Розділ 1 Метод координат на площині

§ 5 Рівняння кола

Рівнянням фігури на координатній площині називають рівняння з двома змінними, яке задовольняють координати кожної точки даної фігури, і тільки координати точок даної фігури.

Розглянемо рівняння двох фігур, які найчастіше зустрічаються в геометрії: кола і прямої (див. § 6).

Нехай дано коло радіуса r з центром у точці А(а; b) (мал. 31). Якщо М (х; у) — довільна точка цього кола, то АМ² = (х - а)² + + (у - b)². Але АМ = r, тому

(х - а)² + (у - b)² = r². (*)

Із рівняння (*) випливає, що координати х і у кожної точки М(х; у) даного кола задовольняють рівняння (*). Навпаки, будь-яка точка М(х; у), координати якої задовольняють рівняння (*), лежить на даному колі, бо її відстань від точки А дорівнює r. Отже, рівняння (*) є рівнянням кола радіуса r з центром А(а; b). Якщо центром кола є початок координат, тобто а = 0 і b = 0, то рівняння такого кола радіуса r матиме вигляд:

х² + у² = r².

Знаючи рівняння кола, можна розв’язувати і такі геометричні задачі про кола, які іншими способами розв’язувати надто важко.

Мал. 31

Задача. Дано відрізок АВ завдовжки 2а і коло радіуса r із центром у середині АВ. Доведіть, що сума квадратів відстаней від будь-якої точки кола до точок А і В є сталою. Знайдіть цю суму.

Розв’язання. Розмістимо даний відрізок і коло на координатній площині, як показано на малюнку 32. Кінці відрізка мають такі координати: А(а; 0), В(-а; 0).

Якщо М(х; у) — довільна точка кола, то

х² + у² = r² , МА² = (х - а)² + у², МВ² = (х + а)² + у².

Тоді МА² + МВ² = (х - а)² + у² + (х + а)² + у² = х² - 2ах + а² + у² + х² + 2ах + у² = 2(х² + у² + а²) = 2(r² + а²).

За даних а і r вираз 2(r² + а²) має стале значення.

Мал. 32

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте означення рівняння фігури.

2. Сформулюйте означення кола.

3. Яке рівняння має коло з центром у точці А(а; b) радіуса r?

4. Виведіть рівняння кола.

5. Яке рівняння має коло радіуса г з центром у початку координат?

Виконаємо разом

Запишіть рівняння кола радіуса 3, яке дотикається до обох осей координат.

• На малюнку 33 видно, що таких кіл чотири. Оскільки OАO₁B — квадрат зі стороною 3, то O₁ (3; 3). Тому рівняння кола з центром у точці O₁ має вигляд: (х - 3)² + (у - 3)² = 9.

Аналогічно можна записати рівняння інших кіл. Оскільки O₂(3; -3), O₃(-3; -3), O₄(-3; 3), то рівняння відповідних кіл:

(х - 3)² + (у + 3)² = 9, (х + 3)² +(у+3)² = 9, (х + 3)² + (у -3)² =9.

Мал. 33

Мал. 34

При яких значеннях параметра а (а ≠ 0) мають зовнішній дотик кола, рівняння яких х² + у² - 10х + 21 = 0 і х² + у² - 2х + 6у = а² - 10?

Знайдемо координати центрів і радіуси даних кіл (мал. 34). Перетворимо перше рівняння:

(х² - 10х + 25) - 25 + у² + 21 = 0; (х - 5)² + у² = 4.

Отже, перше рівняння — це рівняння кола з центром O₁(5; 0) радіуса R₁ = 2.

Аналогічно для другого рівняння отримаємо: (х² - 2х + 1) - 1 + (y² + + 6у + 9) - 9 = а² - 10; (х - 1)² + (у + 3)² = а².

Отже, друге рівняння — рівняння кола з центром O₂(1; -3) радіуса |а|. Два кола мають зовнішній дотик, якщо відстань між центрами дорівнює сумі їх радіусів. Оскільки O₁O₂ =  =  = 5, дотикаються, якщо 2 + |а| = 5, звідки |а| = 3, тобто а = ±3. Отже, дані кола дотикаються зовні при а = ±3.

Задачі і вправи

Виконайте усно

153. Вкажіть координати центра та радіус кола, заданого рівнянням:

а) (х - 2)²  + (у - 3)² = 25;

б) х² + (у + 1)² = 16;

в) х² + у² = 1;

г) (х + 5)² + у² = 7.

154. Які з рівнянь є рівняннями кола:

а) х² + у² = 25;

б) 5х² + 5(у - 1) = 9;

в) (х + 1)² + (у - 1)² = 16;

г) 3х² + у² = 27;

ґ) (х - 2)² + (у - 3)² = -4;

д) 4(х - 1)² + 4(у + 5)² = 16?

155. Якому з кіл, зображених на малюнку 35, відповідає рівняння кола:

а) х² + у² = 1;

б) (х + 1)² + (у - 3)² = 4;

в) (х - 3)² + у² = 4;

г) (х + 2)² + (у + 2)² = 2?

Мал. 35

156. Установіть відповідність між місцем розташування центрів кіл (1-4) і відповідними рівняннями цих кіл (А-Д).

1	Лежить у початку координат	А	(х - 1)2 + (у + 1)2 = 1
2	Лежить на осі ОХ	Б	(х + 1)2 + (у - 3)2 = 16
3	Лежить на осі ОУ	В	х2 + (у + 5)2 = 25
4	Рівновіддалений від осей координат і не лежить у початку координат	Г	х2 + у2 = 5
		Д	(х + 3)2 + у2 = 9

157. Запишіть рівняння кола з центром у точці А(х; у) радіуса R, якщо:

а) А(-1; 2), R = 5;

б) А(0; 0), R = 3;

в) А(3; -1), R = ;

г) А(-3; -3), R = 6.

158. Запишіть рівняння кіл, зображених на малюнку 36.

159. Побудуйте в системі координат три кола різних радіусів і з різними центрами. Запишіть рівняння цих кіл.

160. Складіть рівняння кола діаметра АВ, якщо:

а) А(1; 3), В(-5; -3);

б) А(-2; 4), В(6; -2);

в) А(5; -1), В(-3; 5);

г) А(0; -3), В(1; 4).

161. Запишіть рівняння кола з центром у точці А(-1; 4), яке: а) дотикається до осі ОХ; б) дотикається до осі ОY.

162. Запишіть рівняння кола радіуса 5: а) з центром на осі ординат, яке дотикається до осі абсцис; б) з центром на осі абсцис, яке дотикається до осі ординат.

163. Запишіть рівняння кола радіуса 4 з центром у точці А(-2; 3). Чи належать цьому колу точки В(2; 4), С(-2; 7), D(1; -1), E(2; 3), F(-6; 3), K(17; 2), Р(-4; 3), Т (-4; 3 + 2 , М (-2- 2; 1)?

Мал. 36

164. Запишіть рівняння кола з центром у точці М(-1; 4), що проходить через точку Р(3; 1).

165. Запишіть рівняння кола з центром у початку координат, що проходить через точку К(-3; -4).

166. Запишіть рівняння кола, що дотикається до координатних осей і проходить через точку М(2; 0).

167. Дано точки А(1; -2) і В(5; 4). Складіть рівняння кола: а) з центром у точці А, яке проходить через точку В; б) з центром у точці В, яке проходить через точку А.

168. Запишіть рівняння кола, описаного навколо прямокутного ∆АВС, якщо А(3; 1), В(3; 7), С(-5; 1). Зробіть малюнок.

169. Напишіть рівняння кола, описаного навколо квадрата АВСD і вписаного в нього, якщо А(-5; 2), В(-1; 6), С(3; 2), D(-1; -2). Зробіть малюнок.

170. Запишіть рівняння кола з центром на осі абсцис, що дотикається до прямих х = -2 і х = 4. Зробіть малюнок.

171. Запишіть рівняння кола з центром на осі ординат, що дотикається до прямих у = -3 і у = 5. Зробіть малюнок.

172. Запишіть рівняння кола з центром на осі абсцис, що проходить через точку М(4; 2) і дотикається до кола х² + у² = 9.

Мал. 37

173. Відкрита задача.

Складіть і розв’яжіть задачу за малюнком 37.

174. Дано рівняння кола х² + у² = 25. Доведіть, що AB — хорда кола, і знайдіть відстань від центра кола до цієї хорди, якщо:

а) A(-4; 3), B(-4; -3);

б) A(4; 3), B(5; 0);

в) A(3; 4), B(4; -3).

175. Знайдіть центр і радіус кола, заданого рівнянням:

а) x²+ у² + 2x = 0;

б) x²+ у² - 4у = 5;

в) x²+ у² - 4х + 6у = 3;

г) х² + у² - 10х + 2у = -6.

176. Знайдіть відстань між центрами кіл, рівняння яких:

а) x² + у² + 6x = 1 і x²+ у² - 2x - 6у = 6;

б) х² + у² + 4х - 10у = -4 і х² + у² - 8х + 6у = 7.

177. Як розміщені кола (дотикаються, перетинаються, не мають спільних точок), задані рівняннями:

а) (х - 3)² + (у  + 2)² = 4 і х² + у² - 2х - 2у = 14;

б) х² + у² + 6х = 0 і х² + у² - 8у = -12;

в) х² + у² + 8х - 6у = 0 і (х - 2)² + (у + 1)² = 1;

г) х² + у² - 4х - 8у = -12 і х² + у² - 10х - 2у = -24?

178. Запишіть рівняння кола, описаного навколо трикутника ABC, якщо:

а) A(3; 0), B(0; 0), C(0; -4);

б) A(-2; -2), B(-2; 1), C(-6; -2);

в) A(-3; -1), B(0; 3), C(3; -1).

179. AH — висота рівностороннього трикутника ABC, A(1; -2), H(4; 7). Запишіть рівняння кола: а) описаного навколо трикутника ABC; б) вписаного у трикутник ABC.

180. Запишіть рівняння кола, яке проходить через точки з координатами: а) (4; -1), (2; 7), (-1; 2); б) (5; 1), (-1; -3), (0; 2); в) (-6; -5), (-2; 1), (-1; -4).

181. Дано коло (х - 1)² + (у + 2)² = 25. Знайдіть геометричне місце центрів кіл радіуса 1, які мають з колом: а) зовнішній дотик; б) внутрішній дотик.

182. Залежно від значень параметра a дослідіть взаємне розміщення кіл х² + у² - 2х = 0 і х² + у² + 4х = а² - 4.

183. При яких значеннях параметра а кола х² + у² + 8у + 15 = 0 і х² + у² -  6х - а² - 4а + 5 = 0 мають: а) зовнішній дотик; б) внутрішній дотик?

Практичне завдання

184. а) Зобразіть прямокутник, вершини якого знаходяться в точках (0; -2), (0; 2), (6; 2), (6; -2), взявши за одиничний відрізок дві клітинки. Побудуйте в цьому прямокутнику графіки поданих нижче рівнянь, і ви побачите фрагмент решітки для огорожі.

(х - а)² + у² = 1; а = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; 0 ≤ х ≤ 6; -2 ≤ у ≤ 2.

(х - а)² + (у + 2)² =  1; а = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; 0 ≤ х ≤ 6; -2 ≤ у ≤ 2;

(х - а)² + (у - 2)² =   1; а = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; 0 ≤ х ≤ 6; -2 ≤ у ≤ 2.

б) На малюнку 38 зображено орнамент, утворений перетином одиничних кіл. Запишіть сукупність рівнянь, за допомогою яких можна одержати такий орнамент.

Мал. 38

Задачі для повторення

185. Знайдіть периметр і площу трапеції АBСD, якщо А(-5; 2), В(-2; 6), С(1; 6), D(4; 2).

186. Знайдіть координати вершин квадрата периметра 16, якщо одна з його вершин (-1; 2), а сторони паралельні осям координат. Скільки розв’язків має задача?

187. Знайдіть синус, косинус і тангенс гострих кутів прямокутного трикутника з вершинами (4; -1), (2; 5), (6; 1).

188. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках (-3; -2), (-2; 5), (5; 6), (4; -1) — ромб. Знайдіть його площу та периметр.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Геометричні фігури у кованих виробах