Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 5 Геометричні перетворення

§ 2Симетрія відносно прямої

Точки X і Х1 називаються симетричними відносно прямої , якщо ця пряма — серединний перпендикуляр відрізка XX1 (мал. 271). Якщо точка X лежить на прямій , вона вважається симетричною сама собі відносно прямої .

Перетворення фігури F, при якому кожна її точка відображається на симетричну їй відносно прямої  точку, називається перетворенням симетрії відносно прямої . Якщо при цьому перетворенні фігура F відображається на F1, то ці дві фігури називають симетричними відносно прямої .

Мал. 271

ТЕОРЕМА 16

Перетворення симетрії відносно прямої є переміщенням.

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай довільні точки X і Y фігури F перетворенням симетрії відносно прямої  відображаються на точки Х1 і Y1 фігури F1 (мал. 272, а). Доведемо, що ХY = Х1Y1.

Мал. 272

Якщо К і Р — точки перетину відрізків ХХ1 і YY1 з прямою , то ХКР =Х1КР (за двома катетами). Отже, ХР = Х1Р і

 1 = 2, звідки ХРУ = Х1РY1. Оскільки РY = РY1, то ∆ХУР =∆Х1Y1Р, тому ХY = Х1Y1.

Якщо точки Х, Y, Х1 і Y1 лежать на одній прямій (мал. 272, б), то

ХY = |КХ - КY| = |КХ1 - КY1| = Х1Y1.

Отже, в обох випадках ХY = Х1Y1, тобто перетворення симетрії відносно прямої зберігає відстані між точками. Це перетворення — переміщення.

З доведеної теореми випливає, що перетворення симетрії відносно прямої відображає пряму на пряму, будь-яку фігуру — на рівну їй фігуру.

Якщо при симетрії відносно прямої  фігура F відображається на себе, таку фігуру називають симетричною відносно прямої, а пряму  — віссю симетрії фігури F. Наприклад, рівнобічна трапеція симетрична відносно прямої, що проходить через середини її основ (мал. 273). Ромб, відмінний від квадрата, має дві осі симетрії (мал. 274), квадрат — чотири (мал. 275), а коло — безліч. Правильний n-кутник має n осей симетрії. Усі вони проходять через його центр. Фігури, симетричні відносно прямої, часто трапляються в природі (мал. 276), техніці (мал. 277) і мистецтві (мал. 278).

Мал. 273

Мал. 274

Мал. 275

Мал. 276

Мал. 277

Мал. 278

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Дві симетричні відносно прямої фігури рівні і лежать в одній площині. А чи завжди, переміщаючи їх тільки в цій площині, можна сумістити їх накладанням? Ні. Наприклад, два симетричні відносно прямої прямокутні нерівнобедрені трикутники АBC і А1В1С1 рівні. Але щоб сумістити їх накладанням, треба один із них перевернути іншим боком, а для цього винести його з площини в простір (мал. 279).

Мал. 279

Мал. 280

Кажуть, що такі трикутники рівні, але неоднаково орієнтовані. Якщо вершини А, В, С першого трикутника можна обійти в напрямі руху годинникової стрілки, то відповідні вершини трикутника А1В1С1 — у протилежному напрямі (мал. 280).

Отже, симетрія відносно прямої змінює орієнтацію фігур.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Які точки називають симетричними відносно деякої прямої?

2. Яке перетворення називають симетрією відносно прямої?

3. Доведіть, що симетрія відносно прямої — переміщення.

4. Які фігури називають симетричними відносно прямої?

5. Скільки осей симетрії має: а) ромб; б) квадрат; в) коло?

6. Чи має вісь симетрії: а) трикутник; б) трапеція; в) паралелограм?

Виконаємо разом

1. Побудуйте трикутник, симетричний трикутнику АВС відносно прямої , яка лежить поза трикутником (мал. 281).

Через вершини АВС проводимо прямі АА1, ВВ1, СС1, перпендикулярні до , і відкладаємо на них відрізки А1А2 = АА1, В1В2 = ВВ1 С1С2 = СС1.

Сполучивши точки А2, В2, С2, отримаємо А2 В2С2, симетричний трикутнику АВС відносно прямої .

Мал. 281

2. Точки А і В лежать з одного боку від прямої . Знайдіть на цій прямій таку точку К, щоб сума АК + КВ була найменшою.

Позначимо точку В1, симетричну В відносно  (мал. 282).

Точка К перетину прямих АВ1 і  — шукана. Справді, якщо К1 — яка-небудь інша точка прямої , то

АК1 + К1В = АК1 + К1В1> АК + КВ1 = АК + КВ.

Сума АК + КВ менша від будь-якої суми АК1 + К1В.

Мал. 282

Задачі і вправи

Виконайте усно

821. Які з фігур, зображених на малюнку 283, мають осі симетрії?

Мал. 283

822. Які з наведених нижче букв симетричні відносно прямої: А, Б, В, Г, Д, Е, Є, Ж, З, К, Л, М, Н, О, П, С, Т, Х, Ф?

823. Чи правильно, що бісектриса кута є його віссю симетрії?

824. Скільки осей симетрії має: а) відрізок; б) пряма; в) коло?

825. Чи може мати вісь симетрії ламана, що має 4 ланки? А 5 ланок, п ланок?

826. Скільки осей симетрії може мати: а) незамкнена ламана; б) замкнена ламана?

827. Фігура складається з двох рівних кіл, що перетинаються. Скільки осей симетрії має ця фігура?

828. Фігура складається з трьох рівних кіл, що дотикаються одне до одного. Скільки осей симетрії має ця фігура?

829. Які чотирикутники мають тільки одну вісь симетрії?

830. Побудуйте точку, симетричну даній точці А відносно прямої .

831. Дано дві точки. Побудуйте пряму, відносно якої вони симетричні.

832. Побудуйте фігуру, симетричну даному відрізку АВ відносно даної прямої . Розгляньте кілька випадків (мал. 284).

Мал. 284

833. Побудуйте трикутник, симетричний даному трикутнику відносно прямої . Розгляньте різні випадки (мал. 285).

Мал. 285

834. Побудуйте фігуру, симетричну даному колу відносно прямої, яка:

а) не має з колом спільних точок;

б) дотикається до кола;

в) перетинає коло.

835. Всередині гострого кута АОВ дано точку М. Точки М1 і М2 симетричні точці М відносно прямих ОА і ОВ. Знайдіть міру кута М1ОМ2, якщо AОВ = а.

836. Кола з центрами О і О1 перетинаються в точках А і В. Доведіть, що точки А і В симетричні відносно прямої ОО1.

837. Доведіть, що трикутник, який має вісь симетрії, рівнобедрений.

838. Доведіть, що трикутник, який має дві осі симетрії, рівносторонній. Скільки осей симетрії має рівносторонній трикутник?

839. Доведіть, що бісектриса кута лежить на його осі симетрії.

840. Побудуйте точки А(-3; 1), В(4; 5), С(-2; -6), D(0; 3), Е(2; 0), К(1; 1) і точки, симетричні даним відносно: а) осі ОХ; б) осі ОY. Запишіть координати цих точок.

841. Встановіть вид трикутника АВС, якщо А(-4; 2), В(3; 6), С(2; -2). Скільки осей симетрії має цей трикутник?

842. У чотирикутнику ABCD AB AD і CB CD. Доведіть, що пряма AC — його вісь симетрії.

843. Діагоналі чотирикутника є його осями симетрії. Доведіть, що цей чотирикутник — ромб.

844. Дано пряму , рівняння якої у = 2х + 3. Запишіть рівняння прямих, симетричних  відносно: а) осі х; б) осі у.

845. Напишіть рівняння осей симетрії чотирикутника ABCD, якщоA(-5; 1), B(-3; 5), C(1; 3), D(-1; -1).

846. Два відрізки симетричні відносно прямої а. Доведіть, що серединні перпендикуляри цих відрізків також симетричні відносно прямої а.

847. Доведіть, що сума відстаней від будь-якої точки основи рівнобедреного гострокутного трикутника до бічних сторін дорівнює висоті трикутника, опущеній на бічну сторону.

848. Відрізки AB і CD симетричні відносно деякої прямої . Напишіть рівняння цієї прямої, якщо A(-1; 4), B(2; 3), C(-3; 2), D(-2; -1). Зробіть малюнок.

849. Скільки осей симетрії має фігура, яка є об’єднанням кіл:

а) (x - 2)2 + (у + 3)2 = 16 i (x + 4)2 + (у - 1)2 = 16;

б) (x - 3)2 + (у + 4)2 = 9 i (x - 3)2 + (у - 1)2 = 4;

в) (x + 4)2 + (у - 2)2 = 9 i (x - 2)2 + (у - 2)2 = 9?

Зробіть малюнок.

850. Встановіть вид чотирикутника ABCD, якщо A(-3; -1), B(-5; 3), C(-1; 5), D(1; 1). Скільки осей симетрії він має? Напишіть їх рівняння.

851. Через внутрішню точку даного кута проведіть пряму, яка відтинає на його сторонах рівні відрізки.

852. Дано кут, вершина якого недоступна. Побудуйте кут, удвічі більший від даного.

853. Вершини A, B і трикутника недоступні. Побудуйте відрізки, які дорівнюють AB, AC і BC.

854. Точки і лежать по різні боки від прямої . Знайдіть на прямій  таку точку M, щоб бісектриса кута AMB належала цій прямій.

855. Опуклий чотирикутник, який має тільки одну вісь симетрії, що проходить через дві його вершини, називається дельтоїдом. Накресліть який-небудь дельтоїд і дослідіть його властивості.

856. Кожна з фігур (А-Д) має вісь симетрії, що задається деякою прямою (1-4). Установіть відповідність між прямими (1-4) та фігурами (А-Д).

1

у = х + 1

А

Чотирикутник ABCD, якщо А(-1; 1), В(1; 4),С(4; 4), D(4; 1)

2

у = -х - 2

3

у = 7 - х

Б

Трикутник АВС, якщо А(2; -1), В(-1; 8), С(8; 5)

4

у = 0

В

Коло (х - 3)2 + (у + 5)2 = 16

   

Г

Чотирикутник ABCD, якщо А(0; 1), В(1; 6),С(6; 7), D(5; 2)

   
   

Д

Кут АОВ, якщо А(5; 5), 0(0; 0), В(3; -3)

Практичне завдання

857. Підготуйте презентацію на тему «Симетрія навколо нас». Крім іншого (симетрія у природі, побуті, техніці, спорті, мистецтві тощо), покажіть, де і коли ви особисто використовуєте симетрію та її властивості.

Задачі для повторення

858. Побудуйте квадрат зі стороною 3 см і квадрат, симетричний йому відносно деякої точки О. Знайдіть периметр і площу побудованого квадрата.

859. Периметр трикутника дорівнює 2р. Знайдіть його сторони, якщо вони пропорційні числам 3, 4 і 5.

860. Ділянку, що має форму круга діаметра 90 м, потрібно обгородити сіткою рабиця. Скільки потрібно стовпчиків для цієї огорожі, якщо відстань між сусідніми стовпчиками (по дузі кола) має бути 90 см?

861. Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють а і b.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Маріїнський палац у Києві






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.