Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 1 Метод координат на площині

§ 4 Відстань між точками

Якщо відомі координати двох точок координатної площини, можна визначити відстань між цими точками.

ТЕОРЕМА 3

Квадрат відстані між двома точками дорівнює сумі квадратів різниць їх відповідних координат.

Тобто якщо відомі координати точок А(х1; у1), В(х2; у2), то

АВ2 = (х2 - х1)2 + (у2 - у1)2.

ДОВЕДЕННЯ.

Розглянемо спочатку випадок, коли х1 хі y1 ≠ y2 (мал. 25). Проведемо перпендикуляри ААх, ВВх на вісь х і ААy, ВВy на вісь у. В утвореному прямокутному трикутнику АВD(D — точка перетину прямих ВВу і ААх) АВ — гіпотенуза, а катети АD = |у2 - у1| і ВD = |х2 - х1|. За теоремою Піфагора:

АВ2 = (х2 - х1)2 + (у2 - y1)2 .      (*)

Мал. 25

Якщо у1 = у2 і х1≠ Х2, то АВ = |Х2 - х1|. Такий самий результат у цьому випадку дає і формула (*). Якщо х1 = Х2 і у1 у2, то АВ = |у2 -у1|. Такий результат дає і формула (*). Нарешті, якщо х1 = Х2 і у1 = у2, тобто якщо точки А і В збігаються, формула (*) дає потрібний результат: АВ = 0.

Отже, як би не були розміщені на координатній площині точки А(Х1 у1) і В(Х2; у2), завжди

АВ2 = (x2 - x1)2 + (у2 - y1)2.

Цю рівність можна записати і так:

Приклад. Знайдемо відстань між точками А(6; -1) і Б(2; -4).

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Зверніть ще раз увагу на малюнок 25. АХВХ — це проекція відрізка АВ на вісь Х, АуВу — проекція відрізка АВ на вісь у. Як випливає з попередніх міркувань,

АВ2 = АхВ2х + АуВ2у.

Квадрат довжини відрізка дорівнює сумі квадратів його проекцій на дві взаємно перпендикулярні прямі.

Це твердження — узагальнення теореми Піфагора. Адже катети кожного прямокутного трикутника є проекціями його гіпотенузи на дві взаємно перпендикулярні прямі, яким належать його катети (мал. 26). Але сформульоване твердження правильне не тільки для прямих, яким належать катети трикутника, а для будь-яких взаємно перпендикулярних прямих і для довільного відрізка АВ, зокрема й для таких, як на малюнку 27.

Мал. 26

Мал. 27

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте теорему про квадрат відстані між двома точками.

2. Доведіть теорему про квадрат відстані між двома точками.

3. Як знайти довжину відрізка, якщо відомі координати його кінців?

4. Як знайти відстань від початку координат до деякої точки А(х; у)?

Виконаємо разом

Доведіть, що АBC — рівнобедрений, і знайдіть довжину медіани, проведеної до основи, якщо А(-5; 3), В(2; 7), С(3; -1).

Знайдемо довжини сторін трикутника:

Отже, АВ = ВС. А це означає, що АВС — рівнобедрений з основою АС. Щоб знайти довжину медіани, проведеної до основи, знайдемо координати точки М — середини відрізка АС:

х =  = -1; у =  = 1.

Отже, М(-1; 1). Тоді

Таким чином, АВC — рівнобедрений і його медіана ВМ = 3.

Чи правильно, що кожна з точок: А(mn), В(-mn), С(-m; -n), К(nm), Р(-nm), Т(-n; -m) — рівновіддалена від початку координат?

Оскільки початок координат — точка O(0; 0), то

Аналогічно знаходимо, що кожна з відстаней ОС, OК, OР, ОТ також дорівнює . Отже, точки А, В, С, К, Р, Т рівновіддалені від початку координат.

Задачі і вправи

Виконайте усно

117. Знайдіть відстань від початку координат до точок: А(0; 3), В(3; 4), С(-4; 3), D(1; 1), E(3; 1).

118. Знайдіть відстань від точки М(4; -3) до: а) осі ОХ; б) осі ОY; в) початку координат.

119. Знайдіть відстань між точками: а) А(4; 0) і В(7; 0); б) М(0; 3) і N(0; 5); в) Р(3; 0) і К(0; 4).

120. Знайдіть х, якщо: а) точка М(х; 4) рівновіддалена від осей координат; б) точка Р(-2; х) віддалена на 5 одиниць від осі ОХ; в) точка К(х; -5) віддалена на 3 одиниці від осі ОY.

121. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо А(-4; 4) і В(2; -4).

122. Знайдіть відстань між точками:

123. Знайдіть відстані від початку координат до точок А(2; 3), В(-2; 6), С(-3; 4), D(-12; 5).

124. Знайдіть довжини відрізків, зображених на малюнку 28, якщо АВ = 2.

125. Користуючись даними таблиці, знайдіть довжини відрізків ХА, ХВ і т. д. Перенесіть таблицю у зошит і заповніть її.

Мал. 28

 

А(2; 4)

В(-1; 3)

С(1; -5)

В(6; 7)

Х(-2; 4)

       

Y(0; 3)

       

126. Знайдіть периметр АBC, якщо А(-2; 5), В(7; 8), С(2; -7).

127. Дано АВС з вершинами А(-2; 5), В(6; 3), С(4; -3). Знайдіть довжини середніх ліній трикутника.

128. Знайдіть довжину середньої лінії трапеції АВСD (АВ || СD), якщо А(-3; -1), В(3; 7), С(7; 3), D(4; -1).

129. Знайдіть довжини діагоналей чотирикутника АВСD, якщо А(4; -3), В(7; 10), С(-8; 2), D(-1; -5).

130. Знайдіть довжини медіан АВС, якщо: а) А(-4; -2), В(2; 6), С(4; 2); б) А(-5; 1), В(-3; 5), С(-1; -1).

131. Станок запрограмований так, що у кожній деталі він пробиває 7 тоненьких отворів. Центр деталі розміщують у початку координат, а отвори пробивають у точках з координатами: (1; 2), (2; -3), (3; 0), (0; 0), (-1; 2), (-2; -3), (-3; 0). Знайдіть найбільшу відстань між отворами у деталі.

132. Доведіть, що трикутник з вершинами: а) А(-1; 1), В(2; -2), С(6; 2) — прямокутний; б) М(-5; 2), N(3; 6), К(4; -6) — рівнобедрений.

133. Доведіть, що трикутник з вершинами А(2; 3), В(-2; 1), С(0; -3) — рівнобедрений прямокутний.

134. Гірська дорога проходить через тунель, довжина АВ якого дорівнює  км (мал. 29). Найвища точка тунелю має координати А(2; 4). Знайдіть ординату найнижчої точки тунелю, якщо її абсциса дорівнює 5 (координати точок подано у кілометрах). Чому дорівнює кут нахилу тунелю?

Мал. 29

135. Знайдіть х, якщо: а) АВ = 2, А(2; 1), В(х; -1); б) АВ = 10, А(2х; 7), В(х; 1); в) АВ = 5, А(-1; х), В(2х; -3).

136. Знайдіть координати точки, рівновіддаленої від точок А(-5; 1) і В(3; -1), якщо вона лежить на: а) осі абсцис; б) осі ординат; в) прямій у = х.

137. На прямій у = 2х знайдіть точку, рівновіддалену від точок М(5; 2) і N(-1; 4).

138. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(-4; -2), В(-1; 2), С(11; -3), D(8; -7) — паралелограм. Знайдіть його периметр.

139.  Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(-5; -2), В(-3; 2), С(3; -1), D(1; -5) — прямокутник. Знайдіть його периметр, площу та радіус описаного кола.

140. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(-5; -2), В(-4; 5), С(3; 6), D(2; -1) — ромб. Знайдіть його периметр та довжини діагоналей.

141. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(-2; 0), В(-4; 6), С(2; 8), D(4; 2) — квадрат. Знайдіть його периметр, площу, радіус вписаного й описаного кіл.

142. Не виконуючи побудови, з’ясуйте, чи лежать точки А, В, С на одній прямій, якщо А(-6; -5), В(2; 1), С(6; 4).

143. Доведіть, що точки М(-2; -1), N(2; 7), К(-1; 1) лежать на одній прямій. Знайдіть відношення довжин відрізків МК і KN.

144. Чи подібні трикутники АВС і КВР, якщо:

а) А(-5; -3), В(-1; 5), С(3; 1), К(-4; -1), Р(2; 2);

б) А(3; 1), В(-1; 5), С(-5; -3), К(2; 2), Р(-2; 4)?

145. Знайдіть радіус кола, описаного навколо АВС, якщо А(-2; 4), В(-6; 4), С(-4; 2).

146. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо його вершини задані координатами А(-5; 5), В(2; 9), С(1, 1).

147. АВ — бісектриса трикутника АВС. Знайдіть довжини відрізків ВL і СL, якщо А(-3; 1), В(1; 4), С(5; -5).

Практичне завдання

148. Позначте на координатній площині точки А(3; 2) і С(7; 4). Побудуйте квадрат АВСD. Знайдіть периметр і площу квадрата, а також відстані від його центра і точок В, С до початку координат.

Задачі для повторення

149. Квадрат розміщений у системі координат так, що його діагоналі лежать на осях координат. Знайдіть координати вершин квадрата, якщо його діагональ дорівнює 4.

150. Знайдіть координати середин сторін трикутника ABC, якщо A(-4; 1), B(2; 5), C(4; 5).

151. Знайдіть координати вершини паралелограма ABCD, якщо B(11; -3), C(8; 7), D(-4; -2).

152. На малюнку 30 зображено коло та його елементи. Установіть відповідність між елементами кола (1-4) та їх позначеннями на малюнку

(А-Д).

   

1

Хорда

А

CE

2

Дотична

Б

OM

3

Діаметр

В

CO

4

Радіус

Г

HC

   

Д

AB

Мал. 30






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.