Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік
Розділ 1 Метод координат на площині
§ 5 Рівняння кола
Рівнянням фігури на координатній площині називають рівняння з двома змінними, яке задовольняють координати кожної точки даної фігури, і тільки координати точок даної фігури.
Розглянемо рівняння двох фігур, які найчастіше зустрічаються в геометрії: кола і прямої (див. § 6).
Нехай дано коло радіуса r з центром у точці А(а; b) (мал. 31). Якщо М (х; у) — довільна точка цього кола, то АМ 2 = (х - а) 2 + + (у - b) 2. Але АМ = r, тому
(х - а) 2 + (у - b) 2 = r 2. (*)
Із рівняння (*) випливає, що координати х і у кожної точки М(х; у) даного кола задовольняють рівняння (*). Навпаки, будь-яка точка М(х; у), координати якої задовольняють рівняння (*), лежить на даному колі, бо її відстань від точки А дорівнює r. Отже, рівняння (*) є рівнянням кола радіуса r з центром А(а; b). Якщо центром кола є початок координат, тобто а = 0 і b = 0, то рівняння такого кола радіуса r матиме вигляд:
х 2 + у 2 = r 2.
Знаючи рівняння кола, можна розв’язувати і такі геометричні задачі про кола, які іншими способами розв’язувати надто важко.
Мал. 31
Задача. Дано відрізок АВ завдовжки 2а і коло радіуса r із центром у середині АВ. Доведіть, що сума квадратів відстаней від будь-якої точки кола до точок А і В є сталою. Знайдіть цю суму.
Розв’язання. Розмістимо даний відрізок і коло на координатній площині, як показано на малюнку 32. Кінці відрізка мають такі координати: А(а; 0), В(-а; 0).
Якщо М(х; у) — довільна точка кола, то
х 2 + у 2 = r 2 , МА 2 = (х - а) 2 + у 2, МВ 2 = (х + а) 2 + у 2.
Тоді МА 2 + МВ 2 = (х - а) 2 + у 2 + (х + а) 2 + у 2 = х 2 - 2ах + а 2 + у 2 + х 2 + 2ах + у 2 = 2(х 2 + у 2 + а 2) = 2(r 2 + а 2).
За даних а і r вираз 2(r 2 + а 2) має стале значення.
Мал. 32
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Сформулюйте означення рівняння фігури.
2. Сформулюйте означення кола.
3. Яке рівняння має коло з центром у точці А(а; b) радіуса r?
4. Виведіть рівняння кола.
5. Яке рівняння має коло радіуса г з центром у початку координат?
Виконаємо разом
Запишіть рівняння кола радіуса 3, яке дотикається до обох осей координат.
✵ На малюнку 33 видно, що таких кіл чотири. Оскільки OАO 1B — квадрат зі стороною 3, то O 1 (3; 3). Тому рівняння кола з центром у точці O 1 має вигляд: (х - 3) 2 + (у - 3) 2 = 9.
Аналогічно можна записати рівняння інших кіл. Оскільки O 2(3; -3), O 3(-3; -3), O 4(-3; 3), то рівняння відповідних кіл:
(х - 3) 2 + (у + 3) 2 = 9, (х + 3) 2 +(у+3) 2 = 9, (х + 3) 2 + (у -3) 2 =9.
Мал. 33
Мал. 34
При яких значеннях параметра а (а ≠ 0) мають зовнішній дотик кола, рівняння яких х 2 + у 2 - 10х + 21 = 0 і х 2 + у 2 - 2х + 6у = а 2 - 10?
Знайдемо координати центрів і радіуси даних кіл (мал. 34). Перетворимо перше рівняння:
(х 2 - 10х + 25) - 25 + у 2 + 21 = 0; (х - 5) 2 + у 2 = 4.
Отже, перше рівняння — це рівняння кола з центром O 1(5; 0) радіуса R 1 = 2.
Аналогічно для другого рівняння отримаємо: (х 2 - 2х + 1) - 1 + (y 2 + + 6у + 9) - 9 = а 2 - 10; (х - 1) 2 + (у + 3) 2 = а 2.
Отже, друге рівняння — рівняння кола з центром O
2(1; -3) радіуса |а|. Два кола мають зовнішній дотик, якщо відстань між центрами дорівнює сумі їх радіусів. Оскільки O
1O
2 =
=
= 5, дотикаються, якщо 2 + |а| = 5, звідки |а| = 3, тобто а = ±3. Отже, дані кола дотикаються зовні при а = ±3.
Задачі і вправи
Виконайте усно
153. Вкажіть координати центра та радіус кола, заданого рівнянням:
а) (х - 2) 2 + (у - 3) 2 = 25;
б) х 2 + (у + 1) 2 = 16;
в) х 2 + у 2 = 1;
г) (х + 5) 2 + у 2 = 7.
154. Які з рівнянь є рівняннями кола:
а) х 2 + у 2 = 25;
б) 5х 2 + 5(у - 1) = 9;
в) (х + 1) 2 + (у - 1) 2 = 16;
г) 3х 2 + у 2 = 27;
ґ) (х - 2) 2 + (у - 3) 2 = -4;
д) 4(х - 1) 2 + 4(у + 5) 2 = 16?
155. Якому з кіл, зображених на малюнку 35, відповідає рівняння кола:
а) х 2 + у 2 = 1;
б) (х + 1) 2 + (у - 3) 2 = 4;
в) (х - 3) 2 + у 2 = 4;
г) (х + 2) 2 + (у + 2) 2 = 2?
Мал. 35
156. Установіть відповідність між місцем розташування центрів кіл (1-4) і відповідними рівняннями цих кіл (А-Д).
1 |
Лежить у початку координат |
А |
(х - 1) 2 + (у + 1) 2 = 1 |
2 |
Лежить на осі ОХ |
Б |
(х + 1) 2 + (у - 3) 2 = 16 |
3 |
Лежить на осі ОУ |
В |
х 2 + (у + 5) 2 = 25 |
|
4 |
Рівновіддалений від осей координат і не лежить у початку координат |
Г |
х 2 + у 2 = 5 |
Д |
(х + 3) 2 + у 2 = 9 |
157. Запишіть рівняння кола з центром у точці А(х; у) радіуса R, якщо:
а) А(-1; 2), R = 5;
б) А(0; 0), R = 3;
в) А(3; -1), R =
;
г) А(-3; -3), R = 6.
158. Запишіть рівняння кіл, зображених на малюнку 36.
159. Побудуйте в системі координат три кола різних радіусів і з різними центрами. Запишіть рівняння цих кіл.
160. Складіть рівняння кола діаметра АВ, якщо:
а) А(1; 3), В(-5; -3);
б) А(-2; 4), В(6; -2);
в) А(5; -1), В(-3; 5);
г) А(0; -3), В(1; 4).
161. Запишіть рівняння кола з центром у точці А(-1; 4), яке: а) дотикається до осі ОХ; б) дотикається до осі ОY.
162. Запишіть рівняння кола радіуса 5: а) з центром на осі ординат, яке дотикається до осі абсцис; б) з центром на осі абсцис, яке дотикається до осі ординат.
163. Запишіть рівняння кола радіуса 4 з центром у точці А(-2; 3). Чи належать цьому колу точки В(2; 4), С(-2; 7), D(1; -1), E(2; 3), F(-6; 3), K(17; 2), Р(-4; 3), Т (-4; 3 + 2
, М (-2- 2
; 1)?
Мал. 36
164. Запишіть рівняння кола з центром у точці М(-1; 4), що проходить через точку Р(3; 1).
165. Запишіть рівняння кола з центром у початку координат, що проходить через точку К(-3; -4).
166. Запишіть рівняння кола, що дотикається до координатних осей і проходить через точку М(2; 0).
167. Дано точки А(1; -2) і В(5; 4). Складіть рівняння кола: а) з центром у точці А, яке проходить через точку В; б) з центром у точці В, яке проходить через точку А.
168. Запишіть рівняння кола, описаного навколо прямокутного ∆АВС, якщо А(3; 1), В(3; 7), С(-5; 1). Зробіть малюнок.
169. Напишіть рівняння кола, описаного навколо квадрата АВСD і вписаного в нього, якщо А(-5; 2), В(-1; 6), С(3; 2), D(-1; -2). Зробіть малюнок.
170. Запишіть рівняння кола з центром на осі абсцис, що дотикається до прямих х = -2 і х = 4. Зробіть малюнок.
171. Запишіть рівняння кола з центром на осі ординат, що дотикається до прямих у = -3 і у = 5. Зробіть малюнок.
172. Запишіть рівняння кола з центром на осі абсцис, що проходить через точку М(4; 2) і дотикається до кола х 2 + у 2 = 9.
Мал. 37
173. Відкрита задача.
Складіть і розв’яжіть задачу за малюнком 37.
174. Дано рівняння кола х 2 + у 2 = 25. Доведіть, що AB — хорда кола, і знайдіть відстань від центра кола до цієї хорди, якщо:
а) A(-4; 3), B(-4; -3);
б) A(4; 3), B(5; 0);
в) A(3; 4), B(4; -3).
175. Знайдіть центр і радіус кола, заданого рівнянням:
а) x 2+ у 2 + 2x = 0;
б) x 2+ у 2 - 4у = 5;
в) x 2+ у 2 - 4х + 6у = 3;
г) х 2 + у 2 - 10х + 2у = -6.
176. Знайдіть відстань між центрами кіл, рівняння яких:
а) x 2 + у 2 + 6x = 1 і x 2+ у 2 - 2x - 6у = 6;
б) х 2 + у 2 + 4х - 10у = -4 і х 2 + у 2 - 8х + 6у = 7.
177. Як розміщені кола (дотикаються, перетинаються, не мають спільних точок), задані рівняннями:
а) (х - 3) 2 + (у + 2) 2 = 4 і х 2 + у 2 - 2х - 2у = 14;
б) х 2 + у 2 + 6х = 0 і х 2 + у 2 - 8у = -12;
в) х 2 + у 2 + 8х - 6у = 0 і (х - 2) 2 + (у + 1) 2 = 1;
г) х 2 + у 2 - 4х - 8у = -12 і х 2 + у 2 - 10х - 2у = -24?
178. Запишіть рівняння кола, описаного навколо трикутника ABC, якщо:
а) A(3; 0), B(0; 0), C(0; -4);
б) A(-2; -2), B(-2; 1), C(-6; -2);
в) A(-3; -1), B(0; 3), C(3; -1).
179. AH — висота рівностороннього трикутника ABC, A(1; -2), H(4; 7). Запишіть рівняння кола: а) описаного навколо трикутника ABC; б) вписаного у трикутник ABC.
180. Запишіть рівняння кола, яке проходить через точки з координатами: а) (4; -1), (2; 7), (-1; 2); б) (5; 1), (-1; -3), (0; 2); в) (-6; -5), (-2; 1), (-1; -4).
181. Дано коло (х - 1) 2 + (у + 2) 2 = 25. Знайдіть геометричне місце центрів кіл радіуса 1, які мають з колом: а) зовнішній дотик; б) внутрішній дотик.
182. Залежно від значень параметра a дослідіть взаємне розміщення кіл х 2 + у 2 - 2х = 0 і х 2 + у 2 + 4х = а 2 - 4.
183. При яких значеннях параметра а кола х 2 + у 2 + 8у + 15 = 0 і х 2 + у 2 - 6х - а 2 - 4а + 5 = 0 мають: а) зовнішній дотик; б) внутрішній дотик?
Практичне завдання
184. а) Зобразіть прямокутник, вершини якого знаходяться в точках (0; -2), (0; 2), (6; 2), (6; -2), взявши за одиничний відрізок дві клітинки. Побудуйте в цьому прямокутнику графіки поданих нижче рівнянь, і ви побачите фрагмент решітки для огорожі.
(х - а) 2 + у 2 = 1; а = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; 0 ≤ х ≤ 6; -2 ≤ у ≤ 2.
(х - а) 2 + (у + 2) 2 = 1; а = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; 0 ≤ х ≤ 6; -2 ≤ у ≤ 2;
(х - а) 2 + (у - 2) 2 = 1; а = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; 0 ≤ х ≤ 6; -2 ≤ у ≤ 2.
б) На малюнку 38 зображено орнамент, утворений перетином одиничних кіл. Запишіть сукупність рівнянь, за допомогою яких можна одержати такий орнамент.
Мал. 38
Задачі для повторення
185. Знайдіть периметр і площу трапеції АBСD, якщо А(-5; 2), В(-2; 6), С(1; 6), D(4; 2).
186. Знайдіть координати вершин квадрата периметра 16, якщо одна з його вершин (-1; 2), а сторони паралельні осям координат. Скільки розв’язків має задача?
187. Знайдіть синус, косинус і тангенс гострих кутів прямокутного трикутника з вершинами (4; -1), (2; 5), (6; 1).
188. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках (-3; -2), (-2; 5), (5; 6), (4; -1) — ромб. Знайдіть його площу та периметр.
ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС
Геометричні фігури у кованих виробах