Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 1 Метод координат на площині

§ 6 Рівняння прямої

З курсу алгебри 7 класу ви вже знаєте, що графіком кожного рівняння першого степеня з двома змінними є пряма. Покажемо, що правильним є й обернене твердження: кожній прямій координатної площини відповідає лінійне рівняння з двома змінними.

Нехай на координатній площині дано пряму  (мал. 39). Позначимо дві точки А(m1n1) і В(m2m2) такі, що пряма  буде серединним перпендикуляром відрізка АВ. За властивістю серединного перпендикуляра кожна точка М(х; у) прямої  рівновіддалена від точок А і В, тобто МА = МВ. Тоді (х - m1)2 + (у - n1)2 = (х - m2)2 + (у - n2)2, звідки

х2 - 2хm1 + m2 + у2 - 2уn1 + n2 - х2 + 2хm2 -  - у2 + 2уn2 -   = 0;

m2 - 2хm1 + 2уn2 - 2уn1 + m2 + n2 -  -  = 0;

х (m2 - 2m1) + у (n2 - 2n1) + m2 + n2 -  -  = 0.

Мал. 39

Мал. 40

Позначивши 2m2 - 2m1 = а, 2n2 - 2n1 = bm2 + n2 -  -  = с, отримаємо рівняння ах + bу + с = 0, що і потрібно було довести.

Варті уваги окремі випадки.

1.   Якщо а = 0, b ≠ 0, то рівняння прямої матиме вигляд bу + с = 0, звідки у = - . Це — рівняння прямої, паралельної осі ОХ (мал. 40).

2. Якщо b = 0, а  0, то рівняння прямої матиме вигляд ах + с = 0, звідки х = - . Це — рівняння прямої, паралельної осі ОY (мал. 41).

3. Якщо с = 0, а  0 і b ≠ 0, то рівняння прямої матиме вигляд у = -х.

Це — рівняння прямої, яка проходить через початок координат (мал. 42).

Мал. 41

Мал. 42

Рівняння ах + bу + с = 0 називають загальним рівнянням прямої. Запишемо це рівняння в іншому вигляді. Якщо b ≠ 0, то поділимо ліву і праву частини рівняння на b і отримаємо  х + у =   або у = - х + .

Позначивши - = k = р, отримаємо рівняння у = kх + р. Пригадайте формулу лінійної функції та її графік.

З’ясуємо геометричний зміст коефіцієнта к. Візьмемо на прямій дві довільні точки А(х1; у1) і В(х2; у2) (мал. 43). Тоді у1 = kх1 + р і у2 = kх2 + р. Віднявши від другого рівняння перше, отримаємо у2 - у1 = k2 - х1), звідки при х1 х2

k = . З малюнка 43 видно, що   = tg а, де а — кут, який утворює пряма з додатним напрямом осі ОХ.

Мал. 43

Випадок, коли 90° ≤ а < 180°, розгляньте самостійно.

Отже, у рівнянні прямої у = kх + р коефіцієнт k = tg а, де а — кут, який утворює пряма з додатним напрямом осі ОХ. Тому число k називають кутовим коефіцієнтом, а рівняння прямої, записане у вигляді у = kх + р, — рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

Можна довести таке твердження.

Якщо прямі 1, і 2 задані рівняннями у = k1х + р1 і у = k2х + р2, то:

1) 1 ^ 2 тоді й тільки тоді, коли k1 = k2 і р1 р2;

2) 1  2 тоді й тільки тоді, коли k1 · k2 = -1

Наприклад, прямі у = 2х + 3 і у = 2х — паралельні, бо k1 = k2 = 2, а прямі у = 2х + 3 і у = -х — перпендикулярні, бо

k1 · k2 = 2· () = -1.

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Крім загального рівняння прямої та рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, існують й інші види рівнянь прямих. Розглянемо деякі з них.

Запишемо рівняння прямої, що проходить через дві точки A(x1; у1) і В(х2; у2(мал. 44). Візьмемо на прямій  довільну точку М(х; у). Прямокутні трикутники АКВ і АРМ подібні, бо їх гострі кути при вершині А рівні.

Тоді АР : АК= МР : ВК  або  = . Отримали рівняння прямої , яка  проходить через точки А і В.

Мал. 44

Мал. 45

І навпаки, якщо координати х і у деякої точки М(х; у) задовольняють це рівняння, то АР : АК = МР : ВК, з чого випливає подібність трикутників АРМ і АКВ. Тоді РАМ = КАВ, а це означає, що точка М лежить на прямій .

Отже, рівняння  =  — це рівняння прямої, що проходить через дві дані точки.

Якщо пряма  перетинає осі координат у точках А(а; 0) і В(0; b(мал. 45), то, користуючись попереднім рівнянням, отримаємо:

 = .

Тоді -  +1 =  або  +  = 1. Це рівняння прямої у відрізках на осях, бо числа а і b показують, які відрізки відтинає пряма  на осях координат.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Якою фігурою є графік рівняння першого степеня з двома змінними? А графік лінійної функції?

2. Яким є загальне рівняння прямої?

3. Яким є рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?

4. Який геометричний зміст кутового коефіцієнта?

5. Сформулюйте умову паралельності двох прямих.

6. Сформулюйте умову перпендикулярності двох прямих.

Виконаємо разом

Напишіть рівняння прямої, яка проходить через точки А(2; 1) і В(4; -3).  Перший спосіб.

Скористаємося рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом У = kx + p. Оскільки пряма проходить через точки А і B, то координати даних точок задовольняють рівняння, тобто 1 = 2k + p і -3 = 4k + p. Отримали систему рівнянь

Віднімемо перше рівняння від другого й отримаємо: 2к = -4, звідки k = -2.

Тоді з першого рівняння: р = 1 – 2k = 5. Отже, рівняння прямої матиме вигляд: у = -2х + 5.

Другий спосіб.

Оскільки k =  то в даному випадку k =  =  = -2.

Тоді рівняння матиме вигляд: у = -2х + р. Підставимо у це рівняння координати точки А(2; 1). Отримаємо: 1 = -4 + р, звідки р = 5. Тоді рівняння прямої матиме вигляд у = -2х + 5.

Третій спосіб.

Скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві дані точки,  = .

У нашому випадку  = тобто  =  або  =  , звідки -2(х - 2) = у - 1. Спростивши рівняння, отримаємо:

у = -2х + 5.

Запишіть рівняння прямої, яка проходить через точку M(3; 5) і утворює кут 60° з додатним напрямом осі ОХ.

Запишемо рівняння даної прямої у вигляді у = kx + р. Оскільки k = tg а = tg 60° = , то рівняння прямої можна записати у вигляді у = х + р. Підставивши в це рівняння координати точки М, отримаємо: 5 = 3 + р, звідки р = 2. Отже, рівняння шуканої прямої у = х + 2.

Задачі і вправи

Виконайте усно

189. Чи проходить через початок координат пряма, рівняння якої:

а) х + у = 0;

б) 2х + у = 3;

в) х - у = 0;

г) у = -3х;

ґ) у = 4х + 2?

190. Яке рівняння має пряма, проведена паралельно осі ОY через точку:

а) М(5; -3);

б) N(-2; 8);

в) Р(0; 3);

г) К(4; 0)?

191. Яке рівняння має пряма, проведена паралельно осі ОХ через точку:

а) Е(2; -7);

б) F(-1; 5);

в) L(0; -2);

г) К(3; 0)?

192. Знайдіть відстань від початку координат до прямої, заданої рівнянням:

а) у - 2 = 0;

б) х + 5 = 0;

в) у = 2х;

г) х + 3у = 0.

193. Вкажіть рівняння прямих, які дотикаються до кола х 2 + у2 = 16 і паралельні: а) осі ОХ; б) осі ОY.

194. Якій із прямих, зображених на малюнку 46, відповідає рівняння:

а) х = 2;

б) у = х + 3;

в) у = -3;

г) у = х;

ґ) у = -х - 2?

195. Назвіть кутові коефіцієнти прямих, заданих рівняннями: у = 3х; у = 2х + 5; у = 8 - 4х; х - у = 0; 5х + у = 2; 2х - 6у = 3.

196. Чому дорівнює кутовий коефіцієнт прямої, яка відтинає на осях координат рівні відрізки?

Мал. 46

197. Побудуйте прямі та знайдіть координати точок їх перетину з осями координат:

а) у = 2х + 3;

б) х + у = 5;

в) 2х + 5у = 10.

198. Побудуйте прямі, що проходять через точку М(2; -4) паралельно до осей координат. Запишіть їх рівняння.

199. Чи проходить пряма, задана рівнянням 6х - 5у - 10 = 0, через точки А(-5; -8), В(1; -0,8), С(4; 4), D(0; -2), Е(-3; -2)?

200. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину прямої 2х + 3у = 6 з осями координат.

201. Знайдіть координати точок перетину прямих 4х + 5у + 10 = 0 і х + 4у - 3 = 0.

202. Запишіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і точку:

а) (3; 2);

б) (-5; 5);

в) (-1; 3);

г) (-4; -2).

203. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точки:

а) А(1; 3) і В(5; -1);

б) С(-1; 2) і D(0; 3);

в) М(0; 4) і N(5; 0);

г) Е(3; -5) і F(4; 1).

204. Користуючись даними таблиці, запишіть рівняння прямих АВ, АС і т. д.

 

В(1; 3)

С(-2; 5)

D(2; -2)

E(-3; -4)

А(0; 0)

       

М(-1; 4)

       

205. Який кут утворює пряма з додатним напрямом осі ОХ:

а) х + у - 2 = 0;

б) х - у = 4;

в) х -  = 3;

г) 3х + -у -1 = 0?

206. Запишіть рівняння прямої, яка проходить через точку А(2; -4) і має кутовий коефіцієнт b, якщо:

а) b = 2;

б) b = 1;

в) b = -3;

г) b = -0,5.

207. Запишіть рівняння прямих, які проходять через точку М(3; -2) паралельно до прямої:

а) у = 2х + 5;

б) у = -х + 2;

в) х + 2у - 2 = 0;

г) 2х + 3у - 4 = 0.

208. Відомо, що графік функції у = ах + 2 проходить через точку А(-2; 6). Знайдіть значення параметра а. Побудуйте цю пряму.

209. При якому значенні b пряма у = -3х + b проходить через точку М(-1; 4)?

Мал. 47

210. Запишіть рівняння прямих, зображених на малюнку 47.

211. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку А(1; 4) і утворює з додатним напрямом осі ОХ кут: а) 30°; б) 60°; в) 45°; г) 120°; ґ) 135°.

212. Напишіть рівняння прямої, яка проходить через точку А(1; 4) і обмежує разом з осями координат рівнобедрений трикутник. Знайдіть площу цього трикутника.

213. Доведіть, що відрізок з кінцями в точках М(-3; 2) і N(6; -4) проходить через початок координат.

214. Складіть рівняння прямих АВ, АС і ВС, якщо А(-3; 3), В(3; 5), С(7; -5).

215. Точки А(-2; 0) і С(4; 0) — вершини рівностороннього АВС. Напишіть рівняння прямих, яким належать сторони і висоти даного трикутника.

216. Складіть рівняння прямих, яким належать медіани і висоти MNK, якщо М(-4; 2), N(2; 6), К(8; -4).

217. Складіть рівняння прямих, яким належать сторони квадрата периметра 20, якщо його діагоналі лежать на осях координат.

218. Складіть рівняння прямих, яким належать сторони ромба з гострим кутом 60°, якщо більша діагональ дорівнює 10 і лежить на осі ОY, а менша — на осі ОХ.

219. Дано рівняння прямих, яким належать сторони трикутника: 2х - у +  4 = 0, у + х - 7 = 0, х - 3у - 3 = 0. Знайдіть координати його вершин.

220. Чи можуть сторони паралелограма лежати на прямих х - у + 3 = 0; х + 6у - 25 = 0; х - у - 4 = 0; х + 6у - 3 = 0? Якщо так, то знайдіть координати його вершин.

221. Установіть відповідність між прямими (1 - 4) та довжинами хорд (А-Д), які ці прямі відтинають на колі х2 + у2 - 6х + 2у - 15 = 0.

1

у = х - 3

А

4

2

у = 3

Б

8

3

у = -2х

В

7

4

х = 6

Г

6

     

Д

2

         

222.  Установіть взаємне розміщення кола і прямої, заданих рівняннями:

а) х2 + у2 = 25; 3х + у - 15 = 0;

б) (х - 5)2 + (у - 5)2 = 8; 2х + у =  6;

в) х2 + у2  + 4х - 2у - 14 = 0; х - у + 2 = 0;

г) х2 + у2  - 6х - 8у + 17 = 0; х - у + 3 = 0.

223.  На малюнку 48 зображено три антени М, NР, їх координати та області обслуговування. У математиці розбиття скінченної кількості точок площини, при якому кожна область розбиття (клітинка) утворює множину точок, найближчих до одного з елементів множини, називають діаграмою Вороного. Ребра клітинок на діаграмі Вороного будуються як серединні перпендикуляри до відрізків МN, NР і МР. Запишіть рівняння ребер діаграми Вороного і координати точки О — вершини діаграми Вороного для областей обслуговування антен М, NР.

Мал. 48

Вороний Георгій Феодосійович (1868-1908)

224. Чому дорівнюють коефіцієнти а і b прямої ах + bу = 2, якщо вона проходить через точки М(-2; -2), N(8; 3)?

225. При яких значеннях параметра а пряма у = х + 5 і коло х2 + у2 = адотикаються?

Практичне завдання

226. На малюнку 49 у прямокутній системі координат зображено шахову дошку, що містить 64 поля.

а) Яку найбільшу кількість полів дошки можна перетнути однією прямою? Скільки існує таких прямих? Запишіть рівняння однієї такої прямої.

б) Запишіть рівняння прямих, що задають кілька можливих ходів ферзя, зображеного на малюнку. Координати ферзя (2,5; 3,5).

Мал. 49

Задачі для повторення

227. Побудуйте коло х2 + у2 - 8х + 6у = 0.

228. Чи концентричні кола (х - 1)2 + (у + 4)2 = 4 і х2 + у2 - 2х + 8у + 1 = 0?

229. Установіть вид ∆ABС, якщо A(-2; 3), В(4; 6), С(8; -2).

230. Знайдіть периметр і площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 5 см і 12 см, а кут між ними 90°.

ГЕОМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС

Паралельність в інтер’єрі






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.