Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 5 Геометричні перетворення

§ 25 Паралельне перенесення

Мал. 301

Один із прикладів геометричного перетворення — паралельне перенесення.

Нехай дано фігуру F (мал. 301). Якщо кожну її точку змістити в одному й тому самому напрямі на одну й ту саму відстань ХХ1 (або на вектор 1), то дістанемо фігуру F1 У такому випадку говорять, що паралельне перенесення, яке відображає точку Х на Х1, відображає фігуру F на F1.

Однакові малюнки, які періодично повторюються на тканинах, шпалерах, вишиванках (мал. 302), можна вважати виконаними за допомогою паралельних перенесень. Те саме можна сказати про однакові поверхи багатоповерхового будинку, секції огорожі (мал. 303), паркетини підлоги, плити на аеродромах, майданах (мал. 304) тощо.

Мал. 302

Мал. 303

Мал. 304

ТЕОРЕМА 18

Паралельне перенесення — переміщення.

ДОВЕДЕННЯ.

Якщо відрізок X1Y1 — образ відрізка ХY при паралельному перенесенні на вектор 1, то відрізки ХХ1 і YY1 рівні й паралельні або лежать на одній прямій. Якщо ці відрізки рівні і паралельні, то чотирикутник ХХ1Y1Y — паралелограм. Отже, ХY = Х1Y1 (мал. 305, а).

Якщо рівні відрізки ХХ1 і YY1 лежать на одній прямій (мал. 305, б), то

ХY = |ХХ1 - YХ1| = |YY1 - YХ1| = Х1Y1.

Отже, в обох випадках ХY = Х1Y1. При паралельному перенесенні зберігаються відстані між точками. Тому паралельне перенесення — переміщення.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Яке перетворення називають паралельним перенесенням?

2. Наведіть приклади паралельного перенесення в навколишньому середовищі.

3. Сформулюйте і доведіть теорему про властивість паралельного перенесення.

4. Чи зберігається рівність фігур при паралельному перенесенні?

5. Яка фігура є образом прямої при паралельному перенесенні на ненульовий вектор?

6. Що називають методом паралельного перенесення?

Виконаємо разом

1. Побудуйте трикутник, у який переходить трикутник АВС при паралельному перенесенні, що відображає точку А на А1 (мал. 306, а).

Мал. 306

Проведемо відрізок АА1. Через точки В і С проведемо прямі, паралельні АА1, і відкладемо на них відрізки ВВ1 = АА1 і СС1 = АА1. Сполучимо точки А1, В1, С1 відрізками. Трикутник АВС — шуканий (мал. 306, б).

2. При паралельному перенесенні на вектор  точка А(1; 3) відображається на точку А1(-2; 5). Знайдіть координати образу точки В(-4; 7) при цьому паралельному перенесенні.

Знайдемо координати  , на який виконано паралельне перенесення.  = 1 = (-3; 2). Нехай образом точки В(-4; 7) буде точка В1(х; у). Тоді 1 = (х + 4; у - 7). Оскільки 1= а, то х + 4 = -3, у - 7 = 2, звідси х = -7, у = 9.

Отже, В1(-7; 9).

Задачі і вправи

Виконайте усно

892. Вкажіть координати точок, на які відображаються точки, зображені на малюнку 307, при паралельному перенесенні, яке точку O(0; 0) відображає на точку: а) O(3; 0); б) К(-1; 0); в) А(2; 2).

893. Дано дві паралельні прямі. Скільки існує паралельних перенесень, які відображають одну з них на другу?

894. Два рівні відрізки лежать на одній прямій. Яким паралельним перенесенням один із них можна відобразити на другий?

895. Чи існує паралельне перенесення, яке одну зі сторін трапеції відображає на другу сторону?

Мал. 307

896. Позначте точки А, А1 і В. Побудуйте точку, у яку переходить точка В при паралельному перенесенні на вектор 1.

897. Дано відрізок АВ і точку К. Виконайте паралельне перенесення відрізка АВ так, щоб його середина відобразилась на точку К.

898. Побудуйте фігуру, у яку переходить даний трикутник АВС при паралельному перенесенні, що відображає точку А на точку С.

899. Побудуйте фігуру, у яку переходить даний паралелограм АВСD при паралельному перенесенні на вектор .

900. Виконайте паралельне перенесення даної прямої АВ так, щоб її точка А відобразилась на дану точку С. Розгляньте два випадки:

а) С  АВ;

б) С   АВ.

901. Виконайте паралельне перенесення даного кола (мал. 308) так, щоб його центр О відобразився на дану точку: а) О1; б) О2; в) О3.

902. Знайдіть точки, які є образами точок М(4; -2), Р(6; 0), К(-7; 4) при паралельному перенесенні на вектор  = (1; - 3).

903. При паралельному перенесенні на вектор   образом точки А(1; -6) є точка А1(-7; 2). Знайдіть координати вектора .

904. Чи існує паралельне перенесення, яке точку А(1; 5) відображає на точку А1(4; 2), а точку В(-1; 3) на точку:

а) В1(3; 1);

б) В2(2; 0);

в) В3(-4; 6)?

Мал. 308

905. Дано точки M(-3; 7), N(-1; 1), P(1; 2). При паралельному перенесенні середина відрізка MNпереходить у точку PЗробіть малюнок і вкажіть координати точок, у які переходять точки і N.

906. Трикутник KPT одержано паралельним перенесенням трикутника ABCДоведіть, що відповідні медіани цих трикутників рівні і паралельні. А бісектриси?

907. Виконайте паралельне перенесення кола, рівняння якого (х - 2)2 +  (у + 5)2 = 9, так, щоб його центр О відобразився на точку О1(3; -2). Запишіть рівняння утвореного кола.

908. При паралельному перенесенні пряма а, рівняння якої 2х + у = 5, відображається на пряму , що проходить через точку: а) А(-1; -1); б) B(2; 5). Запишіть рівняння прямої .

909. При паралельному перенесенні образом точки А(-1; 3) є точкаА1(5; -2), а образом точки B(х; -3) — точка B1(-2; у). Знайдіть х і у.

910. Точки А1(2; 9), О1(2; 5), С1(5; 5) є образами точок А(0; у), О(0; 0), С(х; 0) при паралельному перенесенні. Знайдіть х і у та периметр трикутника АОС.

911. Доведіть, що кути при основі рівнобічної трапеції рівні.

912. Доведіть, що діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

913. Доведіть, що паралельне перенесення можна здійснити, застосувавши дві симетрії відносно паралельних осей.

914. Точки А(-2; 1), B(2; 5), С(4; 3) — вершини паралелограма АBСD. Знайдіть образи точок А, B, С і D при паралельному перенесенні на вектор АС.

915. На сторонах АB і СB паралелограма АBСD побудовано квадрати з центрами О і О1. Доведіть, що середина відрізка ОО1 — центр паралелограма.

916. З одного боку від прямолінійної залізниці розташовані села А і B. У якому місці слід побудувати платформу КР, щоб сума відстаней АК,КР і РB була найменшою?

917. Де слід побудувати міст КР, перпендикулярний до берега річки, щоб шлях АКРB між пунктами А і B був найкоротшим (мал. 309)?

Мал. 309

Практичне завдання

918. 1) Розграфіть частину сторінки зошита на менші клітинки і перенесіть на них малюнок 310 або 311. Користуючись паралельним перенесенням, зробіть зображення вишивки удвічі довшим.

Мал. 310

Мал. 311

2) Створіть власну вишивку або орнамент.

Задачі для повторення

919. Чи відрізняються поняття «правильний трикутник» і «рівносторонній трикутник»?

920. Знайдіть сторони прямокутного трикутника, якщо найбільша з них дорівнює 20 см, а синус одного з кутів дорівнює 0,2.

921. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза с, а площа S.

922. Дано трикутник зі сторонами 2 см, 3 см і 4 см. Знайдіть сторони подібного йому трикутника з периметром 27 см.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Паралельне перенесення і сільське господарство






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.