Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 1 Метод координат на площині

§ 2 Тригонометричні тотожності

Розглянемо найважливіші формули, що пов’язують синус, косинус і тангенс одного й того самого кута а. Нехай а — гострий кут. На одиничному колі позначимо точку таку, що MOA = а (мал. 13). Тоді MH sin а, OH cos а, OM = 1. За теоремою Піфагора MH2OH2OM2або

sin2а + cos2а = 1.                            (*)

Мал. 13

Мал. 14

Якщо кут а тупий (мал. 14), то з прямокутного трикутника OMH (OM = 1, MH sin а, OH = - cos а) за теоремою Піфагора маємо:

MH2 HO2OM2або sin2а + (- cos а)2 = 1, звідки sin2а + cos2а = 1. Рівність (*) правильна і в цьому випадку.

Якщо а = 0°, то sin а = 0, cos а = 1; якщо а = 90°, то sin а = 1, cos а = 0; якщо а = 180°, то sin а = 0, cos а = -1.

У кожному з цих випадків рівність (*) правильна.

Отже, для кожного а, якщо 0°≤ а ≤ 180°, sin2а + cos2а = 1.

Це — основна тригонометрична тотожність. Вона пов’язує синус і косинус одного кута і дає змогу виражати одну з цих тригонометричних функцій через іншу:

sin а cos а = ±.

У другій формулі перед коренем ставлять знак «-», якщо кут а тупий.

Кутів, більших від розгорнутого, ми не розглядаємо.

Звернімо увагу на точки і одиничного кола, які відповідають кутам 180° - а і а (мал. 15). Їх ординати NN1і MM1рівні, а абсциси ON1і OM1відрізняються тільки знаками.

Мал. 15

Отже, завжди

sin (180° - а) = sin а,

cos (180° - а) = - cos а.

За цими формулами синус і косинус тупого кута 180° - а можна виразити через синус і косинус гострого кута а. Наприклад:

sin 147° = sin (180° - 33°) = sin 33°,

cos 105° = cos (180° - 75°) = -cos 75°.

Доведемо ще формули:

cos (90° - а) = sin а,

sin (90° - а ) = cos а.

Нехай MOA = а, TOA = 90° - а (мал. 16).

Тоді POT = а. За гіпотенузою і гострим кутом ∆MOH =TOP. Звідси PT MH, OP OH.

Оскільки PT cos (90° - а), MH = sin а, то cos(90°- а) = sin а. Оскільки OP sin (90°- а), OH = cos а, то sin (90° - а) = cos а.

Доведені дві формули дають змогу виразити синус і косинус будь-якого гострого кута, більшого від 45°, через косинус і синус кута, меншого від 45°. Отже, значення синусів кутів від 0° до 45° є водночас значеннями косинусів кутів від 90° до 45° (див. таблицю на форзаці).

Приклад.

sin 10° = cos 80° ≈ 0,174;

cos 50° = sin 40° ≈ 0,643.

Мал. 16

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Оскільки sin (90°-а) = cos а і cos (90°-а) = sin а, то

tg(90° - a) =  =  = ctg a.

Оскільки sin (180°-а) = sin а і cos (180°-а) = - cos а, то

tg(180° - a) =  =  = -tg a

Усі ці рівності правильні за умови, якщо знаменники відмінні від нуля, тобто якщо тангенси і котангенси існують. За таких умов tg (90°-а) = ctg а, tg (180°-а) = -tg а.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте основну тригонометричну тотожність.

2. Якими мають бути праві частини тотожностей: а) sin (90°- а)= ...; б) cos(90°- а)= ...; в) sin(180°- а)= ...; г) cos(180°- а)= ...?

3. Як змінюється значення sin (90°-а), якщо значення а збільшувати від 0° до 90° ?

4. Як змінюється значення cos(180°- а), якщо значення а збільшувати від 0° до 90°?

Виконаємо разом

Знаючи, що cos а = 0,6, знайдіть sin а і tg а.

Відомо, що sin2а + cos2а = 1. Оскільки синус кожного кута а, якщо 0°≤ а ≤ 180°, є число додатне, то sin а = .

Якщо cos а = 0,6, то sin а = = = 0,8,

а tg а =   = = 1.

Отже, sin а = 0,8, tg а = 1 .

Доведіть, що коли а ≠ 0°, то sin а : cos (90°- а) = 1.

cos (90°- а) = sin а. Тому sin а : cos (90°- а) = sin а : sin а = 1.

Обчисліть значення виразу sin 77° · cos 13° - sin 167° · cos 77°.

sin 77° · cos 13° - sin 167° · cos 77° = sin (90° - 13°) · cos 13° + sin (180° - 13°) x  cos (90° - 13°) = cos 13° · cos 13° + sin 13° · sin 13° = cos2 13° + sin2 13° = 1.

Задачі і вправи

Виконайте усно

46. Знайдіть cos а і sin а, якщо tg а = 1.

47. Знайдіть sin а, якщо cos а = -0,5.

48. Знаючи, що cos а = 0,7, знайдіть:

а) sin(90°- а);

б) cos(180°- а);

в) cos(90°- а).

49. Спростіть:

а) sin (180° - 35°);

б) cos (180° - 43°);

в) tg (180° - 20°);

г) sin (90° - 23°);

ґ) cos (90° - 27°);

д) tg (90° - 14°).

50. Закінчіть перетворення:

а) sin 140° = sin (180° - 40°) = ...;

б) cos 126° = cos (180° - 54°) = ...;

в) sin 85° = sin (90° - 5°) = ...;

г) cos 62° = cos (90° - 28°) = ... .

51. Які з тверджень хибні? Чому?

а) sin 136° = sin (180° - 44°) = sin 44°;

б) cos 147° = cos (180° - 33°) = cos 33°;

в) sin 75° = sin (90° - 15°) = -cos 15°;

г) cos 153° = cos (180° - 27°) = -sin 27°.

52. Знайдіть синус і тангенс кута а, якщо:

a) cos а = ;

б) cos а = 0,2;

в) cos а = -0,5.

53. Знайдіть косинус і тангенс гострого кута а, якщо:

а) sin а = ;

б) sin а = ;

в) sin а = 0,72.

54. Знайдіть косинус і тангенс тупого кута а, якщо:

а) sin а = ;

б) sin а = ;

в) sin а = 0,28.

55. Які числа мають бути в порожніх клітинках таблиці?

sin а

0

0,5

0,6

0,8

1

sin (90° - а)

         

cos (90° - а)

         

sin (180° - а)

         

cos(180°- а)

         

56. Запишіть через тригонометричні функції гострого кута:

а) sin 117°;      

б) cos 142°;      

в) tg 118°;        

г) sin 136°.

57. Запишіть через тригонометричні функції кута, меншого за 45°:

а) cos 130°;      

б) sin 145°;      

в) tg 87°;          

г) cos 95°.

58. З наведених рівностей випишіть тільки правильні:

а) sin 130° = sin 50°;       

б) sin 129° = -cos 39°;  

в) tg 118° = -tg 62°;

г) tg 117° = tg 27°;

ґ) cos 87° = sin 3°;

д) cos 113° = cos 67°;

е) cos 126° = -cos 54°;

є) cos 149° = -sin 31°;

ж) tg 29° = -tg 151°.

59. Косинус гострого кута паралелограма дорівнює 0,25. Чому дорівнює косинус його тупого кута? А синус?

60. Косинус тупого кута ромба дорівнює -0,7. Чому дорівнює косинус його гострого кута? А синус?

61. За таблицею, що на форзаці, знайдіть:

а) sin 12°, sin 40°, sin 145°, sin 162°, sin 155°;

б) cos 12°, cos 50°, cos 159°, cos 183°, cos 100°;

в) tg 12°, tg 18°, tg 142°, tg 148°, tg 170°.

62. Установіть відповідність між значеннями синуса кута а (1-4) та відповідними значеннями косинуса цього кута (А-Д).

1

 0,5 (кут а — гострий)

А

-0,8

2

0,6 (кут а — тупий)

Б

3

 (кут а - гострий)

   

4

 (кут а  — тупий)

В

   

Г

Д

0,6

63. Установіть відповідність між значеннями виразів (1-4) та значеннями виразів (А-Д).

1

sin

10°

А

sin

44°

2

cos

46°

Б

sin

57°

3

sin

123°

В

cos

134°

4

cos

45°

Г

cos

80°

     

Д

sin

45°

64. Обчисліть:

а) sin 29° · cos 61° - cos 29° · cos 151°;

б) 1 - sin 37° · sin 143° - cos2 37°;

в) tg 43° · cos 137° · cos 47° - cos 43° · sin 47°.

65. Замість поставте знаки >, < або = :

а) sin 12° * cos 80°;  

б) cos 54° * sin 36°;

в) tg 36° * tg 112°;

г) cos 36° * sin 31°;

ґ) sin 115° * cos 27°; 

д) cos 139° * sin 140°.

66. Знайдіть міри тупих кутів а,  і , якщо відомо:

а) sin а = 0,156; sin  = 0,309; sin  = 0,719;

б) cos а = -0,921; cos  = -0,998; cos  = -0,777;

в) tg а = -0,111; tg  = -1,306; tg  = -2,050.

67. Доведіть, що:

а) sin 135° = sin 45° = cos 45°;

б) cos 140° = -cos 40° = -sin 50°.

68. Доведіть тотожності:

а) sin2а - cos(180°- а) - sin(90°- а) -1 = 0;

б) 1 + tg(180°- а) · sin(90°- а) · sin а = cos2(180°- а).

69. Доведіть, що:

а) 1 + tg2а =  ;

б) 1 + ctg2а=  .

70. Використовуючи формули з № 69, знайдіть:

а)sin acos а і ctg а, якщо tgа = ;

б)sin а, cos а і tg а, якщо ctg а = 2.

71. Спростіть вирази:

72. Косинус гострого кута прямокутної трапеції дорівнює . Знайдітьсинуси та косинуси кутів трапеції.

73. Косинус гострого кута паралелограма дорівнює а. Знайдіть синус його тупого кута.

74. Синус тупого кута ромба дорівнює а. Знайдіть косинуси його кутів. При яких значеннях а задача має розв’язки?

75. Доведіть: а) синуси будь-яких двох кутів паралелограма або рівнобічної трапеції рівні; б) сума косинусів усіх кутів паралелограма або трапеції дорівнює нулю.

Практичне завдання

76. Накресліть довільний паралелограм АBСD. Виміряйте за допомогою транспортира його кути і знайдіть їх синуси, косинуси і тангенси. Отримані дані занесіть у таблицю. Який висновок можна зробити?

 

a

sin a

cos a

tg a

 A

       

 B

       

 C

       

 D

       

Задачі для повторення

77. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо тангенс одного з них дорівнює -1.

78. Спортсмен біжить у південному напрямі 4 км, а потім повертає на північ і біжить ще 3 км. Знайдіть: а) на якій відстані опинився спортсмен від початкової точки; б) на який кут змістився спортсмен по відношенню до руху у південному напрямі?

79. Сторона ромба дорівнює а, а гострий кут а. Знайдіть діагоналі ромба.

80. Знайдіть знак добутку:

а) sin 146° ∙cos 108° ∙cos 67° ∙tg 145°;

б) tg 78° ∙sin 92° ∙sin 167° ∙tg 178° ∙cos 83°.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.