Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 5 Геометричні перетворення

§ 24 Поворот

Нехай дано точку О і довільну фігуру F(мал. 286). Повернемо точку X цієї фігури навколо точки О на кут а за рухом годинникової стрілки. При цьому точка Х відобразиться на таку точку Х1, що кутова міра дуги XXз центром О дорівнює а (ОХ і ОХ1 — рівні радіуси). Якщо таким способом повернути навколо точки О на кут а кожну точку фігури F, то дістанемо фігуру F1. Говорять, що поворот навколо точки О на кут а відображає фігуру F на фігуру F1.

Мал. 286

Мал. 287

Точка О називається центром повороту, а кут ХОХ1 — кутом повороту. Поворот можна здійснювати як за рухом годинникової стрілки, так і проти її руху (мал. 287).

ТЕОРЕМА 17

Поворот навколо точки — переміщення.

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай при повороті фігури F навколо точки О на кут а точки А і В цієї фігури відображаються на точки А1 і В1 фігури F1 (мал. 288). Тоді ОА = ОА1, ОВ = ОВ1 і AOA1 = BOB1. Якщо точки А, В і О не лежать на одній прямій, то АОВ =А1ОВ1 (за двома сторонами і кутом між ними, оскільки АОВ = A1OB1). Отже, в цьому випадку АВ = А1В1.

Мал. 288

Мал. 289

Якщо точки А, В і О лежать на одній прямій (мал. 289), то

АВ = |ОА- ОВ| = |OA1 - ОВ1| = A1B1.

Випадок, коли точка О лежить між А і В, розгляньте самостійно.

Отже, завжди АВ = А1В1.

Як бачимо, поворот — один із видів переміщення. Тому при повороті пряма відображається на пряму, будь-яка фігура — на рівну їй фігуру.

Існують фігури, які при повороті навколо однієї з точок переходять самі в себе. З попереднього розділу ви вже знаєте, що центральний кут правильного n-кутника дорівнює. Тому будь-який правильний n-кутник переходить у себе при повороті навколо свого центра на кут.

Наприклад, переходять самі у себе правильні трикутник, чотирикутник і восьмикутник (мал. 290).

Мал. 290

Зверніть увагу!

Поворот на 180° навколо точки О — симетрія відносно цієї точки (мал. 291).

Мал. 291

Правильне і таке означення. Симетрією відносно точки є поворот на 180° навколо цієї точки.

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Геометричне поняття поворот слід відрізняти від фізичного обертання. Обертання — це процес, який визначається часом, кутовою швидкістю, кутовим прискоренням тощо. Обертання може бути рівномірним або нерівномірним, здійснюватися на який завгодно великий кут в одному й іншому напрямах. Наприклад, якщо шків (мал. 292) зробить два чи десять повних обертів, кажуть, що він обернувся, відповідно, на 720° чи 3600°. Поворот як геометричне перетворення не пов’язаний із часом чи швидкістю, а є відображенням однієї фігури на іншу, рівну їй.

Вище йшлося про поворот фігури. Але науковці частіше розглядають поворот всієї площини. Поворот площини однозначно можна задати, вказавши його центр О і кут а, де 0 < а  180°.

Мал. 292

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Яке геометричне перетворення називають поворотом?

2. Чи є поворот переміщенням? Чому?

3. Сформулюйте властивості повороту навколо точки.

4. Який поворот називають симетрією відносно точки?

Виконаємо разом

1. Дано дві різні точки М і О. Побудуйте точку М1, у яку переходить точка М при повороті навколо точки О на кут 90°.

Проведемо промінь ОМ і побудуємо промінь ОХ так, що МОХ = 90° за рухом годинникової стрілки. На промені ОХ від точки О відкладемо відрізок, що дорівнює відрізку ОМ. Отримаємо точку М1 (мал. 293).

Мал. 293

2Дано пряму а і точку О  а. Поверніть пряму а навколо точки О на даний кут а за рухом годинникової стрілки.

Перший спосіб.

Опустимо перпендикуляр ОА на пряму а (мал. 294).

Повернемо цей перпендикуляр навколо точки О на кут а за рухом годинникової стрілки. Для цього побудуємо кут АОВ = а і на промені ОВ відкладемо відрізок ОВ = ОА. Через точку В проведемо пряму b, перпендикулярну до ОВ. Пряма b — та, яку потрібно було побудувати.

Мал. 294

Другий спосіб.

Позначимо будь-які дві точки A і B прямої a і повернемо кожну з них на кут а за рухом годинникової стрілки. Якщо при цьому вони відобразяться на точки A1 і B1, то пряма A1B1 — та, яку треба було побудувати. Малюнок зробіть самостійно.

3. Поворот на кут а навколо точки O відображає пряму a на b. Знайдіть кут в між цими прямими.

Якщо прямі a і b перетинаються в точці P, а ОA і OB — перпендикуляри до прямих a і b, то APB = 180°-а. Якщо кут а гострий або прямий, то  = а (мал. 294). Якщо кут а тупий, то  = 180° - а (мал. 295).

Мал. 295

Задачі і вправи

Виконайте усно

Мал. 296

862. АВСD — квадрат (мал. 296). На який кут треба повернути пряму АВ навколо точки А, щоб вона пройшла через точку: а) С; б) D; в) В?

863. На який кут треба повернути пряму АВ навколо точки С, щоб утворена пряма стала: а) перпендикулярною до АВ; б) паралельною АВ?

864. Вкажіть координати точок, на які відобразяться точки А, В, С, D, Е, F(мал. 297) при повороті навколо початку координат на кут 90°:

а) за годинниковою стрілкою;

б) проти годинникової стрілки.

865. Навколо якої точки і на який кут слід повернути одну із двох паралельних прямих, щоб вона сумістилась із другою?

866. Два рівні кола дотикаються в точці А. На який кут одне з них слід повернути навколо точки А, щоб воно сумістилось із другим колом?

Мал. 297

867. Дано точки О і A. Виконайте поворот точки A навколо точки О на кут 60° за рухом годинникової стрілки.

868. Дано відрізок AВ і точку О, що не лежить на прямій АВ. Поверніть відрізок AВ навколо точки О на кут 45° проти годинникової стрілки.

869. Відрізок AB при повороті на 60° навколо точки відобразився на відрізок AB1Знайдіть відстань BB1якщо AB = а.

870. Поверніть даний трикутник ABCза рухом годинникової стрілки на 90° навколо: а) вершини Aб) середини сторони BC.

871. Квадрат ABCD повернули навколо точки Aтак, що його вершина Bперейшла в Dа C— у C1Знайдіть відстань CC1якщо AB = а. На який кут виконано поворот?

872. Дано дві перпендикулярні прямі. Знайдіть геометричне місце точок, навколо яких можна повернути одну з прямих, щоб вона сумістилась із другою прямою.

873. Навколо якої точки і на який кут слід повернути рівносторонній трикутник, щоб він сумістився із собою?

874. Який чотирикутник можна повернути навколо деякої точки Oна 90° так, щоб він сумістився сам із собою?

875. Правильний n-кутник при повороті навколо центра на кут  за годинниковою стрілкою відображається на себе. Знайдіть найменший кут  ( 0) для:

а) n= 5;

б) n= 6;

в) n= 9;

г) n= 10;

ґ) nk.

876. Дано точки A(-2; 5), B(3; 6), C(4; 1). Побудуйте трикутник A1B1C1у який перейде трикутник ABCпри повороті навколо початку координат на кут 90° за годинниковою стрілкою. Знайдіть периметр і площу трикутника A1B1C.

877. Точка А(2; 3) при повороті навколо початку координат перейшла в точку B(3; -2). На який кут було виконано поворот?

878. Знайдіть m і n, якщо:

а) точка М(m; 1) переходить у точку N(n; 4) при повороті навколо точки 0(0; 0) на кут 90° за годинниковою стрілкою;

б) точка Е(-4; m) переходить у точку F(3; n) при повороті навколо точки Р(1; 4) на кут 90° проти годинникової стрілки.

879. Дано два рівні кола. Знайдіть геометричне місце точок, навколо яких можна здійснити поворот одного з кіл, щоб воно сумістилося з другим.

880. Трикутник АВ1С1 — образ правильного трикутника АВС при повороті його навколо точки А на кут 60°: а) за рухом годинникової стрілки; б) проти руху годинникової стрілки. Знайдіть ВС1, якщо АВ = а.

881. При повороті правильного шестикутника АВСDЕF навколо його центра на кут 90° за рухом годинникової стрілки отримали шестикутник А1В1С1D1Е1F1. Знайдіть АА1, АВ1, АС1, АD1.

882. На сторонах АВ і ВС трикутника АВС зовні побудовано рівносторонні трикутники АВР і ВКС. Доведіть, що АК = РС. Знайдіть кут між прямими АК і РС.

883. Чотирикутник A1B1С1D1— образ квадрата ABСD при повороті навколо точки A на кут 45°. Знайдіть BС1 і BВ1, якщо

AB = а. Розгляньте два випадки:

а) поворот за рухом годинникової стрілки;

б) поворот проти руху годинникової стрілки.

884. Дано два рівні відрізки (мал. 298). Знайдіть точку, поворот навколо якої відображає один із цих відрізків на другий.

Мал. 298

885. На послідовних відрізках AB і BС прямої АС з одного боку від неї побудовано правильні трикутники ABК і BСР. Точки М і Н — середини відрізків АР і СК. Доведіть, що трикутник BМН — правильний.

886. На сторонах AB і АС трикутника ABС зовні побудовано квадрати АBМН і AСРК. Доведіть, що медіана AЕ трикутника ABС перпендикулярна до відрізка НК і дорівнює його половині.

Практичне завдання

887. Виріжте з паперу у клітинку один квадрат і розфарбуйте його, як показано на малюнку 299. За допомогою повороту на кут 90° і осьової симетрії спробуйте створити орнамент, зображений на малюнку 300. Із якого перетворення слід почати? Який інший мотив і перетворення можна використати, щоб отримати схожий орнамент?

Мал. 299

Мал. 300

Задачі для повторення

888. Сторони одного трикутника пропорційні числам 3, 5 і 7. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, якщо його периметр дорівнює 3 м.

889. З катера в деякий момент видно маяк під кутом в 30° за курсом корабля, а коли катер пройшов курсом 20,4 км, маяк стало видно під кутом в 135° ліворуч від курсу. Знайдіть відстань від катера до маяка в кожний момент, коли вимірювався кут.

890. Катети прямокутного трикутника відносяться як 2 : 3. Обчисліть синуси, косинуси і тангенси його гострих кутів.

891. Прямокутний трикутник, один із катетів якого дорівнює n, вписано в коло радіуса rЗнайдіть периметр трикутника.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Поворот у різних сферах людської діяльності






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.