Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 5 Геометричні перетворення

Головне в розділі 5

Якщо точки фігури F змістити яким-небудь способом, то дістанемо нову фігуру F1 Якщо при цьому різні точки фігури F переходять (відображаються) у різні точки фігури F1 то говорять про геометричне перетворення фігури F у фігуру F1 При цьому фігуру F1 називають образом фігури F, а фігуру F — прообразом фігури F1.

Найважливіші геометричні перетворення — переміщення і перетворення подібності.

Переміщенням (або рухом) називають таке геометричне перетворення, при якому зберігаються відстані між відповідними точками.

Переміщення відображає: відрізок — на рівний йому відрізок, пряму — на пряму, промінь — на промінь, кут — на рівний йому кут, трикутник — на рівний йому трикутник.

Дві фігури називають рівними, якщо існує переміщення, яке відображає одну з них на другу. Кожне переміщення відображає будь-яку фігуру на рівну їй фігуру. Якщо дві геометричні фігури рівні, то існує переміщення, яке відображає одну з них на другу.

Найважливіші переміщення фігур на площині: симетрія відносно точки, симетрія відносно прямої, поворот, паралельне перенесення.

Точки X і Х1 називають симетричними відносно точки О, якщо О — середина відрізка ХХ1. Якщо відносно О кожна точка фігури F симетрична деякій точці фігури F1 і навпаки, то фігури F і F1 симетричні відносно точки О. Таке відображення фігури F на F1 називають перетворенням симетрії відносно точки О.

Точки Х і Х1 називають симетричними відносно прямої , якщо ця пряма — серединний перпендикуляр відрізка ХХ1. Якщо точка X лежить на прямій , вона вважається симетричною сама собі відносно прямої .

Перетворення фігури F, при якому кожна її точка відображається на симетричну їй відносно прямої точку, називають перетворенням симетрії відносно прямої . Якщо при цьому перетворенні фігура F відображається на F1, то ці дві фігури називають симетричними відносно прямої .

Нехай дано точку О і довільну фігуру F. Повернемо точку X цієї фігури навколо точки О на кут а за рухом годинникової стрілки. При цьому точка Х відобразиться на таку точку Х1, що кутова міра дуги XX1 з центром О дорівнює а (ОХ і ОХ1 — рівні радіуси). Якщо таким способом повернути навколо точки О на кут а кожну точку фігури F, то дістанемо фігуру F1. Говорять, що поворот навколо точки О на кут а відображає фігуру F на фігуру F1.

Точка О називається центром повороту, а кут ХОХ1 — кутом повороту.

Якщо кожну точку фігури F змістити в одному й тому самому напрямі на одну й ту саму відстань ХХ1 (або на вектор 1), дістанемо фігуру F1. У такому випадку говорять, що паралельне перенесення, яке відображає точку Х на Х1, відображає фігуру F на F1.

Перетворення фігури F у фігуру F1, при якому відстані між точками змінюються у тому самому відношенні в ту саму кількість разів k, k > 0, називають перетворенням подібності. Це означає, що коли довільні точки А і В фігури F при перетворенні подібності переходять у точки А1 і В1 фігури F1, то А1В1 = kАВ. Число k називають коефіцієнтом подібності. Коефіцієнт подібності завжди додатний. Якщо k = 1, то подібність є переміщенням.

Дві фігури називають подібними, якщо існує перетворення подібності, яке відображає одну з них на другу.

Перетворення подібності відображає кожну фігуру на подібну їй фігуру.

Відношення периметрів двох подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності k:

Р1 : Р = k.

Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності:

S :S1 = k2.

Площі подібних фігур відносяться як квадрати відповідних лінійних елементів:

S :S1 = а2 : с2.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити