Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 5 Геометричні перетворення

§ 26 Перетворення подібності

У повсякденному житті нам часто доводиться мати справу з предметами однакової форми, але різних розмірів. На площині це — картина та її репродукція, плани одного об’єкта різного масштабу, букви і цифри, набрані на комп’ютері одним шрифтом, але різного розміру.

Перетворення фігури F у фігуру F1, при якому відстані між точками змінюються у тому самому відношенні в ту саму кількість разів k> 0, називають перетворенням подібності. Це означає, що коли довільні точки А і В фігури F при перетворенні подібності переходять у точки А1 і В1 фігури F1, то А1В1 = kАВ. Число k називають коефіцієнтом подібності.

Коефіцієнт подібності завжди додатний. Якщо k = 1, то перетворення подібності є переміщенням.

ТЕОРЕМА 19

Перетворення подібності переводить три точки, що лежать на одній прямій, у точки, що лежать на одній прямій, і зберігає порядок взаємного розміщення цих точок.

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай точки А, В і С лежать на одній прямій так, що точка В лежить між точками А і С. Тоді АС = АВ + ВС. За означенням перетворення подібності для точок А1, В1 і С1, що є образами точок А, В і С, виконуються такі рівності: А1В1 = kАВ,

В1С1 = kВС, А1С1 = kАС. З останньої рівності маємо:

А1С1 = kАС = k(АВ + ВС) = kАВ + kВС = А1В1 + В1С1, або А1С1 = А1В1 + В1С1.

З останньої рівності випливає, що точки А1, В1 і С1 лежать на одній прямій і точка В1 лежить між точками А1 і С1.

Можна довести ще й такі властивості подібності. Перетворення подібності відображає відрізок на відрізок, промінь — на промінь, паралельні прямі — на паралельні прямі, кут — на рівний йому кут (спробуйте зробити це самостійно).

Для будь-якого перетворення подібності з коефіцієнтом k існує обернене перетворення, яке є перетворенням подібності з коефіцієнтом .

Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності.

Якщо фігура F подібна фігурі F1, то пишуть F ~ F1.

Відношення подібності фігур має такі властивості:

1) завжди F ~ F1;

2) якщо F ~ F1, то і F1 ~ F;

3) якщо F ~ F1 і F1 ~F2 то F ~ F2.

У 8 класі ви ознайомилися з подібністю трикутників. Тепер відношення подібності можна поширити на будь-які геометричні фігури. Наприклад, можна довести, що два многокутники подібні, якщо їх сторони пропорційні, а відповідні кути рівні. Тому два квадрати завжди подібні. Подібними завжди будуть і два відрізки, два кола, два круга.

Ви вже знаєте, що відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності. Ця властивість правильна і для інших геометричних фігур.

ТЕОРЕМА 20

Відношення периметрів подібних многокутників дорівнює коефіцієнту подібності.

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай АВС...М і А1В1С1...М1 — подібні многокутники з коефіцієнтом подібності k (мал. 312), тобто А1В1 = kАВ, В1С1 = kВС, ..., М1А1 = kМА. Тоді

Р1 = А1В1 + В1С1 + ... + М1А1 = kАВ + + kВС + ... + kМА = k(АВ + ВС + ... +  МА) = kР, звідки Р1 : Р = k.

Мал. 312

ТЕОРЕМА 21

Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

ДОВЕДЕННЯ.

Доведемо спочатку цю теорему для трикутників (мал. 313). Нехай АВС ~А1В1С1 з коефіцієнтом подібності k, тобто А1В1 = kАВ, А1С1 = kАС, A1А1.

Тоді

звідки

Мал. 313

Мал. 314

Доведемо теорему для довільних многокутників. Нехай дано два подібні многокутники, коефіцієнт подібності яких k, а площі S і S'. Розіб’ємо дані многокутники на трикутники діагоналями, які виходять з відповідних вершин (мал. 314). Тоді

Отже,

Можна довести, що таку властивість мають площі будь-яких подібних фігур, а не тільки подібних многокутників. Наприклад, фігури F і F1, що є об’єднанням квадратів і півкругів, подібні (мал. 315). Тому їх площі відносяться як квадрати відповідних лінійних елементів:

S :S1 = а2 : с2.

Мал. 315

Мал. 316

Фігури А і В, зображені на малюнку 316, також подібні, тому їх площі відносяться як квадрати відстаней між відповідними точками цих фігур n і m:

SА :SВ = m2 : m2.

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Нехай дано точку О і фігуру F (мал. 317). Проведемо через довільну точку X фігури F промінь ОХ і позначимо на ньому точку Х1 таку, що ОХ1 : ОХ = k. Якщо таким способом побудувати відповідні точки для кожної точки фігури F, то одержимо нову фігуру F1.

Таке відображення фігури на F1 називають гомотетією відносно точки О з коефіцієнтом k. Говорять також, що фігура F1гомотетичнафігурі F відносно центра О з коефіцієнтом k.

Якщо > 1, то гомотетія відображає дану фігуру на більшу: кожну відстань збільшує у разів. Якщо 0 < < 1, то гомотетія кожну відстань зменшує у разів. Якщо = 1, то гомотетія кожну фігуру відображає на ту саму фігуру.

Мал. 317

Мал. 318

При к  1 гомотетія не зберігає відстаней між точками. Наприклад, якщо к = 2, то точки X і гомотетією відображаються на Х1 і Y1 такі, що Х1Y1 = 2ХY. Отже, Х1Y1≠ ХY, тому гомотетія не є переміщенням. Але при гомотетії зберігається відношення відстаней між точками. Наприклад, якщо при гомотетії з коефіцієнтом к чотирикутник АBСBвідображається на А1B1С1B1, то кожне з відношень

дорівнює к (мал. 318).

З означення перетворення подібності випливає, що кожні дві рівні фігури подібні. Але не кожні дві подібні фігури рівні. Аналогічно, кожні дві гомотетичні фігури подібні, але не кожні подібні фігури гомотетичні. Діаграмою це можна зобразити так (мал. 319 і 320).

Мал. 319

Мал. 320

Чи існують геометричні перетворення, відмінні від переміщень і перетворень подібності? Існують. Такими є, наприклад, стиск і розтяг. Наприклад, якщо кожна точка А(х; у) координатної площини відображається на точку А(х; kу), то говорять про стиск цієї площини до осі х з коефіцієнтом k. Якщо коефіцієнт k > 1, такий стиск називають розтягом. На малюнках зображено: сітка з правильними шестикутними сотами (мал. 321, а) і сітка, яка стиснута до осі х (мал. 321, б).

Мал. 321

Цікавим геометричним перетворенням є інверсія — своєрідна симетрія відносно кола. Множину точок, що лежать у внутрішній області кола, це перетворення відображає на точки його зовнішньої області, і навпаки. Інверсію розглядають у курсах вищої геометрії.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Яке геометричне перетворення називають перетворенням подібності?

2. Які властивості має перетворення подібності?

3. Які фігури називають подібними?

4. Назвіть властивості подібних фігур.

5. Як відносяться периметри подібних фігур?

6. Як відносяться площі подібних фігур?

Виконаємо разом

1. Периметри двох подібних многокутників пропорційні числам 2 і 5. Знайдіть площі цих многокутників, якщо їх різниця дорівнює 42 см2.

Якщо периметри пропорційні числам 2 і 5, то площі S1 : S2 = 4 : 25. Нехай коефіцієнт пропорційності х. Тоді S1 = 4х, S2 = 25х.

За умовою задачі 25х - 4х = 42, звідки х = 2. Тоді S1 = 8 см2S2 = 50 см2.

2. Дано квадрат АВСD. У трикутник АВС вписано квадрат MNРК (мал. 322). Чи подібні ці квадрати? З яким коефіцієнтом подібності?

Два квадрати завжди подібні. Знайдемо коефіцієнт подібності. Нехай АВ = а, тоді АС = а. ∆АМN — рівнобедрений прямокутний, бо АМN = 90°, NАМ = АNМ = 45°. Тоді АМ = МN. Аналогічно, КС = РК.

Отже, МК = АС =, звідки к ===.

Мал. 322

Задачі і вправи

Виконайте усно

923. У якому з випадків квадрати, зображені на малюнках 323-326, подібні?

Мал. 323

Мал. 324

Мал. 325

Мал. 326

924. Чи завжди подібні два правильні шестикутники?

925. Назвіть фігури, які завжди подібні.

926. Чи завжди подібні два ромби? Чи подібні ромби, якщо один із них має кут 55°, а другий — 125°?

927. Радіус одного з кіл дорівнює діаметру іншого. Знайдіть коефіцієнт подібності.

928. Площі двох подібних многокутників відносяться як 9 : 16. Як відносяться їх периметри?

929. Сторони прямокутника 2 см і 6 см. Знайдіть периметр і площу подібного прямокутника, якщо: а) k = 2; б) k = 0,5.

930. Периметр многокутника 10 см. Знайдіть периметр подібного многокутника, якщо k = 0,2.

931. Дві фігури симетричні відносно деякої прямої. Чи подібні вони? З яким коефіцієнтом подібності?

932. Діагональ одного з квадратів є стороною іншого. Чому дорівнює коефіцієнт подібності цих квадратів?

933. Відрізок, паралельний основам трапеції, ділить її на дві трапеції. Чи подібна якась із них даній трапеції?

934. Середня лінія трапеції розбиває її на дві трапеції. Чи подібні вони?

935. Як відносяться довжини кіл:

а) вписаного в квадрат і описаного навколо нього;

б) вписаного в рівносторонній трикутник і описаного навколо нього?

936. Знайдіть відношення площ частин, на які трикутник ділить його середня лінія.

937. Перенесіть таблицю в зошит і заповніть її, якщо Р1, Р2S1S2 — периметри і площі двох подібних фігур, k — коефіцієнт подібності.

k

Р1

Р2

S1

S2

2

5

   

16

 

12

3

48

 
   

5

90

10

0,6

 

10

72

 

938. Знайдіть сторони чотирикутника периметра 88 см, якщо він подібний чотирикутнику, сторони якого 3 см, 5 см, 6 см і 8 см.

939. Периметри двох подібних многокутників відносяться як 2 : 5, а сума їх площ дорівнює 232 см2. Знайдіть площу кожного з них.

940. Сторони одного прямокутника дорівнюють 5 см і 9 см. Знайдіть сторони подібного прямокутника, якщо його площа 180 см2.

941. Діагоналі ромба 10 см і 24 см, а сторона подібного йому ромба дорівнює 26 см. Знайдіть площу другого ромба.

942. М — середина сторони ВС паралелограма АВСD, О — точка перетину прямих АС і МD. Знайдіть площу ∆МОС, якщо S∆АОD = 12.

943. Продовження бічних сторін АВ і СD трапеції АВСD перетинаються в точці М. Знайдіть площу трапеції, якщо АВ : ВМ = 2 : 3, а площа трикутника ВМС дорівнює 18 см2.

944. Знайдіть радіуси двох кругів, які мають зовнішній дотик, якщо їх площі відносяться як 4 : 25, а відстань між центрами дорівнює 14 см.

945. АМ і ВN — медіани трикутника АВС. Знайдіть площу чотирикутника АВМN, якщо площа трикутника АВС дорівнює 48 см2.

946. Сформулюйте і доведіть ознаки подібності: а) двох ромбів; б) двох прямокутників.

947. Доведіть, що паралелограми подібні, якщо діагоналі ділять гострі кути на відповідно рівні кути.

948. Доведіть, що дві рівнобічні трапеції подібні, якщо їх гострі кути рівні, а діагоналі є бісектрисами цих кутів.

Мал. 327

949. Є два кільця (мал. 327). Радіуси одного з них 1 см і 2 см, а другого — 2 см і 3 см. Чи подібні вони? Дослідіть, за якої умови два кільця, обмежені двома концентричними колами, подібні.

950. О — точка перетину діагоналей трапеції АВСD (ВС︢͡AD). Знайдіть площу трапеції, якщо площі трикутників АОD і ВОС відповідно дорівнюють 90 см2 і 40 см2.

951.Знайдіть відношення довжин двох кіл з центрами О1 і О2, якщо їх спільна зовнішня дотична перетинає лінію центрів у точці Р і PO1O1O2 = 2 : 7.

952. Усередині опуклого п’ятикутника ABCDEвзято довільну точку OA1B1C1D1E1 — точки, симетричні точці Oвідносно вершин п’ятикутника. Знайдіть площу п’ятикутника ABCDE, якщо площа п’ятикутника A1B1C1D1E1  дорівнює 100 см2.

953. Усередині опуклого чотирикутника, площа якого дорівнює Sвзято довільну точку і її відображено симетрично відносно середин усіх сторін. Отримані точки послідовно з’єднані. Знайдіть площу утвореного чотирикутника.

954. У трикутнику ABCплоща якого 45 см2, проведено висоти AN і BM.

Знайдіть площу чотирикутника ABNM, якщо cos C.

Практичне завдання

955. Доберіть кілька цитат про математику і за допомогою комп’ютера зробіть хмару слів, щоб на ній були подібні і не подібні зображення.

Задачі для повторення

956. Доведіть, що середини основ трапеції, точка перетину її діагоналей та точка перетину прямих, на яких лежать бічні сторони трапеції, лежать на одній прямій.

957. Найкоротша медіана прямокутного трикутника дорівнює 5 дм, а один із катетів 6 дм. Знайдіть площу трикутника.

958. У трикутнику медіана, проведена до сторони, утворює з нею кут 60°, а дві інші сторони дорівнюють 7 см і  см. Знайдіть невідому сторону трикутника.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.