одній прямій, то кути AOBі A1OBрівні, бо вертикальні. За двома сторонами і кутом між ними трикутники ABO і A1B1рівні, тому ABA1B1.

Якщо, наприклад, точка лежить між і O(мал. 258), то

AB OA OB OA1OB1A1B1.

Якщо точка лежить між і B(мал. 259), то

AB OA OB OA1OB1A1B1.

Отже, якщо точки і Bсиметричні точкам Aі Bвідносно точки O, то завжди ABA1B1. Тому симетрія відносно точки — переміщення.

Мал. 257

Мал. 258

Мал. 259

Оскільки симетрія відносно точки є переміщенням, то вона відображає пряму на пряму, промінь — на промінь, відрізок — на рівний йому відрізок, кут — на рівний йому кут і взагалі — будь-яку фігуру на рівну їй фігуру.

Симетрію відносно точки (або перетворення симетрії відносно точки) часто називають також центральною симетрією.

Іноді трапляється, що симетрія відносно точки дану фігуру F відображає на цю саму фігуру.

Якщо перетворення симетрії відносно деякої точки О відображає фігуру F на себе (тобто на цю саму фігуру), то таку фігуру називають центрально-симетричною, а точку О — її центром симетрії. Наприклад, кожний паралелограм — центрально-симетрична фігура. Центром симетрії паралелограма є точка перетину його діагоналей.

Кожна точка Х паралелограма симетрична відносно О деякій точці Х1 цього самого паралелограма (мал. 260). Чому? Точку О називають також центром паралелограма. Центрально-симетричними фігурами є коло, квадрат, правильний шестикутник тощо.

Приклади центрально-симетричних фігур, які трапляються в природі, техніці, побуті, спорті, зображені на малюнках 261-263.

Мал. 260

Мал. 261

Мал. 262

Мал. 263

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Розглянемо важливі властивості центрально-симетричних многокутників. Якщо n-кутник має центр симетрії О, то число n парне, бо кожній його вершині відповідає протилежна їй вершина — симетрична відносно О.

ТЕОРЕМА 15

Протилежні сторони центрально-симетричного многокутника паралельні і рівні.

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай ABC...KPT... — центрально-симетричний многокутник, а O— його центр симетрії (мал. 264). Проведемо діагоналі AK і BPЗа двома сторонами і кутом між ними ABO=∆KPOТому ABKP і BAOPKOЦі кути — внутрішні різносторонні при січній AK і прямих AB і KPТому AB^KP.

Мал. 264

Теорема правильна не тільки для опуклих центрально-симетричних многокутників, а й для неопуклих (мал. 265).

Якщо центрально-симетричні фігури обмежені, то вони мають тільки один центр симетрії. Необмежені фігури можуть мати безліч центрів симетрії. Наприклад, нескінченна в обидва боки крива, зображена на малюнку 266, має безліч центрів симетрії. Де вони містяться?

Необмежена у всі боки сітка з рівних квадратів також має безліч центрів симетрії. Ними є: центри всіх квадратиків, усі їх вершини і середини всіх сторін (мал. 267).

Мал. 265

Мал. 266

Мал. 267

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Які точки називають симетричними відносно точки?

2. Чи є перетворення симетрії переміщенням? Доведіть.

3. Сформулюйте властивості симетрії відносно точки.

4. Які фігури називають центрально-симетричними?

5. Наведіть приклади центрально-симетричних фігур.

Виконаємо разом

1. Побудуйте трикутник, симетричний АВС відносно точки О, яка лежить поза трикутником (мал. 268).

Через вершини АВС і точку О проводимо прямі АО, ВО, СО і відкладаємо відрізки ОА1 = ОА, ОВ1 = ОВ, ОС1 = ОС. Сполучивши точки А1, В1, С1, отримаємо А1В1С1, симетричний АВС відносно точки О.

Мал. 268

2.   На прямій дано два рівні відрізки. Вкажіть, де буде їх центр симетрії.

Нехай рівні відрізки АВ і КР лежать на одній прямій. Можливі різні випадки їх розташування (мал. 269), але завжди їх центр симетрії — точка О — ділить навпіл відстань між найвіддаленішими точками даних відрізків.

Мал. 269

3. Дано точку А(а; b). Знайдіть координати точки В, симетричної точці А відносно точки М(mn).

Якщо точка В(х; у) симетрична точці А(а; b) відносно точки М, то точка М(mn) — середина відрізка АВ.

Отже, = m, = nзвідки х = 2m - а, у = 2n - b.

Отже, маємо точку B(2m - а; 2n b).

Задачі і вправи

Виконайте усно

782. Точки А і симетричні відносно точки M. Знайдіть відношення: a) AM AB; б) AM MB.

783. На координатній прямій дано точки А(-2), B(-1), O(0), С(1), D(2). Які з цих точок симетричні відносно інших?

784. Закінчіть формулювання правильного твердження: «Відносно точки перетину діагоналей паралелограма кожна його вершина симетрична..., кожна його сторона симетрична..., кожна його діагональ симетрична...».

785. Назвіть кілька геометричних фігур, які мають центри симетрії.

786. Чи існують фігури, які мають безліч центрів симетрії? Наведіть приклади.

787. Скільки центрів симетрії мають дві паралельні прямі? А дві прямі, які перетинаються?

788. Чи має центр симетрії трикутник або п’ятикутник?

789. Чи має центр симетрії графік функції у = х3?

790. Зобразіть дві фігури, що мають центр симетрії.

791. Дано точки А і О. Побудуйте точку А1, симетричну точці А відносно точки О.

792. Дано відрізок АВ і точку О. Побудуйте відрізок А1В1, симетричний відрізку АВ відносно точки О, якщо:

а) О  АВ;

б) О  АВ;

в) О — середина АВ.

793. Побудуйте фігуру, симетричну прямій а відносно точки Oякщо:

а) O а;

б) O а.

794. Побудуйте довільний трикутник і трикутник, симетричний йому відносно точки Oякщо:

а) Oлежить поза трикутником;

б) Oлежить на стороні трикутника;

в) — вершина трикутника;

г) — точка перетину медіан трикутника.

795. Дано точки A(2; -3), B(4; 2), С(-3; -3), D(-5; 1). Знайдіть координати точок, симетричних даним відносно:

а) початку координат;

б) точки М(1; 1).

796. Відносно якої точки симетричні точки:

а) A(1; 2) і B(5; 6);          

б) М(-1; 0) і H(3; 6);

в) E(2; 6) і С(-8; 3);

г) Р(9; 0) і K(6; 8)?

797. Доведіть, що точки A(ac) і B(-a-c) симетричні відносно початку координат.

798. Дано дві паралельні прямі. Побудуйте геометричне місце їх центрів симетрії.

799. Дано два рівні і паралельні відрізки. Побудуйте їх центр симетрії. Доведіть, що побудована точка — центр симетрії даних відрізків.

800. Накресліть квадрат, ромб, прямокутник і паралелограм. Позначте іншим кольором їх центри симетрії.

801. Доведіть, що центром симетрії ромба є точка перетину його діагоналей.

802. Доведіть, що дві центрально-симетричні прямі паралельні.

803. Добудуйте до даного трикутника фігуру, симетричну цьому трикутнику відносно середини однієї з його сторін.

804. Добудуйте до даної трапеції фігуру, симетричну цій трапеції відносно середини однієї з бічних сторін.

805. Побудуйте центрально-симетричний шестикутник: а) опуклий; б) неопуклий.

806. Два кола рівних радіусів дотикаються зовні в точці M. Доведіть, що — центр симетрії цих кіл.

807. Доведіть, що чотирикутник, який має центр симетрії, — паралелограм.

808. При яких значеннях х і у точки M(-1; у) і N(x; 3) симетричні відносно точки K(2; -1)?

809. Напишіть рівняння кола, яке симетричне колу (х - 2)2 + (у + 3)2 = 20 відносно:

а) початку координат;

б) точки M(3; -2).

810. Установіть, відносно якої точки симетричні кола (х - 1)2 + (у - 5)2 = 6 і (х + 7)2 + (у - 9)2 = 6.

811. Напишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій 2х + у - 6 = 0 відносно: а) початку координат; б) точки K(1; 1).

Побудуйте дані прямі і доведіть, що вони паралельні.

812. + 2у + 11 = 0 і 2х - у + 7 = 0 — рівняння прямих, яким належать сторони квадрата, M(-2; -2) — центр симетрії цього квадрата. Напишіть рівняння двох інших його сторін. Обчисліть периметр і площу квадрата.

813. Дано ABC і точку всередині нього. Побудуйте відрізок з кінцями на сторонах кута такий, щоб точка була його серединою.

814. Установіть відповідність між фігурами (1-4) та координатами (А-Д) їх центра симетрії (якщо він існує).

1

Відрізок АВ, якщо А(-1; 3), В(5; 7)

А

(0,5; 4)

2

Чотирикутник АВСБ, якщо А(-2; 6), В(0; 4), С(3; 2), В(1; 4)

Б

(2; -4)

   

В

(0; 0)

3

Трикутник АВС, якщо А(-2; 2), В(3; 3), С(2; -2)

Г

не існує

4

Коло (х - 2)2 + (у + 4)2 = 9

Д

(2; 5)

815. Перемалюйте в зошит зображений на малюнку 270 семикутник. Добудуйте до нього семикутник, симетричний відносно середини сторони: а) АВ ; б) ВС; в) СВ; г) АK.

Мал. 270

Практичне завдання

816. 1. Виріжте з кольорового паперу дві рівні різнокольорові прямокутні трапеції і розташуйте їх на столі так, щоб вони виявились симетричними відносно:

а) однієї з вершин трапеції (4 випадки);

б) середини однієї її сторони (4 випадки);

в) довільної точки найбільшої сторони;

г) довільної точки, розташованої поза трапецією;

д) точки перетину діагоналей однієї трапеції.

2. На основі результатів завдання 1 намалюйте орнамент, мотивом якого є прямокутна трапеція. Сфотографуйте створений орнамент і ознайомте з ним своїх рідних і однокласників.

Задачі для повторення

817. Клумба має форму правильного восьмикутника, вписаного в круг, радіус якого дорівнює 5 м. Передбачається, що восьмикутник буде засаджено багаторічними квітучими рослинами, а решта круга — газонною травою. Скільки газонної трави потрібно підготувати для цієї клумби, якщо у середньому на 1 кв. м. землі висівають 9 г насіння трави?

818. Чи існує переміщення, яке відображає одну сторону квадрата на протилежну сторону? А на сусідню сторону?

819. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 24 см. Знайдіть синус, косинус і тангенс його найменшого кута.

820. Знайдіть кути ромба, якщо його периметр у 4 рази більший за одну з його діагоналей.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Симетрія відносно точки у роботах Мауріца Ешера






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.