Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 1 Метод координат на площині

§ 3 Декартові координати

Нагадаємо деякі уже відомі вам поняття. Пряму, на якій вибрано напрям, початок відліку та одиничний відрізок, називають координатною прямою. Кожній точці координатної прямої відповідає єдине дійсне число.

Дві взаємно перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються у їх спільному початку відліку і одиничні відрізки яких рівні, називають прямокутною системою координат. Спільний початок відліку — точка, у якій перетинаються осі координат, називають початком координат. Горизонтальну вісь — вісь ОХ, називають віссю абсцис, а вертикальну вісь — вісь ОY — віссю ординат.

Площину, на якій задано систему координат, називають координатною площиною.

Осі координат розбивають координатну площину на чотири чверті, у кожній з яких зберігаються знаки обох координат (мал. 17).

Мал. 17

Мал. 18

Положення точки на координатній площині задається двома числами — її координатами. Наприклад, точка А має абсцису 3 і ординату 2 (мал. 18). Записують так: А(3; 2). Точка О — початок відліку — має координати 0 і 0. Точки, які лежать на осі ОХ, мають ординати, що дорівнюють нулю (у = 0); точки, які лежать на осі ОY, мають абсциси, що дорівнюють нулю (х = 0). На малюнку 18 це точки В(-2; 0) і С(0; -1).

Запис X (mn) означає: точка X має координати m (абсциса) і n (ордината).

Кожній точці координатної площини відповідає єдина пара дійсних чисел, а кожній парі дійсних чисел — єдина точка координатної площини. Завдяки взаємно однозначній відповідності між парами дійсних чисел і точками координатної площини залежність між точками координатної площини можна виражати алгебраїчними співвідношеннями між їх координатами. Це дає можливість розв’язувати геометричні задачі координатним методом. Але для цього треба знати властивості координат.

ТЕОРЕМА 1

Кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат його кінців.

Тобто якщо точки А(х1 у1), В(х2; у2) — кінці відрізка АВ, а точка С(х; у) — його середина, то: х = ; у = 

тобто

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай точки А і В розміщені, як показано на малюнку 19. Проведемо через них прямі, паралельні осям координат. При цьому утворяться трапеції АВВУАУ і АВВхАх, у яких ААу = х1ВВу = х2, ААХ = у1, ВВx = у2.

Оскільки С — середина відрізка АВ, то ССу і ССx — середні лінії цих трапецій. За теоремою про середню лінію трапеції:

Мал. 19

CCy =; ССу, або ССу = , ССх =  .

Маємо:

х = , у =  .

Ми розглянули випадок, коли відрізок АВ не паралельний жодній осі координат і не перетинає їх. Після розгляду інших можливих випадків (зробіть це самостійно) приходимо до загального висновку: якщо точка С(х; у) — середина відрізка з кінцями А(х1; у1) і В (х2; у2), то

х = , у =  .

Приклад. Серединою відрізка з кінцями А(-3; 5) і В(3; 7) є точка С(0; 6), оскільки   = 0 і  = 6.

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Розв’язуючи задачу координатним методом, розглядувані фігури розміщують на координатній площині. Приписавши окремим точкам фігур координати, а лініям — рівняння, обчислюють координати інших точок, виводять рівняння інших ліній. Зіставивши початкові й інші координати точок і рівняння, знаходять відповідь.

Задача. Доведіть, що середини відрізків, які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника, збігаються.

Розв’язання. Нехай ABCD — довільний чотирикутник, E, K, F, P — середини його сторін, M і M1 — середини відрізків EF і КР (мал. 20). Доведемо, що точки M і M1 збігаються.

Введемо систему координат так, щоб її початком була точка A, а сторона AB лежала на осі х. Позначимо координати вершин даного чотирикутника: A(0; 0), B(a; 0), С(mn), D(p; q). Виразимо через них координати середин відрізків АВ, CD, ВС, AD, КР, EF:

Мал. 20

Відповідні координати точок М і М1 рівні. Отже, ці точки збігаються. Щоб розв’язувати складніші задачі, використовують загальну теорему.

ТЕОРЕМА 2

Якщо точка С(хс; ус) ділить відрізок АВ у відношенні АС: СВ =  то

хс =  і ус = .

Доведіть її самостійно.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Що називають системою координат?

2. Що називають координатною площиною?

3. Що називають початком системи координат?

4. Як називають координатні осі?

5. Що називають координатами точки?

6. Сформулюйте і доведіть теорему про координати середини відрізка.

Виконаємо разом

Точка С — середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки В, якщо А(2; -7), С(4; 1).

Оскільки С — середина відрізка АВ, то хс =  і ус = .

Тоді 4 =; 2 + хВ = 8; хВ = 6. Аналогічно 1 = ; -7 + УВ = 2; УВ = 9.

Отже, В(6; 9).

Доведіть, що чотирикутник AВСD — паралелограм, якщо A(1; 2), В(6; -2), С(-3; -4), D(-8; 0) (мал. 21).

Мал. 21

Чотирикутник, у якого діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, — паралелограм. Доведемо, що для даного чотирикутника ця ознака виконується. Нехай М — середина діагоналі AС, тоді

хМ = -1, уМ = -1.

Отже, М(-1; -1).

Якщо К — середина діагоналі ВD, то хк == -1, уК = =-1. Отже, К(-1; -1).

Точки М і К мають однакові координати. Це означає, що точки М і К суміщаються, тобто діагоналі чотирикутникаAВСD перетинаються в точці з координатами (-1; -1) і діляться в цій точці навпіл. Отже, AВСD — паралелограм.

Задачі і вправи

Виконайте усно

81. Провідміняйте словосполучення: ордината точки, осі координат, вісь абсцис.

82. Які з точок А(0; 2), Б(-3; 0), С(2; 7), D(0; 4), Е(2; 0), F(-7; 0), O(0; 0) лежать на: а) осі OX; б) осі OY; в) осях OX і OY одночасно?

83. Дано точки: А(2; -3), B(4; 6), С(-5; 7), D(-1; -3). Які з відрізків AВ, BС, СD, AD, AС, BD перетинають: а) вісь OX; б) вісь OY; в) кожну з осей? Які з цих відрізків паралельні осі OX?

84. Дано точки: O(0; 0), A(4; 6), B(-2; 8), M(m; n). Знайдіть координати середини відрізків: а) OA; б) OB; в) OM; г) AB.

85. Чи є точка К(-3; 7) серединою відрізка AB, якщо A(-9; 4), B(3; 10); точка P(-6; 5) — серединою відрізка АК? Знайдіть координати середини відрізка ВК.

86. Позначте на координатній площині точки: А(4; 1), В(-2; -3), С(0; 3), D(-1; 2), Е(4; 0).

87. Побудуйте на координатній площині відрізок, кінцями якого є точки А(3; -1) і В(-2; 4). Знайдіть координати точок перетину відрізка АВ з осями координат.

88. За малюнком 22 знайдіть координати вершин прямокутника АВСD, сторони якого паралельні осям координат.

Мал. 22

89. Побудуйте прямокутник, три вершини якого містяться в точках (2; 5), (-1; 5), (-1; -3). Знайдіть координати четвертої вершини.

90. Сторона квадрата дорівнює 5 одиниць. Одна з його вершин міститься в початку координат, а дві — на осях і мають невід’ємні координати. Знайдіть координати всіх вершин квадрата.

91. Точка перетину діагоналей ромба збігається з початком координат, а його діагоналі лежать на осях координат. Знайдіть координати вершин ромба, якщо довжини діагоналей 6 одиниць і 10 одиниць. Скільки розв’язків має задача?

92. Знайдіть координати середини відрізка АВ, якщо А(1; 3), В(4; 5).

93. Перенесіть у зошит таблицю. У порожніх клітинках укажіть координати середин відповідних відрізків.

Зразок: середина відрізка ХВ — точка з координатами (1; 4).

 

A(0; 4)

B(2; 6)

C(-2; 5)

X(0; 2)

 

(1; 4)

 

Y(-4; 6)

     

Z(-6; 12)

     

94. ВМ — медіана АВC. Знайдіть координати точки М, якщо А(-1; 15), С(7; -9).

95. М — середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки В, якщо А(1; 4), М(2; -3).

96. O(4; -1) — точка перетину діагоналей паралелограма АВСD. Знайдіть координати точки: а) С, якщо А(-2; 3); б) В, якщо D(6; -4).

97. Відрізки АВ і СD перетинаються в точці М, яка є серединою кожного з них. Знайдіть координати точок М і D, якщо А(-2; 5), В(4; 1), С(-1; -3).

98. Дано точки А(-1; 2), В(2; 7), С(4; 3). Знайдіть координати кінців середніх ліній ∆АВС.

99. МN — середня лінія АВС, МN||АС (мал. 23). Знайдіть координати точок А і В, якщо С(2; 6), М(-4; 2), N(4; 0).

Мал. 23

Мал. 24

100. Точки K, P, T ділять відрізок AB на 4 рівні частини. Знайдіть координати точок K, P, T, якщо A(2; 3) і B(6;-4).

101.Відрізок AB поділено на чотири рівні частини: AM MN NK KB (мал. 24). Знайдіть координати точок M, K, B, якщо A(9; -15), N(-3; -1).

102. Дано точки А(-3; 4), В(а; 2), С(5; b). При яких значеннях а і b:

а) А — середина ВС;

б) В — середина АС;

в) С — середина АВ?

103. Точки М(1; 2), N(0; 4), Р(3; 5) є серединами сторін АВС. Знайдіть координати точок А, В, С.

104. Доведіть, що чотирикутник з вершинами А(0; 3), В(3; 4), С(5; 2) і D(2; 1) — паралелограм.

105. Дано точки А(3; 7), В(-1; 3), С(-7; 4), D(-3; 8). Доведіть, що: а) АВСD — паралелограм; б) чотирикутник, вершини якого є серединами сторін чотирикутника АВСD, — паралелограм.

106. Дано три послідовні вершини паралелограма АВСD: А(3; 5), В(5; 1), С(-1; 3). Знайдіть координати точки D.

107. Дано три вершини паралелограма Р(1; 3), Н(3; 4), Е(4; 2). Знайдіть координати четвертої вершини. Скільки розв’язків має задача?

108. Відрізок АВ точками М і N поділено на три рівні частини. Знайдіть координати точок М і N, якщо А(7; -2), В(4; 4).

109. Знайдіть координати точки перетину медіан АВС, якщо А(-1; 5), В(3; 7), С(1; -3).

110. М — точка перетину медіан АВС. Знайдіть координати точки С, якщо А(0; 8), В(1; -4), М(-2; 2).

Практичне завдання

111. У географії для визначення місце розташування того чи іншого пункту застосовують своєрідну систему координат. Географічні координати зазначаються в градусах і мінутах. У таблиці наведено географічні координати деяких міст України. Знайдіть на карті точку, координати якої збігаються з координатами середини відрізка, що сполучає міста: а) Луцьк і Харків; б) Львів і Одесу. Чи розташовані ці точки на території України? Які населені пункти розміщено поблизу знайдених точок?

Місто

Широта

Довгота

Київ

50°27'

30°30'

Луцьк

50°45'

25°15'

Харків

50°00'

36°13'

Львів

49°51'

24°02'

Одеса

46°28'

30°44'

Задачі для повторення

112. Обчисліть:

а)  + tg 135° · tg 45°;     

б)  + .                       

113. Центральний кут дорівнює 30°. Знайдіть міру відповідного вписаного кута.

114. Знайдіть площу прямокутного трикутника, різниця катетів якого дорівнює 2 см, а гіпотенуза 10 см.

115. Знайдіть площу прямокутного трикутника з гострим кутом а, якщо радіус кола, описаного навколо нього, дорівнює Я.

116. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою гострого кута. Знайдіть площу трапеції, якщо її периметр дорівнює 52 см, а основи пропорційні числам 5 і 11.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Орієнтування на місцевості






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.