Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Додатки

Тренувальні тести

Тренувальний тест № 1

1. Знайдіть координати точки А', симетричної точці А(-1; 3) відносно початку координат.

А

Б

В

Г

(1; -3)

(1; 3)

(-1; -3)

(3; -1)

2. Знайдіть площу правильного шестикутника, вписаного в коло радіуса 6 см.

А

Б

В

Г

І08 см2

9см2

54см2

36 см2

3. Знайдіть площу круга, описаного навколо АВС, якщо АВ = 10 см, а АСВ = 45°.

А

Б

В

Г

200 см2

50 см2

10 см2

100 см2

4. Запишіть рівняння кола з центром у точці O(-3; 2), яке дотикається до осі ординат.

А

Б

В

Г

(х + 3)2 + (y - 2)2 = 3

(х + 3)2 + (y - 2)2 = 2

(х + 3)2 + (y - 2)2 = 4

(х + 3)2 + (y - 2)2 = 9

5. При якому найменшому значенні а вектори m(а; 3) і n(-2а; 6) перпендикулярні?

А

Б

В

Г

3

9

-3

-3

6. Встановіть вид трикутника, якщо його сторони дорівнюють 2 см, 5 см, 6 см.

А

Б

В

Г

гострокутний

тупокутний

прямокутний

не можна встановити

7. Дано точку М(-3; 5). Установіть відповідність між геометричними перетвореннями (1-4) та координатами образу точки М (А-Д) при цьому перетворенні.

1

Паралельне перенесення на вектор  = (1; 3)

А (-3; -5)

 

Симетрія відносно осі абсцис

Б (1; 1)

3

Симетрія відносно точки Р(-1; 3)

В (-2; 8)

4

Симетрія відносно прямої у = X

Г (3; 5)

   

Д (5; -3)

8. Дано точки А(-2; 0) і Б(4; 0).

1) Запишіть рівняння геометричного місця центрів кіл, які проходять через точки А і В.

2) Запишіть рівняння кола, яке проходить через точки А і В, якщо його радіус дорівнює 5.

9. Знайдіть кут між векторами  і  + , якщо  = (3;3),  = (3;5), = (-3; 7).

10. Знайдіть образи точок А(-2; 3) і В(4; 7), якщо при паралельному перенесенні відрізка АВ образом його середини є точка М(3; 1).

11. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо центр вписаного кола віддалений від її кінців на 4 см і 2 см.

12. У правильний АВС, площа якого дорівнює S, вписаний ромб АМРК (М є АВ, Р є ВС, К є АС). Знайдіть площу чотирикутника АМРС.

Тренувальний тест № 2

1. Точки А(2; -3) і А'(-4; 5) симетричні відносно точки М. Знайдіть координати точки М.

А

Б

В

Г

М(-2; 2)

М(-1; 1)

М(-10; 13)

М(8; -11)

3.   Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 10 см, а діагональ утворює з більшою основою кут 30°.

А

Б

В

Г

10 см

20 см

5 см

не можна встановити

3.Яке з рівнянь є рівнянням медіани ВМ трикутника АВС, якщо А(1; -3), В(3; 4), С(7; 1)?

А

Б

В

Г

у = -2х + 10

у = -3х + 13

у = -6х + 14

у = -5х + 19

4. Скільки сторін має правильний n-кутник, якщо його центральний кут дорівнює 30°?

А

Б

В

Г

n = 6

n = 10

n = 12

n = 15

5. При якому найменшому значенні а модуль вектора  = (а; 5) дорівнює 13?

А

Б

В

Г

6 : 1

2  : 3

3  : 8

3:2

7. М і N — середини сторін АВ і АD паралелограма АВСD. Установіть відповідність між фігурами (1-4) та їх площами (А-Д), якщо площа паралелограма дорівнює 120 см2.

1

AMN

А 45 см2

2

NDC

Б 30 см2

3

Чотирикутник MBDN

В 15 см2

4

Чотирикутник ABCN

Г 60 см2

   

Д 90 см2

8. Дано точки А(-3; 5), 0(0; -1) і В(4; 1).

1) Встановіть вид трикутника AОВ.

2) Знайдіть площу паралелограма АВСD, якщо О — точка перетину його діагоналей.

9. Периметр правильного АВС дорівнює 6 см. Знайдіть скалярний добуток векторів  і .

10. Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 60°, відносяться як 5 : 8. Знайдіть периметр трикутника, якщо його третя сторона дорівнює 14 см.

11. Коло з центром О радіуса описане навколо АВС. Знайдіть радіус кола, описаного навколо АОС, якщо В = 60°.

12. У круг вписано правильний шестикутник зі стороною а. Знайдіть площу меншого із сегментів, основою якого є сторона шестикутника.

А

Б

В

Г

-9

-12

12

13

6. Квадрат і правильний шестикутник вписані в одне коло. Знайдіть відношення периметра шестикутника до периметра квадрата.

З історії геометрії

Геометрія — одна з найдавніших наук. Як засвідчує її назва (гео — земля і метрео — міряю), спочатку її пов’язували тільки з вимірюванням земельних ділянок. Згодом геометричні відомості почали застосовувати до вимірювання висот, глибин, різних відстаней.

Спочатку умільці вимірювали відстані і кути безпосередньо або користуючись властивостями подібних фігур.

Фалес Мілетський (V ст. до н. е.) таким способом визначав відстані до недоступних предметів, виміряв висоту однієї з єгипетських пірамід. Ератосфен Кіренський (ІІ ст. до н. е.) визначив приблизні розміри Землі. Герон Александрійський (І ст. до н. е.) написав книгу «Діоптрика», яку можна вважати першою працею з геодезії, а також сконструював прилад для вимірювання кутів у різних площинах, який став прообразом сучасних теодолітів.

Розв’язуванням трикутників раніше займалась окрема математична наука — тригонометрія (грецьке  — трикутник, ( — міряю). Давньогрецький математик і астроном Гіппарх ще в ІІ ст. до н. е. склав таблиці хорд, за допомогою яких визначив відстань від Землі до Місяця і розв’язав багато інших прикладних задач. Він перший увів географічні координати — довготу і широту.

Великий внесок у розвиток тригонометрії зробив давньогрецький математик, астроном, географ Птолемей Клавдій (близько 100-178 рр.) — творець геоцентричної теорії світу. Його твір, перекладений арабською мовою під назвою «Альмагест», тривалий час служив підручником тригонометрії. Птолемей винайшов астролябію, склав також першу таблицю синусів гострих кутів.

Для розвитку тригонометрії як науки чимало зробили згодом індійські астрономи Бхаскара, Брамагупта (VII ст.), а також — арабські, зокрема Альбаттані (IX ст.). Індійці ввели терміни синус, косинус, а араби — тангенс.

Теорему синусів першим довів ще в XI ст. середньо-азійський учений і поет ал-Біруні (973-1048), а теорему косинусів — французький математик Франсуа Вієт (1540-1603). У XVI ст. Мюллер із Кенігсберга (або, як його ще називали, Регіомонтан) склав уточнені таблиці для всіх тригонометричних функцій гострих кутів.

Символічне позначення sin a, cos а і строгу систему вивчення тригонометричних функцій розробив петербурзький академік Леонард Ейлер (17071783).

Правильні многокутники вивчали ще Піфагор і його учні. Вони довели, що рівними правильними n-кутниками покрити площину, мов паркетинами, можна тільки за умови, коли дорівнює 3, 4 або 6. Розглядали піфагорійці і правильні зірчасті многокутники (не опуклі), особливо пентаграму, яку можна утворити, продовживши всі сторони правильного п’ятикутника.

Фалес

Мал. 333

Вважали, що такий знак приносить щастя, тому, вітаючись, піфагорійці креслили на піску пентаграму.

З погляду геометрії пентаграма справді досить цікава фігура (мал. 333). Точка К здійснює «золотий переріз» відрізка АС, точка L — відрізка АК і т. д.

Побудова правильних многокутників тісно пов’язана з поділом кола на рівні частини.

На скільки рівних частин можна поділити коло, користуючись тільки циркулем і лінійкою? Ще математики Стародавньої Греції аналізували таку задачу. Вони вміли ділити коло на 2, 3 і 5 рівних частин, а також кожну дугу вміли ділити навпіл. Тож знали, як, користуючись тільки циркулем і лінійкою, поділити коло на 2n, 3 · 2n, 5 · 2n і 3 · 5 · 2n рівних частин, де n — довільне натуральне число.

Протягом наступних майже 2000 років математики багатьох країн досліджували, на скільки ще рівних частин можна ділити коло, користуючись тільки циркулем і лінійкою, але нічого нового не могли придумати. Не знали навіть, чи можна, користуючись тільки циркулем і лінійкою, поділити коло на 7 чи 9 рівних частин.

Тільки великий німецький математик Карл Ґаусс (1777-1855), ще будучи студентом, довів, що за допомогою тільки циркуля і лінійки можна поділити коло на 17 рівних частин, але не можна — на 7. Згодом він довів загальну теорему. Користуючись тільки циркулем і лінійкою, можна поділити коло на непарне число m рівних частин тоді й тільки тоді, коли число m просте і дорівнює 22n + 1 або добутку кількох простих чисел такого виду. Числа виду 22n + 1 називають числами Ферма, вони є коренями певного виду рівнянь і відіграють важливу роль у теорії чисел. Так геометрична проблема про побудову правильних многокутників і поділ кола на рівні частини пов’язується з алгеброю і теорією чисел.

Здавна з правильними многокутниками пов’язували задачі на визначення довжини кола і площі круга. Вавилонські та єгипетські вчені вважали, що відношення довжини кола до його діаметра, яке тепер позначають буквою n, дорівнює 3.

Архімед дав точнішу оцінку цього числа: 3  <  < 3 . Китайський математик Цзу Чунчжі (428-499) показав, що 3,1415926 <  < 3,1415927. Іранський математик і астроном XV ст. ал-Каші підрахував, що   3,1415926535897932. Тепер відомо понад мільярд перших десяткових знаків числа . Наприкінці XIX ст. доведено, що число  ірраціональне.

Систему географічних координат вперше запропонував у І ст. до н. е. давньогрецький вчений Гіппарх. У XIV ст. французький математик Нікола Орем (1323-1382) побудував аналогічну систему координат на площині, застосовуючи її для дослідження деяких залежностей між величинами. Але замість сучасних абсциси і ординати він використовував географічні терміни довгота і широта.

Згодом ідеї Н. Орема розвинули і збагатили французькі математики П’єр Ферма (1601-1665) і Рене Декарт (1596-1650). Ферма раніше від Декарта увів координати, вивів рівняння прямої, кола, еліпса, параболи, гіперболи й опублікував свої дослідження у праці «Вступ до теорії плоских і просторових місць» (1636). Декарт свій метод координат описав у праці «Геометрія» (1637). Але він тут, розглядаючи незалежні і залежні змінні, заклав основи вчення про функції. Згодом найпростішу систему координат назвали ім’ям Декарта. До того ж Декарт не тільки математик, а й відомий у всьому світі філософ, засновник картезіанства.

Декарт і Ферма розглядали системи координат тільки на площині. У XVIII ст. Йоганн Бернуллі (1667-1748) і Алексі Клеро (1713-1765) поширили систему координат і на тривимірний простір: кожній точці тривимірного простору ставили у відповідність впорядковану трійку дійсних чисел. Системи координат у просторі вивчають у старших класах.

Геометричні перетворення входили в геометрію ще повільніше, ніж координати. Окремі види симетрії відносно прямої і відносно точки багатьом людям були відомі давно: їх вони бачили на різних рослинах, живих істотах, тому митці створювали симетричні зображення. Наприклад, шумери близько 5 тисячоліть тому на вазах зображали симетричні малюнки. На фризі палацу Дарія в Сузах зображення перських лучників виконано ніби за допомогою паралельного перенесення. Кімерійці і скіфи, які жили на теренах сучасної України ще понад 2 тисячоліття тому, робили колеса, симетричні відносно точки і відносно осі, виготовляли симетричні прикраси. Чимало таких зображень дійшло до нас ще з античних часів. Зрозуміло, що творці тих зображень знали немало про симетрії і паралельні перенесення, хоч відповідних геометричних термінів і не вживали.

Елементи вчення про симетрію фігур уперше з’явились у книзі «Початки геометрії» французького математика Адрієна Лежандра (1752-1833).

У геометрію геометричні перетворення (як аналог функції) ввійшли тільки в XX ст. Німецький математик Фелікс Клейн (1849-1925) наголошував: «Геометричні перетворення є не чим іншим, як узагальненням поняття функції». Числова функція відображає одну числову множину на іншу, а геометричне перетворення — одну множину точок на іншу.

Вектори ввів у математику тільки у XIX ст. ірландський математик Вільям Гамільтон (1805-1865). Він увів і термін «вектор», що в перекладі з латинської означає «той, який несе». Позначення «А» запропонував у 1853 р. О. Коші (1789-1857). Першу працю «Теорія векторного числення» надрукував у 1887 р. професор Київського університету В. П. Єрмаков (1845-1922).

Василь Петрович Єрмаков (1845-1922) — доктор чистої математики, заслужений професор Київського університету (1890), член-кореспондент Петербурзької академії наук (1884).

Після закінчення у 1868 році Київського університету Василя Петровича залишили стипендіатом для підготовки до професорської діяльності. Після захисту магістерської дисертації у 1873 працював у Київському університеті (доцент, екстраординарний професор, ординарний професор, заслужений професор). З 1899 року — професор і перший завідувач кафедри вищої математики Київського політехнічного інституту. Опублікував низку курсів та посібників з тих дисциплін, які читав, серед яких: «Теорія векторів на площині» (1887), «Аналітична геометрія» (1899, 1900, 1918, 1920) та інші.

Василь Петрович Єрмаков був дуже відомий учений і мав великий авторитет. Заснував і видавав «Журнал елементарної математики». Був одним із організаторів Київського фізико-математичного товариства. Зробив вагомий внесок у розвиток математичної освіти.

На теренах України дослідження з геометрії проводили також М. Є. Ващенко-Захарченко, Б. Я. Букреєв, О. С. Смогоржевський, М. І. Кованцов, Погорєлов та інші.

Михайло Єгорович Ващенко-Захарченко (1825-1912) народився в селі Макіївка на Полтавщині. Навчався в Києві і Парижі, був професором Київського університету. Досліджував питання історії розвитку геометрії, надрукував кілька посібників з геометрії, переклав російською «Основи» Евкліда.

Борис Якович Букреєв (1859—1962). Народився у Львові. Закінчив Київський університет, з 1885 року працював у ньому, тривалий час завідував кафедрою геометрії. Один із засновників Київського фізико-математичного товариства. Основні дослідження стосуються геометрії, аналізу, теорії функцій. Надрукував праці «Диференціальна геометрія», «Неевклідова геометрія в аналітичному викладі».

Олександр Степанович Смогоржевський (18961969) народився в селі Лісове на Вінниччині. Навчався в Немирові та Києві, був професором Київського політехнічного інституту. Досліджував питання, пов’язані з геометричними побудовами, надрукував кілька посібників і підручників, зокрема, підручник з основ геометрії для студентів університетів. Його праці перекладено англійською, болгарською, японською та іншими мовами.

Михайло Єгорович Ващенко-Захарченко

Борис Якович Букреєв

Олександр Степанович Смогоржевський

Микола Іванович Кованцов

Микола Іванович Кованцов (1924-1988) народився в Саратовській області, навчався в Казахстані.

З 1950 року жив і працював у Запорізькому педагогічному інституті, завідував кафедрою математики.

У 1960-1988 рр. завідував кафедрою геометрії Київського університету ім. Тараса Шевченка. Створив наукову школу з теорії лінійчатих многовидів. Був головою предметної комісії з математики при Міністерстві освіти. Надрукував багато підручників з геометрії для вищих навчальних закладів: «Проективна геометрія», «Диференціальна геометрія». Цікава його робота — «Математика і романтика», у якій М. І. Кованцов писав:

«Любі друзі! З дитинства кожен з вас вивчає математику. Хтось — з інтересом, а хтось — неохоче.

Можна любити науку за сувору узгодженість її істин, за її силу і за її багатогранність, можна, навпаки, живити нелюбов до неї за її сухість і складність. Але ця любов і ця нелюбов являтимуть щось поверхове і нетривке, щось випадкове і необов’язкове, якщо від вас вислизне те, що можна було б назвати душею науки, її розумом і її інтелектом, її духовною красою і її гармонійною витонченістю. Ми навмисне скористалися термінами, характерними для оцінки людської особистості, оскільки саме такою особистістю, цілісною і нескінченно цікавою, має постати перед вами наука, щоб ви по-справжньому могли відчути, що вона собою являє...»

Олексій Васильович Погорєлов (1919-2002) — відомий фахівець у галузі геометрії, академік АН УРСР (1961), академік АН СРСР, заслужений діяч науки і техніки України. Навчався у Харківському університеті (1937-1941) та Військово-Повітряній академії ім. М. Є. Жуковського (Москва, 1941-1945).

У 1947 році, після захисту кандидатської та докторської дисертацій, повертається до Харкова і згодом очолює кафедру геометрії в ХДУ.

О. В. Погорєлов є автором понад 200 робіт, серед яких 60 монографій і підручників для вищих і середніх навчальних закладів, виданих українською, російською, англійською, німецькою та іспанською мовами.

Олексій Васильович Погорєлов удостоєний багатьох нагород і звань. Він здобув міжнародну премію ім. М. І. Лобачевського, кілька державних премій та іменні премії Національної академії наук України. Заслужений діяч науки і кавалер урядових нагород.

Розвивається геометрична наука і тепер. Геометрія продовжує служити людям. Ось що писав один із найвідоміших архітекторів XX ст. Ле Корбюзьє: «Ніколи ще до нашого часу ми не жили в такий геометричний період... Навколишній світ — це світ геометрії, чистий, істинний, бездоганний у наших очах. Усе навколо — геометрія».

Олексій Васильович Погорєлов






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.