Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Додатки

Задачі підвищеної складності

959. Доведіть, що в прямокутному трикутнику з гострим кутом 15° добуток катетів дорівнює квадрату половини гіпотенузи.

960. Катети прямокутного трикутника дорівнюють а і b. Знайдіть довжину бісектриси, проведеної до гіпотенузи.

961. Катет прямокутного трикутника дорівнює а, а діаметр вписаного кола d. Знайдіть гіпотенузу.

962. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 12 см. Знайдіть відстань між центрами вписаного і описаного кіл.

963. Доведіть, що периметр прямокутного трикутника дорівнює діаметру кола, яке дотикається до його гіпотенузи і продовжень катетів.

964. Основи трапеції дорівнюють 3 і 7, а бічні сторони 2 і 2. Знайдіть кути трапеції.

965. Доведіть, що сума катетів прямокутного трикутника дорівнює сумі діаметрів описаного і вписаного кіл.

966. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить гіпотенузу на частини 4 см і 6 см. Знайдіть радіус кола.

967. Побудуйте трикутник, знаючи його медіану, бісектрису і висоту, проведені з однієї вершини.

968. Задача Наполеона. Користуючись лише циркулем, поділіть дане коло з позначеним центром на чотири рівні частини.

969. Сторона правильного шестикутника ABCDEF дорівнює а. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник ACD.

970. Знайдіть координати вершин трикутника, якщо координати середин його сторін: K(1; 2), Р(3; 4), T(5; 1).

971. Дано точки A(a1; a2), B(b1; b2) і число n. Знайдіть координати такої точки Р відрізка АВ, що АР : РВ = 1 : n.

972. Доведіть, що площа трикутника з кутами а,  і радіусом описаного кола дорівнює 2Rsin a sin  sin .

973. На сторонах AB, BC, CA рівностороннього трикутника (мал. 329) позначимо точки C1, A1, B1такі, що AC1 C1BA1 : A1C =  CB1 : B1A = 1 : 2. Як відносяться площі:

а) трикутників ABC і A1B1C1;

б) трикутника ABC і трикутника A2B2C2обмеженого прямими AA1, BB1і CC1?

Мал. 329

974. Квадрат площею 64 см2 учень розрізав на чотири частини і склав з них прямокутник, сторони якого дорівнюють 5 см і 13 см (мал. 330). Чому площа прямокутника не дорівнює площі квадрата?

Мал. 330

975. Точка М розмішена всередині квадрата АВСD так, що МАВ = 30°, МСВ = 15°. Знайдіть кут АМВ.

976. Знайдіть кути опуклого чотирикутника АВСD, сторони якого: АD = 4, DC = 2, СВ = 5-, АВ = 5, діагональ АС = 2.

977. В опуклому чотирикутнику АВСD відомі куги: ВАС = 20°, ВСА = 35°, ВDС = 40°, ВDА = 70°. Знайдіть кут між діагоналями чотирикутника.

978. Знайдіть кут між стороною АD опуклого чотирикутника АВСD і його діагоналлю АС, якщо САВ = 50°, АВD = 60°, DВС = 20°, СDВ = 30°.

979. На сторонах ВС і СD квадрата позначено точки М і К такі, що периметр трикутника МКС дорівнює половині периметра квадрата. Знайдіть кут МАК.

980. На протилежних сторонах паралелограма як на сторонах поза ним побудовано квадрати. Доведіть, що пряма, яка проходить через центри квадратів, проходить також через точку перетину діагоналей паралелограма.

Доведіть твердження 981—986.

981. Якщо вписане в трикутник коло дотикається його сторін АВ, ВС і СА в точках С1, А1, В1, то АА1, ВВ1, СС1 перетинаються в одній точці.

982. Якщо коло, центр якого лежить на стороні АВ трикутника, дотикається до його сторін АС і ВС у точках В1, А1 а прямі АА1 і ВВ1 перетинаються в точці Р, то СР  АВ.

983. Добуток довжин відрізків, які сполучають центр вписаного в трикутники кола з вершинами трикутника, дорівнює 4Rr2.

984. Якщо О — центр описаного навколо трикутника АВС кола, а  — центр вписаного кола, то

985. Якщо чотири прямі, перетинаючись одна з одною, утворюють чотири трикутники, то чотири кола, описані навколо цих трикутників, проходять через одну точку, а їхні центри лежать на одному колі, яке також проходить через ту саму точку.

986. Сторони трикутника дорівнюють а, b, с, а його в вершини є центрами кіл, кожне з яких дотикається до двох інших. Знайдіть радіуси цих кіл, а також радіус кола, яке дотикається до кожного з цих трьох кіл. Розгляньте усі випадки.

987. Сторони вписаного в коло трикутника дорівнюють rr, 2r і відтинають сегменти, площі яких дорівнюють S1S2S3. Доведіть, що площа трикутника S = S3 - S2 - S1.

988. На діаметрі АВ взято довільні точки С, D і на відрізках АС, СDDB, як на діаметрах, побудовано менші кола. Доведіть, що довжини трьох менших кіл у сумі дорівнюють довжині найбільшого кола.

989. Через точку кола радіуса r проходять дотичні до нього два менші кола, які ділять круг, обмежений колом радіуса r, на три рівновеликі фігури. Знайдіть радіуси менших кіл.

990. У коло радіуса r вписано три рівні кола так, що кожне з них внутрішнім способом дотикається до даного кола і зовнішнім — до двох рівних йому кіл. Знайдіть площі семи фігур, на які вписані кола поділяють даний круг радіуса r.

991. На радіусі ОА кола, як на діаметрі, побудоване менше коло. Нехай В і С — точки, в яких менше і більше коло перетинає довільний промінь, проведений з точки О. Доведіть, що довжини дуг АВ і АС рівні.

992. З точки кола проведені дві рівні хорди АВ і АС, які ділять круг, обмежений цим колом, на три рівновеликі фігури. Знайдіть міру кута ВАС.

993. Точка Р знаходиться на відстані 2r від центра круга радіуса r. Через Р проведено два промені, які ділять круг на три рівновеликі частини. Знайдіть міру кута між цими променями.

994. У круговий сектор з кутом 60° вписано круг. Знайдіть відношення площин даного сектора і вписаного круга.

995. Дано АBС. На прямих ВС, СА і АВ дано точки А1B1 і С1 відповідно такі, що 1 = а11 = 11 = 1. Доведіть, що якщо точки А1, В1, С1 лежать на одній прямій, то а  = -1. Чи правильно обернене твердження?

996. Через вершину С паралелограма АВСD проведено пряму , яка перетинає прямі АВ і АD відповідно в точках М і N. Доведіть, що якщо  = к = AN, то к  = 1.

997. У якому відношенні ділить сторону АС промінь, що виходить з вершини В трикутника АВС і проходить через середину медіани, проведеної з вершини А?

998. Медіана АМа точками К і М поділена па три рівні частини. На які частини ділять сторону АВ промені СК і СМ?

999. Знайдіть площу трикутника S:

а) за його медіаною mа і кутами В, С;

б) за його медіанами mаmbmс,

1000. Знаючи кути три кутника, виразіть кут між медіаною і висотою, що виходять з однієї вершини.

1001. Медіана — середня пропорційна сторін, що виходять з однієї вершини. Знайдіть кут трикутника при цій вершині.

1002. Знайдіть на медіані трикутника таку точку, через яку можна провести тільки одну пряму, яка ділить площу даного трикутника у відношенні 1 : 2.

1003. Знайдіть площі фігур, на які круг радіуса r розбивається хордами АС і ВD, що перетинаються, коли дуги АВ, ВС, СD і DА мають відповідно 150°, 30°, 90° і 90°.

1004. h1h2h3 — висоти трикутника, а r — радіус вписаного кола. Доведіть, що

Мал. 331

1005. На сторонах прямокутного трикутника, як на діаметрах, побудовано півкола (мал. 331). Доведіть, що сума площ S і S2 утворених серпиків дорівнює площі S даного трикутника.

1006. Задача Архімеда. З одного боку від прямої АВ проведено півкола діаметрів АС, СВ і АВ (мал. 332). Пряма СМ, перпендикулярна до АВ, перетинає найбільше півколо в точці М. Доведіть, що площа фігури, обмеженої даними півколами, дорівнює площі круга діаметра СМ.

1007. Задача Птолемея. Доведіть, що в чотирикутнику, вписаному в коло, сума добутків протилежних сторін дорівнює добутку діагоналей.

Мал. 332






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.